Chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ

- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.. - Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị[r]

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A LÝ THUYẾT:

1 Bình phương của một tổng:  2 2 2

2

A B  A  AB B

2 Bình phương của một hiệu:  2 2 2

2

A B  A  AB B

3 Hiệu hai bình phương: A2B2A B A B   

4 Lập phương của một tổng:  3 3 2 2 3

A B  A  A B AB B

5 Lập phương của một hiệu:  3 3 2 2 3

A B A  A B AB B

6 Tổng hai lập phương: A3B3A B A   2AB B 2

7 Hiệu hai lập phương: A3B3A B A   2AB B 2

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên Thường sử dụng trong khi biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

1 Tổng hai bình phương: 2 2  2

2

A B  A B  AB

2 Tổng hai lập phương: 3 3  3  

3

A B  A B  AB A B

3 Bình phương của tổng 3 số hạng:

2

A B C   A B C  AB BC CA 

4 Lập phương của tổng 3 số hạng:

3

A B C  A B C  A B B C C A  

B CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:

Dạng 1: Biến đổi biểu thức

Phương pháp:

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a)  2

3x 2y

x xy

  c) x24y2 d)  2 2

2

x y  y Giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

3x 2y 3x 2 3x 2y 2y 9x 12xy 4y

b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

   2 2     2 2 2 2 2

c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

x  y x  y  x y x y

d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

  2 2            

x y  y  x y   y x y  y

x 2y 2x 2

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a) x y x   2xy y 2   x y x  2xy y 2

b) 2x36x26x2

c) x36x212x8

d)   3 3

2

x y  x y

Giải

a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

x y x   2xy y 2   x y x  2xy y 2

b) Ta có: 2x36x26x 2 2x33x23x1

Áp dụng bất đẳng thức ta được:  3 2   3

2 x 3x 3x 1 2 x1 c) Ta có: x36x212x 8 x33.2x23.2 2x23

Áp dụng bất đẳng thức ta được: 3 2 2 3  3

3.2 3.2 2 2

x  x  x  x d) Áp dụng bất đẳng thức ta được:   3 3

2

x y  x y

3 3 2 3 2 3 3 6 2 12 2 8 3

9x y 9xy 9y

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) a b c d a b c d       

b) x2y3z x 2y3z

c) x1 x2 x 1 x1 x2 x 1

d)   3 3

x y  x y

e)  2 2  2  2   

x  x  x  x  x x

Giải

a) a b c d a b c d       

             

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b) x2y3z x 2y3z  x3z2 y  x3z2y

c) x1 x2 x 1 x1 x2  x 1 x31x3 1 x61

d)   3 3

x y  x y

x3 3x y2 3xy2 y3 x3 3x y2 3xy2 y3

3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3

x x y xy y x x y xy y

6x y 2y 2 3y x y

e)  2 2  2  2   

x  x  x  x  x x

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau:

- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị

- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức

có liên quan đến giá trị đề bài đã cho

- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị

Bài 1: Cho x y 1 Tính giá trị biểu thức sau: A x 33xy y 3

Giải

Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:

A x  y  xy x y x xy y  xy

    2 

x y x y xy xy

Theo bài ra x y 1, thay vào A ta được:

A x y x y  xy  xy  xy  xy  xy xy

Vậy A1

Bài 2: Cho x y 4 và xy5 Tính 3 3  2

B x y  x y Giải

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

B x y  x y  x y x xy y  x y

    2   2

3

Theo bài ra x y 4, xy5 thay vào B ta được:

B x y x y  xy  x y    

Vậy B140

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a) 9x248x64 5 x3 tại x2 b) x39x227x27 tại x 4 c) 32 1

1

x

x



2 3

   

  tại x3 Giải

a) Ta có: 2 3  2 3

9x 48x64 5 x  3x8 5x

Thay x2 vào ta được:  2 3

3.2 8 5.2  36 b) Ta có 3 2  3

x  x  x  x

Thay x 4 vào ta được:   3 3 3

x      

c) Ta có:    

2

2

Thay x6 vào ta được: 2 1 62 6 1 43

x x x

     

d) Ta có:

2 3

   

 

2

2

Thay x3 vào ta được: 23 1 3 1 2 2 28

3 3 1 3 1 13 13

     

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A x  Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng:

 

2

m Q x m (với m là hằng số)  GTLN của A x m

+) Giá trị lớn nhất của biểu thức A x  Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng

 

2

Q x  n n (với n là hằng số)  GTNN của A x n

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a) A  x2 2x5 b) B9x3x24

Giải

A  x x   x x    x 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x    1 0 x 1

b) Ta có:

2

B x x     x x      x 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 43

4 khi 3 0 3

2   x x 2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) A8x28x14 b) B x2 x 2

Giải

a) Ta có: A8x28x14 2 4  x24x 1 12

 2

2 2x 1 12 12

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi 2 1 0 1

2

x   x b) Ta có:

2

B x   x x  x   x   

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 7

4 khi 1 0 1

x    x

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a)  2 2

1

A x  x b) B x 42x32x22x1 Giải

a) Ta có:

2

2 1 2 2 .1 1 3 1 3 3

x   x x  x  x   

Do x2 x 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3

4 Giá trị nhỏ nhất của 3 2

4

A  

    khi và chỉ khi 1 0 1

x   x b) Ta có: B x 42x32x22x 1 x42x3x2x22x1

Mặt khác:

1

1 0

x x

x x

   

       

    



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B0 khi và chỉ khi x1

Bài 4: Chứng minh rằng x24x10 luôn dương với mọi x

Giải

x  x x  x   x 

Ta thấy  2  2

x   x  luôn dương với mọi x

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP

1 Tìm hệ số x2 của đa thức sau khi khai triển :

  2  2  3 3

a A x  x  x  x

  2  2  2 3

b B x  x  x  x

Giải

a A x  x x  x x  x  x  x  x  x

3 2

28x 38x 36x 36

Vậy hệ số của x2 là 38

b B x  x x  x x  x  x  x  x  x

3 2

28x 31x 28x 23

Vậy hệ số của x2 là -31

2 Tính giá trị biểu thức

2

) 0, 2 0, 01

a A x  x tại x0,9

3 2

b B x  x  x tại x19

4 3 2

c C x  x  x  x tại x2 x 8

Giải

a ) Ta có :

2 0, 2 0, 01

A x  x

 2

2 0, 2 0,1

 2

0,1

x

 

0,9 0,9 0,1 1

x  A  

b) Ta có:

3 3 2 3 2

B x  x  x

 3

3 3 2 3 1 1 1 1

Với x19 thì  3

19 1 1 8000 1 8001

B       c) Ta có :

4 2 3 3 2 2 2

C x  x  x  x

4 2 3 2 2 2 2 2

1 1

x x

8 8 1 1 81 1 82

x   x C     

3 Tính hợp lý :

2 2

2 2

356 144

)

256 244

a A 

 b B) 2532 94.253 47 2

) 163 92.136 46

c C   d D) 1002 982   22  992972  12

Giải

2 2

2 2

356 144 356 144

)

256 244 256 244 500.12 3

256 244



) 253 94.253 47 253 2.47.253 47 253 47 300 90000

 2

) 136 92.136 46 136 2.46.136 46 136 46 90 8100

) 100 98 2 99 97 1

1002 992 982 972 22 12

100 99 100 99  98 97 98 97  2 1 2 1 

1 100 99 1 98 97 1 2 1

100 99 1 100 1 99 2 51 50

101 101 101 101.50 5050

4 Tính giá trị biểu thức :

2

3 3

2019 2020 2021

2021 2020 2019

2020 1

2020 1 2020 1





Giải

3

2021 2020 2019 2019 2020 2021

2020 1

2020 1 2020 1





2021 2020 2020 1 2019 2020 2020 1

2020 1 2020 1 2020 1 2020 2020 1 2020 1 2020 2020 1



1 .2019 1

2019

5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

a A x  y  xy y x b M) 5x2 y2z24x2xy z 1 Giải

a) Ta có :

A x  xy y x  x y  y 

  2  2 2

4 x y x 1 y 1 2018 2018

Vậy giá trị nhỏ nhất của A2018 tại x1;y 1

4 4

c M x  xy y  x  x z   z

         

Dấu bằng xảy ra khi

0

1

2 1 0

2 1

0 2

x y

z



  



      





  



Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 21

4

4

x  y z

6 Tìm x, biết :

a x  x  x x 

b x x  x x x  

c x  x  x x  x x 

Giải

a x  x  x x 

20x x 2 x 3 19

      

20x 1 19

9

20 18

10

b x x  x x x  

3 8 3 5 15

7

5 8 15 5 7

5

c x  x  x x  x x 

3 3 2 3 1 8 3 6 17

9x 7 17

10

9 10

9

7 Biết xy11 và x y xy2  2  x y 2016 Hãy tính giá trị : x2 y2 Giải

Ta có: x y xy2  2  x y 2016

xy x y   x y

11 x y  x y 2016

12 x y 2016  x y 168

2 168 2.11 28202

x  y  x y  xy  

8 Cho a b 7 Tính giá trị biểu thức :A a a 2  1 b b2  1 3ab a b   1 ab Giải

Ta có : A a 3 a2b3b2 3ab a b  3ab ab

a ab a b b a b ab

  3 2 3 2

7 7 392

a b a b

9 Chứng minh rằng với mọi x ta có :

) 6 10 0

a x x   b x) 3x  5 3 0 c x) 2  x 1 0

Giải

) 6 10 0

a x x  

2 6 9 1 0

 2

3 1 0

x

    (luôn đúng )

b x x  

2 8 18 0

2 8 16 2 0

 2

4 2 0

x

    (luôn đúng)

2

c x   x

2

         

  (luôn đúng )

10 Tìm x, y biết :

a x  x  y  y b x)4 2 y2 20x2y26 0 c x)9 24y24y12x 5 0 Giải

a x  x  y  y

x2 2x 1 y2 4y 4 0

  2 2

     (vì   2 2

x y  ) 1; 2

x y

2 2

b x  y  x y 

4x2 20x 25 y2 2y 1 0

  2 2

2x 5 y 1 0

 2

2x 5 0

   và  2

y  (vì   2 2

2x5 , y1 0)

5; 1

2

 x y

2 2

)9 4 4 12  5 0

9x2 12x 4 4y2 4y 1 0

3x 2 2y 1 0

 2

3x 2 0

   và  2

2y1 0 (vì   2 2

3x2 , 2y1 0)

;

11 Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:

2 2

a x  y  x y  b x)3 2 y210x2xy29 0

2 2

c x  y  y xy 

Giải

2 2

) 4 4 4 10 0

2 4 4 4 2 4 1 5 0

  2 2

Mà   2 2

x  y   

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài

2 2

b x  y  x xy 

2 2 2 2 2 10 29 0

2 2,5 16,5 0

Mà  2  2

2 2,5 16,5 16,5 0

x y  x   

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài

2 2

c x  y  y xy 

4x2 4xy y2 y2 2y 1 4 0

  2 2

2x y y 1 4 0

Mà   2 2

2x y  y1   4 4 0

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài

12 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

2 ) 15 8

a A  x x b B) 4x x 22 c C) x2 y24x4y2

Giải

A  x x    x x   x 

Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi x 4

b) Ta có  2  2

B    x x   x 

Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi x 2

c) Ta có :  2   2    2 2

C   x  x  y  y   x  y 

Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi x2;y  2

13 Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện x y 3;x2 y2 17 Tính giá trị biểu thức

3 3

x y

Giải

Ta có:

x y  x  y  xy  xy

9 17

4 2

xy 

x y  x y  xy x y    

14 Cho x y a b    1 và x3 y3 a3b3 2 Chứng minh rằng : x2 y2 a2 b2 Giải

Ta có hằng đẳng thức :  3 3 3  

3

x y  x y  xy x y (1)

3

a b a b  ab a b (2)

Kết hợp với (1) và (2) suy ra xy ab (3)

Mặt khác, từ (1) suy ra   2 2 2 2 2 2

x y  a b x  y  xy a b  ab Kết hợp với (3) suy ra : x2 y2 a2 b2

15 Cho a b c  2p Chứng minh rằng:

2 2 2

a bc b c a  p p a   2  2 2 2 2 2 2

)

b p a  p b  p c a b c  p Giải

a) Ta có: 2 2 2  2 2

2bc b c a  b c a

b c a b c a  2p2p a 4p p a 

Vế trái bằng vế phải Điều phải chứng minh

b) Ta có :   2  2 2

p a  p b  p c

3p 2p a b c a b c

3p 2 2p p a b c a b c p

Vế trái bằng vế phải Điều phải chứng minh

16 Cho  

2020 ch÷ sè 9

99 9

A Hãy so sánh tổng các chữ số của A2 với tổng các chữ số của A Giải

Ta có :





2020 ch÷ sè 9

99 9

A 102020 1 nên 2  2020 2

10 1

4040 2020

2019 2019

10 2.10 1 99 9800 01

Tổng các chữ số của A2 là : 9 2019 8 1 18180   

Tổng các chữ số của A là : 9 2020 18180 

Vậy tổng các chữ số của A2 và tổng các chữ số của A bằng nhau

17 Chứng minh rằng:

Nếu   2  2  2  2  2 2

a b  b c  c a  a b  c  b c  a  c a  b thì a b c  Hướng dẫn giải – đáp số

Giải

a b  c  a b  b c  a  b c  c a  b  c a 

Áp dụng hằng đẳng thức : x2 y2 x y x y    ta có :

  2  2     

a b  c  a b  a c b c  a c b c 

c a  b  c a  c b a b  c b a b 

Kết hợp với (*) ta có :

4 a c b c  4 b a c a  4 c b a b  0

a c b c  b a c a  c b a b  0

ab ac bc c bc ba ac a ac bc ab b

a b c ab bc ac

2 2 2

2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0

  2  2 2

0

0

0

0

a b

c a

 



     



  



18 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chứng minh rằng n4 4n là hợp số

(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013)

Giải

- Với n là số chẵn  n 2k k N   thì n44n 16k4 42 k4 nên n44n là hợp số

- Với n là số lẻ Đặt n2k1k N k *, 1 thì ta có:

4 4n 4 2 .22 n 4n 2.2n 1

n  n  n  n 

2n 2 k 2n 2 k 2n 2 k

Ta có:

2 2n 2 k 2 2 k 22 k 2 2n 22 k 2 2k 1 22 k 1 22 k 2

n   n n  n      n     

2k 2 k 1

mà n2 2n 2 kn n 2 2n 2 kn suy ra n4 4n là hợp số

Vậy n44n là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1

19

a) Cho a b 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của A a 2 b2

b) Cho x2y 8.Tìm giá trị lớn nhất của B xy

Giải

a) Ta có:   2 2  2 2

2

a b  a b  a b

 2

4 a b 2A

4 2A A 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi a b 1

b) Từ x2y    8 x 8 2y suy ra

8 2  8 2 2 8 8 8 2 2

B  y y y y    y y

 2

B  y 

Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi y2;x4

20 Tìm giá trị nhỏ nhất của A3x2y2 biết x2 y2 xy12

(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015)

Giải

Từ giả thiết, ta có  2  2

x y  xy  xy x y 

Ta có :

A x  y  x y  xy x y  x y   x y 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24 khi 0 2 ; 2

x y

       

21 Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn:   3  3 3

2010

a b  b c  c a  Tính giá trị của biểu thức A     a b b c c a

Giải

Đặt a b  x b c;   y c a;          z x y z 0 z x y

x y z  x  y  x y    xy x y 

70

xyz

  Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz70   2 5 7

nên x y z, ,    2; 5;7       A a b b c c a 14

22 Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn x2y2 2020

Giải

Từ x2 y2 2020 suy ra x; y cùng chẵn hoặc cùng lẻ

TH1: Nếu x; y cùng chẵn Đặt x2 ;m y2n

4m 4n 20182m 2n 1009

Vế trái chẵn, còn vế phải lẻ Vô lí

TH2: Xét x; y cùng lẻ Đặt x2k 1;y2q1

2m1  2n1 20184m 4m4n 4n2018

Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vô lí Vậy không tồn tại số nguyên x; y thỏa mãn x2 y2 2020

D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

CẦN NHỚ

2

A B A  AB B

2

A B A  AB B

3) A2B2 A B A B   

A B A  A B AB B

A B A  A B AB B

6) A3B3 A B A   2AB B 2

7) A3B3 A B A   2AB B 2

BÀI TỰ LUYỆN

1 Khai triển các biểu thức sau:

a) 1 33

2x

 

  

  ; b)  2 3

2x 3y 2.Tính giá trị của mỗi biểu thức sau tại giá trị chỉ ra:

a) x3 12x2 48x 64 tại x 6;

b) x36x2 12x8tại x 22

3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) x3 x2  3x 9 54x3;

b) 2x y x  4 22xy y 22x y x  4 22xy y 2

4.Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

a) 342 662 68.66;

b) 74224248.74

5 So sánh các cặp số sau:

a) A 2008.2010 với B 20092;

b) A   2 1 2 21 2 41 2 81 2 161 với B 232

6.Tìm x, biết:

a) 16x2(4x5)2 15 b)(2x 3)24(x1)(x  1) 49 c) (2x 1)(1 2 ) (1 2 ) x   x 2 18 d)2(x 1)2 (x 3)(x  3) (x 4)2 0 e) (x5)2x x(  4) 9 f) (x5)2 (x 4)(1 x) 0

7 Chứng minh đẳng thức    2 2

– 4

8 Tìm các giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a)A x 2 – 2x5 b)B x 2 –x 1

9 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

10 Chứng minh rằng các giá trị của các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến

11 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

1

a) Ta có: 1 33 1 3 3. 1 2.3 3. 1 .32 33 1 3 9 2 27 27

       

               

b) Ta có:  2   3 2 3  2 2 2   2 3

2x 3y  2x 3 2x 3y3.2 3x y  3y

8x 36x y 54x y 27y

2

x  x  x x  x  x   x

Thay x 6vào biểu thức cuối ta được kết quả là 1000

x  x  x x  x  x   x

Thay x 22vào biểu thức cuối ta được kết quả là 8000

3

a) Ta có: x3 x2  3x 9 54x3  x333  54x3     x3 27 54 x3 27