Phức koszul và lý thuyết bội

Multiplicités” về mối liên hệ giữa bội và đặctrưng Euler-Pointcaré của phức Koszul: Cho một R−module hữu hạn sinh M của x với hệ số trong M và I = x là ideal của R.. Trong đó: Mục 2.1 t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Dương Quốc Việt

HÀ NỘI - 2013

Lời nói đầu

Lý thuyết Bội là một trong những lý thuyết quan trọng của cả Đại số giaohoán và Hình học đại số Nó phát triển từ khái niệm bội của nghiệm của một đathức và việc đếm số bội giao trong Hình học đại số Trong khoảng một thế kỷqua, nó đã được phát triển theo nhiều cách thức bởi các tên tuổi lớn của Toánhọc thế giới

Kết quả nổi bật nhất về Lý thuyết Bội được viết lên bởi Jean-Pierre Serrenăm 1965 trong “Algèbre locale Multiplicités” về mối liên hệ giữa bội và đặctrưng Euler-Pointcaré của phức Koszul: Cho một R−module hữu hạn sinh M

của x với hệ số trong M và I = (x ) là ideal của R Khi đó, đặt

Năm 1958, trong bài báo “Codimension and multiplicity”, M Auslander và

D A Buchsbaum đã chứng minh được một phiên bản của định lý Serre đối vớimọi vành Noether, đồng thời đưa ra mô tả rõ ràng cho khái niệm bội

D G Northcott năm 1968 trong “Lessons on rings, modules, and

multiplici-ties” đã giới thiệu khái niệm “bội hình thức (multiplicity symbol)”, và phát triểnmột cách hệ thống lý thuyết bội từ những tính chất hình thức của khái niệmnày.

Liên quan đến đặc trưng Euler-Pointcaré, với mọi j ≥ 0, đặt

i≥j

và gọi là đặc trưng Euler-Pointcaré từng phần Ta có một kết quả khá quan

hợp j = 1 (được trình bày trong “On the vanishing of Tor in regular local rings”của S Lichtenbaum năm 1966) giúp ta đưa ra được tiêu chuẩn khác cho moduleCohen-Macaulay

Mục đích chính của luận văn là hệ thống lại một cách chi tiết một số kếtquả cơ bản của Lý thuyết bội, trong đó, nội dung chính là chứng minh định lýSerre Để làm được điều này, luận văn được tiến hành theo 2 chương:

Chương 1: Trình bày về phức Koszul, những tính chất của phức Koszul vàđồng điều Koszul, chuẩn bị các kiến thức cần thiết để định nghĩa đặc trưngEuler-Pointcaré của phức Koszul

Chương 2: Trình bày về hàm Hilbert, bội hình thức và những tính chất củabội hình thức Trong đó:

Mục 2.1 trình bày hàm Hilbert, đa thức Hilbert của một module phân bậccùng các tính chất liên quan

Mục 2.2 nói về bội của một module hữu hạn sinh, bội hình thức và một sốkết quả chính của Lý thuyết bội, trong đó có định lý Serre và các hệ quả của

nó Đây là nội dung chính của luận văn

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt

tình, sâu sắc của PGS TS Dương Quốc Việt Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thànhnhất, sâu sắc nhất đến người thầy của tôi Tôi cũng xin cảm ơn các thầy côtrong Hội đồng phản biện đã đọc và cho tôi những ý kiến quý báu Ngoài ra, tôicũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong Bộ môn Đại số, khoaToán Tin cùng các thầy cô khác đã giảng dạy, hướng dẫn, tạo điều kiện để tôihoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 09 năm 2013Người thực hiện

Phạm Văn Bản

Danh mục các ký hiệu

χIM(n) Hàm Hilbert - Samuel của M theo ideal I

i=0IiM ti

chiều không quá q

Chương 1

Phức Koszul

Formen" (1890) của Hilbert: sau khi chứng minh định lý syzygy, Hilbert xác

Hơn nữa, phức Koszul vừa có cấu trúc một phức, lại vừa có cấu trúc đại số

Để nhấn mạnh điều này, ta giới thiệu một cách tổng quát phức Koszul từ cácdạng tuyến tính Các kết quả chính về phức Koszul trong chương này được đưa

ra từ [4]

Để thuận tiện cho bạn đọc, xin bắt đầu từ lũy thừa ngoài và đại số ngoài

1.1 Lũy thừa ngoài và đại số ngoài

Cho R là một vành, M là một R−module Chúng ta xét R như một vành

M , nghĩa là tích tensor M ⊗ M ⊗ · · · ⊗ M của i nhân tử M , với i > 0, và R ứngvới i = 0 Lũy thừa tensor có dạng một R−module phân bậc

bậc kết hợp Đại số tensor này được đặc trưng bởi một tính phổ dụng: Cho mộtánh xạ R−tuyến tính ϕ : M → A với A là một R−đại số, tồn tại duy nhất một

^

trong đó = là ideal sinh bởi phần tử x ⊗ x, x ∈ M Do = là ideal sinh bởi các

nhiên, nó có tính chất thay phiên:

và

x ∧ x = 0 với mọi phần tử thuần nhất x, deg x lẻ

trong đó σ(π) là dấu của π Hơn nữa, x1∧ · · · ∧ xn = 0 nếu xi = xj với i 6= jnào đó Cho một tập con I của {1, 2, , n}, ta đặt

ở đó i là số các phần tử (j, k) ∈ J ×K với j > k Nếu J ∩K 6= ∅, đặt σ(J, K) = 0.Khi đó

là một họ các phần tử của M được đánh số mởi một tập sắp thứ tự tuyến tính

G và I là một tập con hữu hạn của G

M

M được sinh bởi các tích

M = 0 với mọi i > n

Đại số ngoài được đặc trưng bởi tính phổ dụng mà nó kế thừa từ thuộc tínhnày của đại số tensor: Cho một ánh xạ R−tuyến tính ϕ : M → E từ M vào

R−tuyến tính ϕ : M → N thì tồn tại duy nhất một đồng cấu R−đại số ∧ϕ saocho biểu đồ

giao hoán (nat là đồng cấu nhúng tự nhiên), ∧ϕ là đồng cấu bậc 0 thỏa

N cảm sinh từ ∧ϕ

M cũng được đặc trưng bởi thuộc tính phổ dụng: Với mọi

M → N sao cho

Một thuộc tính quan trọng của đại số ngoài là nó giao hoán với sự mở rộng

cơ sở: Nếu R → S là một đồng cấu của các vành giao hoán, thì có một đẳng cấu

tự nhiên

^

giữa các S−đại số phân bậc

phép nhân như sau

Thành phần bậc 1 của nó là (M1⊗ R) ⊕ (R ⊗ M2) ∼= M1⊕ M2 Bởi thuộc tính

giữa các R−đại số phân bậc thay phiên

Ta xét một trường hợp quan trọng nhất của M : một R−module tự do hữu

phân bậc

Mệnh đề 1.2 Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là mộtánh xạ R−tuyến tính.

a Phức Koszul K•(f ) mang cấu trúc của một đại số thay phiên phân bậc kết

nhiên

Chứng minh: a và b được suy ra từ phần mô tả trước mệnh đề

Đặt

Định nghĩa 1.3 Đồng điều H•(f ) = Z•(f )/B•(f ) được gọi là đồng điều Koszul

gọi là đồng điều Koszul của f với hệ số trong M

Theo Mệnh đề 1.2d ta dễ dàng nhận được các quan hệ sau

Mệnh đề 1.4 Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là mộtánh xạ R−tuyến tính

bậc kết hợp

tự nhiên

mệnh đề Những tính chất còn lại được kế thừa từ thương của R−đại số con

1.3 Các tính chất của phức Koszul

Ta đặt

ứng, đối đồng điều Koszul của f với hệ số trong M ) Đặt I = Im f ⊂ R, bởi

Mệnh đề 1.5 Cho R là một vành, L là một R−module và f : L → R là mộtánh xạ R−tuyến tính Đặt I = Im f

đồng luân rỗng

rỗng Đặc biệt, đồng điều và đối đồng điều của chúng biến mất

còn lại của a được suy ra

b Ta có nếu ϕ là một đồng cấu phức đồng luân rỗng thì ánh xạ cảm sinh bởi

ϕ trên đồng điều là ánh xạ không Khi đó từ a ta suy được b

V L xác định duy nhất bởi các giá trị của nó trên L Do vậy, ta chỉ cần chỉ ra

R−module M

Chứng minh: Có một đẳng cấu tự nhiên (V L) ⊗ S ∼=V(L ⊗ S), và df⊗ S và

có thể lập luận như trong chứng minh của Mệnh đề 1.6 và điều này suy ra a

của các R−đại số Khi đó

các phức

và gọi là phức Koszul của dãy x Từ đây, chúng ta chỉ xem xét các phức Koszul

hoán vị của x

R/I; chú ý rằng ϕ là đồng luân duy nhất

Mệnh đề 1.9 Cho R là một vành, x = x1, , xn là một dãy trong R và

I = (x) Với mọi i, tồn tại đồng cấu tự nhiên

Chứng minh: Đồng cấu ϕ ở trên sinh ra các đồng cấu giữa các phức ϕ ⊗ M :

cấu tự nhiên.) Nó ngay lập tức kéo theo

^L

Mệnh đề 1.10 Cho x = x1, , xn là một dãy trong vành R.

a Với các ký hiệu như vừa giới thiệu trên, ta có

đó, ta có

L nên ta suy ra

R−module M, N Nếu N là R−module tự do hữu hạn sinh thì đồng cấu trên

Áp dụng b ta suy ra c

Mệnh đề 1.11 Cho R là một vành, x = x1, , xn là một dãy trong R, các

0 → U → M → N → 0 là một dãy khớp các R−module Khi đó dãy cảm sinh

là một dãy khớp các phức Đặc biệt, ta có một dãy khớp dài các module đồngđiều

bậc ta có một dãy khớp

trong đó ı và π là các phép nhúng và phép chiếu tự nhiên Nếu ∂ là vi phân của

phù hợp với định nghĩa tích tensor của các phức và ta có được a

Đồng cấu nối trong dãy khớp cảm sinh được xác định bởi tương ứng sau: Với

đồng điều là một đẳng cấu, hay

Chứng minh: a là trường hợp đặc biệt của Mệnh đề 1.12.b khi ta cho C• =

Với b., ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp p = 1, trường hợp tổng quát

Hệ quả 1.14 Cho R là một vành, x là một dãy trong R và M là một R−module

các phần tử thuần nhất Khi đó x cảm sinh một dạng tuyến tính bậc 0 trên

grade(I, M ) nếu M là một module hữu hạn sinh trên một vành Noether R và

I = (x ) Giả sử sự hữu hạn trong phát biểu trên là cần thiết để làm rõ ràng

Định lý sau được phát biểu mà không có giả sử này:

Hn+1−i(x, M ) = 0 với i = 1, , mvà

Chứng minh: Đẳng cấu cuối được chứng minh trong [2].

Ta chứng minh ý còn lại bằng quy nạp theo m Với m = 0 ta cần chỉ ra rằng

R⊗M

R−module con {y ∈ M |Iy = 0} của M

Định lý 1.17 Cho R là một vành Noether và M là một R−module hữu hạn

Thì mọi M −dãy cực đại trong I đều có độ dài là g = n−h, hay grade(I, M ) =

n − h

Chứng minh: a Chiều ⇒ là tầm thường: Nếu M = IM ⇔ H0(x , M ) ∼=M/IM = 0.

⇐: Ta chọn một ideal nguyên tố p Do Mệnh đề 1.7 và tính phẳng của địa

b Do a nên ta suy ra M 6= IM Đặt y là M −dãy cực đại trong I, khi đó,

Cho y là một M −dãy cực đại trong I, giả sử y có chiều dài là g Khi

Hệ quả 1.14 có thể đảo ngược cho vành địa phương Chúng ta cần bổ đề sau

để khẳng định điều này:

Bổ đề 1.18 Cho (R, m) là một vành Noether địa phương, M là một R−module

xn trên Hi(x0, M ) là một toàn cấu, từ đó suy ra Hi(x0, M ) = 0 theo bổ đề

Hệ quả 1.19 Cho (R, m) là một vành Noether địa phương, M 6= 0 là một

phát biểu sau là tương đương:

Từ Mệnh đề 1.8 ta có phức Koszul của một dãy x và của mọi hoán vị của

x là đẳng cấu nhau Do đó, Hệ quả 1.19 là một chứng minh khác cho mệnh đề

"Mọi hoán vị của một M −dãy cũng là một M −dãy"

0 trong đó x là một M −dãy bán chính quy cho ta x M 6= M

vuông cấp n sao cho

là khả nghịch do lớp các thặng dư của x và y là các cơ sở của R/m−không gian

phân 0 Đặc biệt, với mọi R−module M ta có

Trong trường hợp đặc biệt chúng ta đang chứng minh, phần đầu của mệnh

đề là kết quả tầm thường của Mệnh đề 1.6 Phần còn lại thì dễ dàng để kiểm

Hệ quả 1.22 Cho R là một vành, I là một ideal hữu hạn sinh, và M là một

Chương 2

Lý thuyết bội

Hàm Hilbert H(M, n) cho biết độ dài của thành phần thuần nhất thứ n củamột module phân bậc M Trong phần đầu của chương này, ta sẽ chứng minhrằng hàm Hilbert là một đa thức khi n đủ lớn, và giới thiệu về chuỗi Hilbert vàbội của một module phân bậc

Ở phần tiếp theo, với khái niệm vành phân bậc liên kết theo một lọc, chúng

ta mở rộng những khái niệm trên cho những module không phân bậc và dẫnđến khái niệm "hàm Hilbert - Samuel" và "bội" của một module hữu hạn sinhtheo một ideal xác định Cuối cùng, ta chứng minh định lý Serre, định lý giảithích bội như một đặc trưng Euler của một đồng điều Koszul xác định

M là một R0−module hữu hạn sinh Do đó lR0(Mn) hữu hạn.

Định nghĩa 2.1 Cho M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh Một hàm

gọi là chuỗi Hilbert của M

Trong phần còn lại của chương này, ta giả sử R được sinh bởi các phần tử thuần

Một hàm số học F : Z → Z được gọi là có kiểu đa thức (bậc d) nếu tồn tạimột đa thức P (X) ∈ Q[X] (bậc d) sao cho F (n) = P (n) với mọi n đủ lớn Taquy ước đa thức 0 có bậc là −1

Ta định nghĩa toán tử số gia ∆ trên tập các hàm số học xác định bởi(∆F )(n) = F (n + 1) − F (n) với mọi n ∈ Z Khi đó, ∆ biến một hàm đathức thành một hàm đa thức, giảm bậc của các đa thức khác 0 đi 1 Thực hiện

đề sau:

Bổ đề 2.2 Cho F : Z → Z là một hàm số học, và một số nguyên d ≥ 0 Cácđiều kiện sau là tương đương:

b F có kiểu đa thức bậc d

Chứng minh: Chiều b ⇒ a là tầm thường

Ta chứng minh a ⇒ b bằng quy nạp theo d

Nếu d = 0 thì ta suy ra F là đa thức hằng có deg F = 0 = d

cho F (n + 1) − F (n) = P (n) với mọi n ≥ n0 Khi đó,

Định lý 2.3 (Định lý Hilbert) Cho M là một R−module phân bậc hữu hạnsinh có chiều d Khi đó, H(M, n) có kiểu đa thức bậc d − 1

Chứng minh: Ta giả sử M 6= 0, khi đó, tồn tại một dãy

Do hàm Hilbert (hàm độ dài của module) có tính chất cộng tính trên cácdãy khớp ngắn nên ta có

i

chỉ cần chứng minh cho trường hợp M = R/p với p là một ideal nguyên tố phânbậc

n>0

mọi n Hay H(M, n) là một đa thức có bậc −1 = d − 1

Nếu d = dim R/p > 0, ta có thể chọn phần tử thuần nhất bậc 1 x ∈ R/p,

x 6= 0 Dãy khớp ngắn

Chứng minh: Chiều b ⇒ a là tầm thường.

a ⇒ b Ta có X+ii
với i ∈ N là một Q−cơ sở của không gian vector Q[X],

Định nghĩa 2.5 Cho M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d

gọi là đa thức Hilbert của M Ta viết

Khi đó, bội của M được định nghĩa như sau

bậc hữu hạn sinh M được định nghĩa một cách đệ quy như sau:

j≤n

d + i − 1, với d = dim M Đặc biệt, với mọi n đủ lớn, có một cách biểu diễn

các điều kiện sau là tương đương:

a Tồn tại một đa thức P (X) ∈ Q[X] bậc d − 1 sao cho P (n) = an với mọi n

n≥0

n + d − 1n

Hệ quả 2.8 Cho M 6= 0 là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều d

Chứng minh: Ở phần đầu của hệ quả, nếu d = 0 thì kết quả là rõ ràng Nếu

từ hệ số của cả hai chuỗi là các hàm đa thức của n mà bằng nhau khi n đủ lớn.Khai triển vế trái của biểu thức như một chuỗi lũy thừa và so sánh các hệ số,

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử trường các lớp thặng

i Ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp theo d

n>0Rn của R

n>0Rn được sinh bởi các phần tử của R1 là

quy Đặt N = M/aM , khi đó N là một R−module phân bậc Cohen-Macaulaychiều d − 1, và dãy khớp

Nhận xét 2.11 Các lập luận ở phần chứng minh trên cho ta một kết quả đángchú ý: Giả sử M là một R−module phân bậc hữu hạn sinh, và x là một M −dãy

Định lý Hilbert nói rằng hàm Hilbert của một module phân bậc hữu hạnsinh là một hàm đa thức với n đủ lớn Ta sẽ xác định từ giá trị nào của n thìđiều trên xảy ra.

Mệnh đề 2.12 Cho M 6= 0 là một R−module phân bậc hữu hạn sinh có chiều

Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R−module.Ideal I ⊂ m được gọi là ideal xác định của M nếu l(M/IM ) hữu hạn Cho I làmột ideal xác định của M , đặt

bội của M theo I.

Mệnh đề 2.14 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M 6= 0 là mộtR−module hữu hạn sinh có chiều d, và I là một ideal xác định của M Khi đó

Định nghĩa 2.15 Cho R là một vành Noether, I là một ideal thực sự của R

và M là một R−module hữu hạn sinh Một ideal J ⊂ I được gọi là ideal rút

Bổ đề 2.16 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là một R−modulehữu hạn sinh, I là một ideal xác định của M và J là một ideal rút gọn của Itheo M Khi đó J là một ideal xác định của M và e(J, M ) = e(I, M )

Mệnh đề 2.17 Cho R là một vành Noether, J ⊂ I là các ideal thực sự của R,

và M là một R−module hữu hạn sinh Các điều kiện sau là tương đương

a J là một ideal rút gọn của I theo M

Từ aixi ∈ Jb+iIn+1−biM ⊂ J InM nên suy ra x ∈ J InM Hay In+1M ⊂

Định nghĩa 2.18 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, I là một idealthực sự của R và M là một R−module hữu hạn sinh Số

gọi là độ trải giải tích của I theo M Đặt λ(I) = λ(I, R) và gọi là độ trải giảitích của I

Mệnh đề 2.19 Với các giả thiết ở Định nghĩa 2.18 ta có µ(J ) ≥ λ(I, R) vớimọi ideal rút gọn J của I theo M Nếu thêm giả thiết R/m hữu hạn sinh thì tồntại một ideal rút gọn J của I theo M sao cho µ(J ) = λ(I, M )

i≥0

với m = dimkJ/mJ = µ(J ) Do đó ta có dim(R+(I, M )/mR+(I, M )) ≤ m hayµ(J ) ≥ λ(I, R).

R/m−đại số thuần nhất, và dim A = λ(I, M ) Từ R/m là vô hạn, định lý tiêu

Nhận xét 2.20 Cho (R, m, k) là một vành địa phương Noether và I là mộtideal thực sự của R, J được gọi là ideal rút gọn cực tiểu của I nếu J là idealrút gọn của I và J không có ideal rút gọn thực sự nào khác Nếu k là vô hạnthì ta có một kết quả sau: Cho J là ideal rút gọn của I, và giả sử J có hệ sinh

Hệ quả 2.21 Cho (R, m) là một vành địa phương Noether có trường các lớpthặng dư vô hạn, M là một R−module hữu hạn sinh và I là ideal xác định của

M Khi đó, tồn tại một hệ tham số x của M sao cho (x) là ideal rút gọn của Itheo M Đặc biệt, e(I, M ) = e((x), M )

Ở trên ta thấy việc tính bội e(I, M ) của một module hữu hạn sinh M theo idealxác định I có thể rút gọn thành trường hợp I được sinh bởi hệ tham số của M

Sự thuận tiện của việc rút gọn này sẽ trở lên rõ ràng khi chúng ta chỉ ra rằng