Bồi dưỡng Toán Đại 8

Cho học sinh làm bài tập để trình bày phương pháp giải là phương pháp nên được dùng.. Hầu hết các kiến thức đại số, các phương pháp giải toán cấp THCS đều rơi vào chương trình Đại số 8,.

Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện !

Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS” “Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trên

Tập tài liệu là những bài tập định hướng cho các mục nội dung đã nêu ở chương trình Mỗi nội dung có thể có một số dạng bài tập khác nhau, mỗi dạng bài tập có thể có một hoặc nhiều bài tập đại diện cho dạng Giáo viên cần chọn những kiến thức cơ bản và cụ thể nhất (theo từng đề mục đã nêu ở chương trình)

để cung cấp kiến thức cho các em Đi nhanh các kiến thức đã trình bày ở chương trình chính khóa, các kiến thức nâng cao được trình bày ngắn gọn Cho học sinh làm bài tập để trình bày phương pháp giải là phương pháp nên được dùng Các bài tập trong tài liệu giúp giáo viên chọn bài tập tương tự tạo thành lớp bài toán cho dạng cần giảng

Hầu hết các kiến thức đại số, các phương pháp giải toán cấp THCS đều rơi vào chương trình Đại số 8, Vì vậy, nhìn chung chương trình tương đối nặng, cần

có sự đầu tư thích đáng về thời gian cho phân môn này So với chương trình trước đây, chương trình này đã cắt bỏmột số kiến thức nâng cao (Định lý Bơdu , lược

đồ Hoocnơ ) do tính phức tạp của nó cũng như ứng dụng không nhiều Tuy vậy, một số dạng toán thường gặp (bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, bài toán cực trị, giải phương trình ) thì trình bày kỹ hơn Lượng bài tập cho dạng không thể hiện tính quan trọng của dạng, một số đề mục quan trọng cần chọn nhiều bài tập nhưng kiểu bài tập khá rõ thì chỉ trình bày một bài đại diện

Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí thầy giáo, cô giáo Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa bổ sung những gì còn thiếu sót

Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô

Bộ phận chuyên môn THCS

PHẦN I : ĐỊNH HƯỚNG NỘI DUNG VÀ BÀI TẬP ĐẠI DIỆN

I Phép nhân và phép chia đa thức :

1 Nhân hai đa thức:

- Thực hành nhân hai đa thức với nhau : (Giáo viên tự chọn bài tập )

Giáo viên cần chọn các bài tập rèn luyện kỹ năng nhân hai đa thức để trình bày cho phần này Trong thực hành giải toán, việc nhân hai hai đa thức không sắp xếp cũng rất quan trọng Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự các biến là cần thiết cho việc nhận ra các hạng tử đồng dạng

- Bài tập chứng minh sử dụng phép nhân đa thức :

Bài toán 1 :

Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c = abc Chứng minh rằng :

a(b2-1)(c2-1) + b(a2-1)(c2-1) + c(a2-1)(b2-1) = 4abc

để giải toán Giáo viên cần biết điều này để chọn bài tập cho thích hợp

Hệ số của lũy thừa một nhị thức xác định bằng công thức tổ hợp ( Cnk) là khó đối với học sinh nên xác định bày tam giác Pascal là thích hợp hơn cả

Chứng minh (a+b+c)2 +a2 +b2+c2 = (a+b)2 + (c+b)2+(c+a)2

- Tam giác Pascal và hằng đẳng thức (a +b)n

Bài toán 7 :

Tìm tổng các hệ số của đa thức có được khi khai triễn (4a-3)4

3 Phân tích đa thức thành nhân tử :

- Phương pháp nhóm các số hạng - Đặt nhân tử chung :

Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử giúp học sinh trình bày việc giải

phương trình, bất phương trình tích dạng tam thức Hướng dẫn học sinh phân tích tam thức bậc hai “bằng phương pháp nhẩm nghiệm” là việc cần làm Việc tách, phân tích tam thức bậc hai có thể trình bày theo hướng sau : Tam thức bậc hai P =

x2 +bx+c = x2 + (b1+b2)x + b1b2 (Như vậy số b (hoặc -b) được tách thành b1+b2

Các bài toán thêm bớt sau cũng rất thường gặp :

- Thêm bớt để được một tổng bình phương :

4 Chia đa thức :

Các bài tập phần này chủ yếu áp dụng định nghĩa phép chia có dư và định nghĩa hai đa thức bằng nhau

- Thực hành phép chia hai đa thức :

Chia đa thức được sử dụng khá nhiều trong giải toán Giáo viên cần chon nhiều bài tập rèn luyện khả năng chia cho học sinh Sau phần này học sinh phải thực hiện phép chia hai đa thức như chia hai số thông thường

- Tìm phần dư trong phép chia phân thức :

Bài toán 16 :

Tìm phần dư trong phép chia 1+x+x2 + x1999 cho 1-x2

Tìm a (b ) để x4 -9x3+21x2+x+a chia hết cho x2-x-2.

5 Bài tập tổng hợp về biến đổi biểu thức đại số :

Làm quen với một số dạng toán, nâng cao kỹ năng thực hiện các phép toán trên đa thức, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là mục tiêu chính của phần này

- Bài tập chứng minh đẳng thức :

Bài toán 19 :

Chứng minh rằng nếu a3 +b3 +c3 = 3abc thì :

hoặc a+b+c = 0 hoặc a=b=c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

f(x,y) = x2 + 2y2 - 2xy -4y + 5

(Đề thi HSG tỉnh vòng 1 năm 94-95)

II Phân thức đại số :

1 Tập xác định của phân thức đại số :

Khi chọn bài tập cho phần này giáo viên cần chú ý chọn các bài tập để tập xác định có thể là toàn trục số; tập rỗng

2 Rút gọn phân thức :

- Bài tập thực hành rút gọn phân thức (Giáo viên tự chọn bài tập )

- Các bài toán cực trị liên quan đến phân thức

(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)

Ngoài các bài tập công trừ phân thức bình thường cần chú ý một số bài tập cộng trừ phân thức đặc biệt cũng như thực hiện tính biểu thức chứa phân thức cùng với điều kiện của biến

- Thực hiện tính biểu thức chứa phân thức cùng với quan hệ của biến

(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)

4 Nhân chia phân thức.

- Bài tập thực hành nhân chia phân thức

1 Phương trình tương đương - Biến đổi tương đương các phương trình

Giáo viên chọn giải một số phương trình để học sinh thấy rõ đâu là phương trình tương đương và đâu là phương trình hệ quả

2 Phương trình bậc nhất một ẩn- Phương trình bậc nhất chứa tham số - Giải

và biện luận

Bài toán 39:

Giải và biện luận phương trình sau :

a2x = a(x+b) - b (x là ẩn; a,b là tham số )

Do học sinh chưa được học phần căn thức nên các phương trình được chọn

ở phần này phải có nghiệm hữu tỷ Giải được phương trình dạng này giúp ích rất

nhiều cho việc giải các dạng phương trình khác vì vậy cần chọn nhiều bài tập cho phần này nhằm rèn luyện kỹ năng “giải phương trình bậc hai bằng cách phân tích thành tích hai nhị thức bậc nhất”.

- Phương trình tích dạng thông thường :

Khi cho các bài tập phần này cần chú ý: Các phương trình dạng f(x) = 0 thì f(x) phải phân tích được thành tích các nhị thức bậc nhất với hệ số hữu tỷ ( thường là hệ số nguyên) hoặc tam thức bậc hai có nghiệm hữu tỷ

6 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

7 Giải phương trình bằng phương pháp ẩn phụ :

Phương pháp ẩn phụ là phương phương pháp rất hay được dùng khi giải phương trình Ngoài ý nghĩa gọn gàn khi trình bày, với một số bài toán phương pháp ẩn phụ được xem là cứu cánh Ngoài các dạng thông thường (sau khi đặt ẩn phụ phương trình được đưa về dạng phương trình đã biết với một ẩn số ) , một số phương trình, sau khi đặt ẩn phụ chúng ta được phương trình mới với nhiều ẩn(thường là hai ) Sau đây một số bài toán thuộc dạng thứ hai này

8 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

( Giáo viên tự chọn một số bài toán nâng cao cho loại toán này )

IV.Bất phương trình

1 Bất phương trình bậc nhất

( Giáo viên tự chọn giải một số bài tập )

2 Bảng tích các dấu và giải một số bất phương trình bậc cao đơn giản

Bài toán 50:

Tìm x biết :

- Tích của nó với b thì nhỏ hơn (lớn hơn) b và b < 0 ( hoặc b > 0)

- x nhỏ (lớn hơn ) hơn bình phương của nó

- x nhỏ hơn (lớn hơn ) nghịch đảo của nó

(Phần này giáo viên có thể thay đổi quan hệ để có các bài tập khác nhau Tuy nhiên cũng cần chọn các quan hệ thương gặp trong việc giải toán sau này )

- Bất đẳng thức Côsi :

Bất đẳng thức này được trình bày dưới dạng :

a1 + a2 + an2≥ n|a1a2 an |

- Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối để giải phương trình

Để giải các bài tập dạng này, các kiến thức thức thường được sử dụng là : |a| ≥ 0 ;

| a | = | -a | ; | a | + | b | ≥ |a +b | ; | a | - | b | ≤ | a - b | Giáo viên cần chọn các dạng các bài tập có sử dụng các kiến thức trên

b(a2 -1)(c2-1) =abc +a2c+ac2- ba2-bc2+b (2)c(b2 -1)(a2-1) = abc +b2a+ba2- cb2-ca2+c (3)Cộng (1) ,(2),(3) vế theo vế và thay a+b+c = abc ta được đpcm

(*) Trong phép nhân để được (2) chúng ta dựa vào kết quả của (1) và thay vai trò của a và b cho nhau Tương tự để được (3) chung ta chỉ cần thay vai trò của a và c cho nhau

Bài toán 2:

- Với x = 1 ta thấy VT(vế trái) = VP(vế phải) = 32

- Với x =/=1, nhân hai vế của đẳng thức với (1-x) ta được: (Vì 1-x =/= 0)

Bài toán 8 :

Phân tích các đa thức thành nhân tử :

P = (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3

= x3 -y3 + 3xy2 - 3x2y + y3 -z3 + 3yz2 - 3y2z + z3 -x3 + 3zx2 - 3xz2

= 3( xy2 - y2z + yz2 -x2y + zx2 - xz2)

= 3( -y2(x-z) -y(x2-z2) - xz(x-z))

= 3(x-z)(-y2 -xy-yz -xz)

= 3((x-z)( y(x-y)-z(x-y) ) = 3(x-z)(x-y)(y-z)

Q = a2c+a2b+abc+b2a+b2c+abc+c2a+c2b

= a2c+a2b+abc+b2a+b2c+c2b + abc+c2a

= (a+b+c)( (a+b)2 - (a+b)c + c2 ) ) - 3ab (a+b+c)

= (a+b+c)( (a+b)2 - (a+b)c + c2-3ab)

c Chọn một trong hai cách trên để giải.

Bài toán 14 :

Chứng minh x1994+x1993+1 chia hết cho x2+x+1

- Bài toán tổng quát đã trình bày có thể thấy 1994 = 3n+2 và 1993 = 3.m+1 suy

Bài toán 15 :

Phân tích các đa thức thành nhân tử :

a P = (x2+x)2 - 2(x2+x) -15

Đặt x2+x = y ta được :

(*) Âøn phụ y được đặt là trung bình cộng của (x2+8x+7) và (x2+8x+15) để áp dụng hằng đẳng thức a2- b2 sau này.

c M = (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24

= (x2 +7x +10)(x2+7x +12) -24Đặt y = (x2 +7x +11) ta được :

M = (y-1)(y+1) -24

= y2 -25

= (y-5)(y+5)Thay y =(x2 +7x +11) ta được : M = (x2 +7x +6) (x2 +7x +15)

(*) Định hướng trong việc nhân các nhị thức là điều cần lưu ý đối với học sinh

Bài toán 16 :

Tìm dư thức trong phép chia 1+x+x2+ +x1999 cho 1-x2

Đa thức chia là 1-x2 (bậc hai) nên dư thức có dạng ax+b (bậc nhất) ta có thể viết : 1+x+x2+ x1999 = q(x)(1-x2) + ax+b

= q(x) (1-x)(1+x) + ax+bLấy x = 1 ta được 1 + 1 + 12 + +11999 = a+b hay a+b = 2000

Lấy x = -1 ta được 1 - 1 + 12 + -11999 = a+b hay -a+b = 0

Tính được a=b=1000 (tìm hai số khi biết tổng ,hiệu )

r(x) có dạng ax +b (bậc nhất ) vì đa thức chia (x2 -1) bậc hai hay

Lấy x = 2 theo (1) và (3) ta được : 2a + b = 5 (4)

Lấy x = 3 theo (2) và (3) ta được : 3a + b = 7 (5)

So sánh (5) với (4) dễ suy ra a=2, b = 1

Thay a,b vào (3) để suy ra f(x)

Hoặc : (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 = 0

Tổng bình phương các số bằng 0 nên mỗi số bằng 0 Suy ra được a=b=c

Bài toán 20 :

Từ x+y =1 Lập phương hai vế ta được : x3 + y3 + 3xy(x+y) = 1

Lại thay x+ y = 1 ta được x3 +y3 + 3xy = 1 hay x3 +y3 = 1-3xy ( đpcm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

f(x,y) = x2+2y2 -2xy -4y +5

A = x2-4xy +5y2 +10x-22y +30

= x2 - 2.x.2y +(2y)2 + y2+ 2.x.5 -2.2y.5 -2y + 25+1+4

= x2 + (2y)2 + 52 -2.x.2y + 2.x.5 - 2.2y.5 + y2 - 2y +1 + 4

= (x - 2y + 5)2 +(y-1)2 + 4

A đạt giá trị nhỏ nhất lúc y - 1 = 0 và x -2y + 5 = 0 Hay y =1; x = 2y-5 = -3

A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4

Bài toán 24:

Lấy (1) trừ (2) được : y-t = -1 => y = t-1

Bài toán 28:

Gọi số có ba chữ số là xyz với điều kiện 0 < x,y,z < 0

Ta phải tìm x,y,z để A = xyz lớn nhất

1/a2 + 1/b2 +1/c2 + 2(1/ab + 1/ac+1/bc ) = 4

1/a2 + 1/b2 +1/c2 = 4 - 2(c/abc + a/abc+a/abc)

Bài toán 39 :

a2x = a(x+b) - b

a2x-ax -ab -b = 0

x(a(a-1)) -b(a-1) = 0

a =/=0 và a =/=1 phương trình có nghiệm duy nhất x = b/a

a = 1 phương trình có vô số nghiệm

a = 0 ; nếu b =/=0 : phương trình vô nghiêm

nếu b = 0 : phương trình vô số nghiệm

Bài toán 40:

ĐK : a,b,c =/=0 ;

x( 1/a + 1/b +1/c) = 3 + b/a+c/a+c/b+a/b+b/c+a/c

x(1/a + 1/b +1/c) = a/a + b/a+c/a+b/b+c/b+a/b+c/c+b/c+a/c

x(1/a + a/b +1/c) = (a+b+c)( 1/a+1/b+1/c)

Nếu ( 1/a+1/b+1/c) = 0 : phương trình có vô số nghiệm

( 1/a+1/b+1/c) =/= 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = a+b+c

ĐK : x =/= 0,-1,-2,-3,-4,-5,

1/x -1/(x+1) + 1/(x+1) -1/(x+2) + 1/(x+4) - 1/(x+5) = 5/6

1/x - 1/(x+5) = 5/6

- Xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối.

- Giải tìm nghiệm , đối chiếu với khoảng tương ứng của biến để chọn nghiệm

Aïp dụng giải bài tập đã nêu

b Giải tương tự

(*) Các phương trình loại này sẽ được trình bày kỹ hơn ở phần áp dụng BĐT để giải phương trình Lúc đó BĐT dạng tích đã trình bày nên việc tìm nghiệm dễ dàng hơn Ởí đây các bài tập đơn giản được nêu như một bài tập khởi đầu

d a2 + b2 + c2 < 3/2

1+ a4 1+ b4 1+ c4

Có 1+ a4 > 2a2 nên : 1 ≥ 1

2a2 1+a4

Dấu “ =“ xảy ra khi x/y = z/t

(*) Nếu giải theo Côsi :

2xy < x2 +y2 < 2 => xy < 1

x > xx+ y + z x+ y + z + t

y > y

y + z+t x+ y + z + t

z > zx+ z +t x+ y + z + t

t > tx+ y + t x+ y + z + t

x + y + z + t > x+y+z+t = 1 (1) x+ y + z y + z +t x + z+ t t+ x+ y x+y+z+t

Ta lại có :

x < xx+ y + z x + z

y < y

y + z+t y + t

z < zx+ z +t x + z

t < tx+ y + t y + t

Cộng các BĐT vế theo vế ta được :

x + y + z + t < x+z + y + t =2(2) x+ y + z y + z +t x + z+ t t+ x+ y x+z y+t

(1-x1)(1-x2)(1-x3) > 1-(x1 + x2 + x3)

Do (x1 + x2 + x3) < 0.5 nên (1-x1)(1-x2)(1-x3) > 0.5

Bài toán 58 :

- Nếu cả ba số giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng 1 thì:

a2 + b2 + c2≥ a+b+c ( vì a2≥ a; b2≥ b c2≥ c)

nên a2 + b2 + c2≥ abc ( theo gt a+b+c ≥ abc)

- Có ít nhât một số có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 chẳng hạn | c | < 1thì :

a2 +b2+c2≥ a2 +b2≥ 2|ab| ≥ |abc| ≥ abc

Dấu “=“ xảy ra khi : x = 2 và (x-1)(-x+7) ≥ 0 (1)

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 ( vì 1 < 2 < 7 )

(*) Có thể kết luận x = 2 là nghiệm vì x =2 thỏa (1)

30.11.1999 LE NHO DUYET