chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ

-Do nội dung kiến thức, hệ thống câu hỏi và bài tập chưa phù hợp cho từng đối tượng học sinh.... Là một giáo viên dạy Toán tôi luôn cố gắng tìm các giải pháp để khắc phục tình trạng học

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Giáo viên thực hiện: ĐẶNG THỊ THU HƯƠNG

Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị công tác : Trường THCS Liên Châu

Tên chuyên đề : Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Đối tượng học sinh: HS yếu, kém lớp 8

-I THỰC TRẠNG CHẤT LƯỢNG GIÁO DỤC CỦA ĐƠN VỊ NĂM HỌC

2018 – 2019.

Năm học 2018 – 2019 chất lượng giáo dục của trường THCS Liên Châu đứng trong tốp đầu của huyện Yên Lạc và tỉnh Vĩnh Phúc Tuy vậy nhà trường vẫn còn rất nhiều thi trượt lớp 10 THPT, nhiều học sinh yếu kém phải thi lại và còn có 2 em học sinh bị lưu ban

Có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng học sinh học yếu kém chẳng hạn như:

1 Về phía học sinh:

- Do chưa nhận thức được nhiệm vụ học tập

- Do chưa hứng thú với môn học

- Kiến thức bị hổng do học sinh lười học

- Do khả năng tiếp thu chậm

- Do thiếu phương pháp học tập phù hợp

- Do kinh tế gia đình khó khăn; Bố mẹ đi làm ăn xa nên điều kiện học tập thiếu thốn về cả vật chất, tình cảm cũng như thời gian, dẫn đến kết quả học tập theo đó bị hạn chế

- Do học sinh tiếp cận và đam mê các hoạt động của các mạng xã hội, cha mẹ học sinh cũng không có thời gian kiểm soát được chặt chẽ

2 Về phía giáo viên:

- Do phương pháp dạy học chưa phù hợp, chưa gây hứng thú học tập cho học sinh

- Do phương tiện dạy, thiết bị dạy học chưa đầy đú

-Do nội dung kiến thức, hệ thống câu hỏi và bài tập chưa phù hợp cho từng đối tượng học sinh

Là một giáo viên dạy Toán tôi luôn cố gắng tìm các giải pháp để khắc phục tình trạng học sinh học yếu kém, làm sao để học sinh có hứng thú học tập môn Toán và tôi thấy rằng một trong những giải pháp quan trọng đó là đổi mới phương dạy học

và nội dung bài dạy phải phù hợp từng đối tượng học sinh

Trang 2

Trong chương trình Đại số 8 “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” là một chuyên đề rất quan trọng và cần thiết để học tiếp các nội dung khác của lớp 8 và lớp 9 Việc nhận biết, thông hiểu và vận dụng tốt các hằng đẳng thức vào giải toán sẽ giúp cho học sinh làm toán nhanh, gọn, dễ dàng hơn và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi… Tuy nhiên khi học sinh học “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” thường gặp phải khó khăn cần phải khắc phục sau:

+ Học sinh khó nhớ hằng đẳng thức , khó nhận biết hằng đẳng thức

+ Học sinh thường gặp những bài toán mà khi biến đổi mới thấy được cần áp dụng dạng hằng đẳng thức nào

+ Phạm vi vận dụng hằng đẳng thức để giải toán rộng, nên học sinh không biết khi nào thì áp dụng

+ Khi vận dụng hằng đẳng thức thì còn nhầm lẫn về luỹ thừa, về biểu thức,

về dấu, … dẫn đến bế tắc

-Kết quả khảo sát chất lượng học sinh lớp yếu, kém lớp 8 trường THCS Liên Châu năm học 2018-2019 khi chưa áp dụng chuyên đề vào giảng dạy:

Đạt loại Số lượng (bài) Tỉ lệ so với số học sinh

tham gia khảo sát(10HS)

-Qua việc khảo sát chất lượng và tìm hiểu những khó khăn của học sinh tôi không khỏi băn khoăn, trăn trở làm thế nào để học sinh yếu, kém có thể nhớ được, hiểu được, nhận biết và vận dụng được những hằng đẳng thức vào giải các dạng bài tập cơ bản Từ đó bản thân tôi thấy cần phải có một chuyên đề riêng cho học sinh những học sinh yếu, kém Bằng sự tìm tòi, nghiên cứu, tự học, tự bồi dưỡng của bản thân tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ” Mong muốn chuyên đề này sẽ giúp các

em học sinh yếu, kém học tốt hơn

II ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH – DỰ KIẾN SỐ TIẾT DẠY

-Đối tượng là học sinh yếu kém lớp 8

-Dự kiến số tiết dạy là 12 tiết

III NỘI DUNG

A.HỆ THỐNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Trang 3

1) Một số công thức về lũy thừa của một số hữu tỉ

* xn = x.x x (n thừa số x, nÎN)

*xn xm = xn + m ( x Î Q ; m,nÎN)

*(xn)m = xn m( x Î Q ; m,nÎN)

*(x y)n = xn yn ( x,y Î Q ; m,nÎN)

*(x : y)n = xn : yn hay

n



( x,y Î Q, y ≠ 0 ; nÎN)

2) Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

*Bình phương của một tổng: (A+B)2 = A2+2AB+B2 (1)

(Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.)

Ví dụ: (x+2)2 = x2 +2.x.2+22 =x2+4x+4

*Bình phương của một hiệu: (A-B)2 = A2-2AB+B2 (2)

(Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.)

Ví dụ: (x-1)2 = x2 -2.x.1+12 =x2-2x+1

* Hiệu hai bình phương: A2-B2 = (A+B)(A-B) (3)

(Hiệu hai bình phương bằng tổng hai số đó nhân hiệu hai số đó.)

Ví dụ: x2 – 32 = (x+3)(x-3)

*Lập phương của một tổng: (A+B)3= A3+3A2B+3AB2 +B3 (4)

(Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng 3 lần tích bình

phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương

số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.)

Ví dụ: (x+2)3 = x3+3x2.2+3x.22+23 = x3+6x2+12x +8

*Lập phương của một hiệu: (A-B)3= A3-3A2B+3AB2-B3 (5)

(Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ 3 lần tích bình

phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương

số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.)

Ví dụ: (x-1)3 = x3+3x2.1+3x.12+13 = x3-3x2+3x -1

* Tổng hai lập phương: A3+B3= (A+B)(A2-AB+B2) (6)

Trang 4

(Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số.)

Ví dụ: x3 +1 =x3 +13 = (x+1)(x2-x.1+12) =(x+1)(x2-x+1)

* Hiệu hai lập phương: A3- B3 = (A-B)(A2+AB+B2) (7)

(Hiệu của hai lập phương bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng

Ví dụ: x3 -8 =x3 -23 = (x-2)(x2+2x+22) =(x-2)(x2+2x+4)

hai số.)

B PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC SINH GHI NHỚ HẰNG ĐẲNG THỨC:

Hoạt động 1: GV cho học sinh nhắc lại các công thức về lũy thừa đã học ở lớp 6,7 Hoạt động 2: GV cho học sinh thực hiện phép nhân đa thức với đa thức:

Bài toán: Thực hiện phép nhân:

1)(A+B).(A+B)

2) (A-B).(A-B)

3) (A+B).(A-B)

4)(A+B)2 (A+B)

5)(A-B)2.(A-B)

6)(A+B)(A2-AB+B2)

7)(A-B)(A2+AB+B2)

Hoạt động 3: GV hướng dẫn học sinh tìm ra những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chẳng hạn : Hình thành hằng đẳng thức số 1:

HS: Thực hiện phần 1)(A+B).(A+B)=A(A+B)+B(A+B)

= A2+AB+AB+B2

=A2+2AB+B2

GV: Sau khi HS thực hiện xong phép nhân thì cho HS rút ra nhận xét

(A+B).(A+B)=A2+2AB+B2

hay (A+B)2 = A2+2AB+B2

Từ đó giới thiệu hằng đẳng thức số 1 là: (A+B)2 = A2+2AB+B2

Hoạt động 4: GVđưa ra ví dụ

Ví dụ: Tính : (x+3)2

GV: giới thiệu 2 cách

Cách 1: Nhân đa thức với đa thức:

(x+3)2 = (x+3)(x+3) = x(x+3)+3(x+3) = x2+3x+3x+9=x2+6x+9

Trang 5

Cách 2: Dùng hằng đẳng thức số 1

(x+3)2 = x2+2.x.3+32 = x2+6x+9

Nhận xét: Cách 2 nhanh, gọn và dễ hơn

GV: Từ đó cho HS thấy được lợi ích của hằng đẳng thức số 1 trong giải toán

Hoạt động 5:GV: đưa ra bài tập áp dụng để HS thực hiện

-Tương tự giáo viên cho học sinh hình thành các hằng đẳng thức

Chú ý:

GV : Nên sử công nghệ thông tin để soạn giảng giúp bài giảng sinh động, dễ hiểu hơn

GV: Viết A, B bằng hai màu khác nhau

GV: Cho học sinh phát biểu các hằng đẳng thức bằng lời và quan sát kĩ từng hẳng đẳng thức để phát hiện những đặc điểm để nhớ hằng đẳng thức chẳng hạn:

+Hằng đẳng thức số 1, 2: Chỉ khác nhau về dấu

+Hằng đẳng thức số 4, 5: Khác nhau về dấu, bậc của A giảm dần thì bậc của

B tăng dần

+Hằng đẳng thức số 6, 7: Khác nhau về dấu

GV: Hướng dẫn học sinh có thể tự chế nhạc hoặc thơ để dễ thuộc hằng đẳng thức

Ví dụ: (nháy chuột phải và click vào Open Hyperlink để nghe)

C HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CHUYÊN ĐỀ.

Dạng 1: Nhận biết các hằng đẳng thức

1 Hằng đẳng thức số 1: (A+B)2 = A2+2AB+B2

Ví dụ 1: Tính

a) (x+ 4)2 b)(4 1

2

x y )2

Phương pháp:

a) GV: Hướng dẫn học sinh nhận biết (x+ 4)2 là vế trái hằng đẳng thức số 1trong đó A=x; B =4

GV: Hướng dẫn HS viết (x+ 4)2 =x2+2.x.4+42

GV: Hường dẫn HS trình bày lời giải

Lời giải:

(x+ 4)2 =x2+2.x.4+42 = x2+8x+16

Trang 6

b)GV: Hướng dẫn học sinh nhận biết (4 1

2

x y )2 là vế trái hằng đẳng thức số

1trong đó A=4x; B =1

2 y

Dùng hình vuông, tròn để thay thế cho biểu thức A, B học sinh sẽ tránh nhầm viết

là 4x2 và 1 2

2y

2

1 4

2



  = 4x 2 + 2 4x 1

2y + 1

2y

2

= 16x2 +4xy+1 2

4 y

Lời giải: (4 1

2

x y )2 =(4x)2+ 2.4x.1

2 y+

2

1

2y

  =16x2 +4xy+1 2

4y

Ví dụ 2 : Viết tổng sau thành tích : x2 +10x+25

GV : +Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 1

+ Cho HS xác định A=x, B=5

+Cho HS kiểm tra xem 2AB =2.x.5 có bằng 10x không? nếu bằng thì

x2 +10x+25 là vế phải của hằng đẳng thức số 1

Lời giải: x2 +10x+25 =x2 +2.x.5+52 =(x+5)2

Bài tập vận dụng:

Bài 1 : Tính

a) (2x + 3y)2 ; b)(3x+2y)2 ; c) (5x+1)2 ; d) (4x+2y)2 ; e)(1+5y)2 ; f)3 xy 22 ; g)0,01 xy 2 ; h) 3x 22

Bài 2 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

a)

2

1



2

5 2 2



  ; c)

2



 

d)

2

4

3



2

2 5 2 3



( 2.x y )

Trang 7

Bài 3 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a)x4  4x2  4 ; b)x2 + 16 + 8x ; c)9x2  30x 25

d)x2+12x+36; e)4x2+12xy+9y2 ; f) 2 1

4

x  x

Lời giải:

a) 4 2

x  x  = (x2)2 + 2.x2.2 + 22 = (x2 +2)2

b)x2 + 16 + 8x =x2 +2x.4 +42 = (x+4)2

c)9x2  30x 25=(3x)2 +2.3x.5 +52 = (3x+5)2

d)x2+12x+36=x2 +2x.6 + 62= (x+6)2

e)4x2+12xy+9y2 = (2x)2+ 2.2x.3y +(3y)2 =(2x+3y)2

f)

2 .

x  x x  x   x 

2 Hằng đẳng thức số 2: (A-B)2 = A2-2AB+B2

Ví dụ 1: Tính

a) (2 –x)2 b) (2x 3y2 )2

Phương pháp:

a)GV: Hướng dẫn học sinh nhận biết (2-x )2là vế trái hằng đẳng thức số 2 trong đó A=2; B =x

GV: Hướng dẫn HS viết (2-x)2 =22-2.2.x+x2

GV: Hường dẫn HS trình bày lời giải

Lời giải: (2-x)2 =22-2.2.x+x2 = (2-x)2

b)GV: Hướng dẫn học sinh nhận biết ( 2

2x 3y )2là vế trái hằng đẳng thức số 2 trong

đó A=2x; B =3y2

Dùng hình vuông, tròn để thay thế cho biểu thức A, B học sinh sẽ tránh nhầm : ( 2x - 3y2 )2 = 2x 2 - 2 2x 3y2 + 3y2 2 = 4x2-12xy2+9y4

Lời giải: (2x-3y2 )2 =(2x)2- 2.2x.3y2+(3y2)2=4x2-12xy2+9y4

Ví dụ 2 : Viết tổng sau thành tích : x2 -8x+16

GV : +Cho HS dự đoán bài toán có dạng hằng đẳng số 2

+ Cho HS xác định A=x, B=4

+Cho HS kiểm tra xem 2AB =2.x.4 có bằng 8x không ? nếu bằng thì

x2 -8x+4 là vế phải của hằng đẳng thức số 2

Trang 8

Lời giải: x2 -8x+16 =x2 -2.x.4+42 =(x-4)2

Bài 4 : Tính

a) (4x - y)2 ; b)(3x- 2y)2 ; c) (2x- 1)2 ; d) (5x2-2y)2 ; e)(1-3y)2 ; f)3 xy 22 ; g)0,05 xy 2 ; h) 5x 12

Bài 5 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng

a)

2

1

2



2

5 2 2



  ; c)

2



 

d)

2 2

4

3



2

2 2 2 3



g) (x+y –z)2

Bài 6 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích

a)x2 – 6x + 9 ; b)x2 +49 - 14x; c)4a4  20a b2 2  25b4

d)1 2

4x  x ; e) 4x2-12xy+9y2; f)12 2 2 4 4 4

9

g) 16x2 – 8x +1 ; h) 2 2 2 2

2

4

x  x

3 Hằng đẳng thức số 3: A2 –B2 =(A+B)(A-B)

Ví dụ 1: Tính (2x-3)(2x+3)

+ Cho HS xác định A=2x, B=3 và (2x-3)(2x+3) là vế phải của hằng đẳng thức số 2

Lời giải: (2x-3)(2x+3)=(2x)2 - 32 = 4x2 -9

Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: 4x2 - 25

GV : + Cho HS viết 4x2 – 25 = (2x)2 - 52

+Cho HS dự doán bài toán có dạng hằng đẳng số 3

+ Cho HS xác định A=2x, B=5 và 4x2 –25 là vế trái của hằng đẳng thức số 2 Lời giải: 4x2 – 25 = (2x)2 - 52 =(2x+5)(2x-5)

Trang 9

Bài 7: Tính

a) (3x-1)(3x+1); b) (5x-3y)(5x+3y); c)(3x2-y)(3x2+y)

d) (2x+1

2

)(2x-1

2); e) (5x+

3

2

)(5x-3

2); f) (

3

4x+2)(

3

4x-2)

e) (x+

2

y

)(x-2

y

); f) (2x+1-y)(2x+1+y); h)(x+y+2)(x+y-2)

Bài 8: Viết biểu thức sau thành tích:

a) 25x2 – 49; b)x2 – 1 c) x2 - 3

d) x4 -81; e)1

4x

2 – 1 f) (4x2)2 – y2

g)(2x+3)2 – (3x-1)2 ; h) (x+2y)2 – x2 ; i) (3x2-1) -16

k)a2  b2 2 a2 b22; l) - 4x2 + 9

4 Hằng đẳng thức số 4: (A+B)3 = A3 +3A2B+ 3AB2+B3

Ví dụ 1: Tính (x+2)3

+ Cho HS xác định (x+2)3 là vế trái của hằng đẳng thức số 4, trong đó A=x, B=2

+Cho HS viết (x+2)3 thành x3 + 3x2.2+3x.22+23

Lời giải: (x+2)3=x3 + 3x2.2+3x.22+23 = x3+6x2+12x+8

Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: x3 + 9x2 + 27x + 27

+ Cho HS xác định x3 + 9x2 + 27x + 27 có thể vế trái của hằng đẳng thức số 4 trong đó A=x, B=3 và

+Cho HS kiểm tra xem 3A2 B =3.x2.3 và 3AB2 =3x.32 có bằng 9x2 và 27x không? nếu bằng thì x3 + 9x2 + 27x + 27 đúng là vế phải của hằng đẳng thức số 4 Lời giải: x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3+3.x2.3 +3x.32 + 33 = (x+3)3

Bài 9: Tính:

Trang 10

     

3

1

e)(5x+3

2)

3 f)) (3

2 g) (1

2x

2+2

3y)

3 h) (3x+2y2)

Bài 10: Viết tổng sau thành tích:

a) x3 + 3x2+3x+1; b) 8x3+12x2y+6xy2+y3;

b) 27+27y2+9y4+y6 ; d)27x3 + 54x2 + 36x + 8

5 Hằng đẳng thức số 5: (A-B)3 = A3 - 3A2B+ 3AB2 - B3

Ví dụ 1: Tính (x- 1)3

+ Cho HS xác định A=x, B=1 và (x-1)3 là vế trái của hằng đẳng thức số 5 Lời giải: (x-1)3=x3 -3x2.1+3x.12-13 = x3-3x2+3x-1

Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: x3 -9x2 + 27x - 27

+ Cho HS xác định x3 - 9x2 + 27x - 27 có thể là vế phải của hằng đẳng thức

số 4 và A=x, B=3

+Cho HS kiểm tra xem 3A2 B =3.x2.3 và 3AB2 =3x.32 có bằng 9x2 và 27x không? nếu bằng thì x3 - 9x2 + 27x - 27 là vế phải của hằng đẳng thức số 4

Lời giải: x3 - 9x2 + 27x - 27 = x3-3.x2.3 +3x.32 - 33 = (x-3)3

Bài 11: Tính:

3

2

e)(5x-3

2)3 f) (3

4x- 1)2 g) (2

3x2-1

2y)3 h) (2x-3y2)

a)x3 -6x2+12x - 8; b) x3- 6x2y+12xy2-8y3;

c) 27- 27y2+9y4- y6 ; d)27x3 - 54x2 + 36x - 8

6 Hằng đẳng thức số 6: A3 + B3 = (A+B)(A2-AB+B2)

Trang 11

Ví dụ 1: Tính (x + 3)(x2 - 3x + 9)

+ Cho HS xác định A=x, B=3 và (x + 3)(x2 - 3x + 9) là vế trái của hằng đẳng thức số 6

Lời giải: (x + 3)(x2 - 3x + 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 32) = x3+33 =x3 +27

Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: x3 + 8

+ Cho HS xác định A=x, B=2 và x3 + 8 là vế trái của hằng đẳng thức số 6 Lời giải: x3 + 8 =(x+2)(x2+x.2+22) =(x+2)(x2+2x+4)

Bài 13: Tính:

a)( x+2y)(x2 - 2xy + 4y2) ; b) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9)

2)(x2-3

2x+9

4)

a) 1 3

27x ; b) x3 + 125 c) (x+4)3+64 d)1 3 3

27

7 Hằng đẳng thức số 7: A3 + B3 = (A+B)(A2-AB+B2)

Ví dụ 1: Tính (x + 3)(x2 - 3x + 9)

+ Cho HS xác định A=x, B=3 và (x + 3)(x2 - 3x + 9) là vế trái của hằng đẳng thức số 6

Lời giải: (x + 3)(x2 - 3x + 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 32) = x3+33 =x3 +27

Ví dụ 2: Viết biểu thức sau thành tích: x3 + 8

+ Cho HS xác định A=x, B=2 và x3 + 8 là vế trái của hằng đẳng thức số 6 Lời giải: x3 + 8 =(x+2)(x2+x.2+22) =(x+2)(x2+2x+4)

Trang 12

Bài 15: Tính:

a)( 2x- y)(4x2 +2xy + y2) ; b) (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9)

2)(x2+1

2x+1

4)

a)64 x 3; b) x3 -125 c) (x+3)3-(y-1)3 d) 1 3 3

8

Dạng 2: Rút gọn biểu thức :

Phương pháp:

+Sử dụng các hằng đẳng thức để viết biểu thức dưới dạng tổng của các đơn thức

+Thu gọn các đơn thức đồng dạng

Ví dụ: Rút gọn biểu thức : -3(x+2)2+(x+1)(x-1)-(2x-3)2

GV: hướng dẫn học sinh dùng hằng đẳng thức số 1,2,3 để viết biểu thức thành tổng của các đơn thức

Lời giải: -3(x+2)2+(x+1)(x-1)-(2x-3)2

=-3(x2+4x+4) +(x2-1)-(4x2-12x+9)

=-3x2-12x-12+x2-1-4x2+12x-9

=(-3x2+x2-4x2)+(12x-12x)-(12+1+9)

=-6x2-22

Bài 17 Rút gọn các biểu thức :

a) (3x – 2)2 + (4x – 1)2 + (2 + 5x)(2 – 5x)

b) (x + 2)(x2 – 2x + 4) – (x – 3)(x2 + 3x + 9)

c) (x + y – z)2 + 2(x + y – z)(z – y) + (z – y)2

d) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 + 3a2b + 3b2c + 3c2a

e)(2x + 7)2 + (5 + 2x)(5 – 2x) – 25

f)(x4- 5x2+25)( x2 + 5) – ( 2 + x2)3 + 3(1 + x2)2

g) (x2-2)3 – (x2-2)(x4+2x2+4); h) (a2+5)2 – (a+5)(a-5)(a2+25)

Bài 18 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	311 KB