BÀI TẬP HÌNH HỌC 10

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ nhất?. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục OxA[r]

Bài 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ chỉ phương của đường thẳng

Phương pháp giải

- Nếu n



là VTPT của  thì kn k  0

cũng là VTPT của 

- Nếu u



là VTCP của  thì ku k  0

cũng là VTCP của 

- Hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT của đường này là VTPT của đường kia; VTCP của đường này cũng là VTCP của đường kia

- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTPT của đường này là VTCP của đường kia và ngược lại

- VTPT và VTCP của 1 đường thẳng vuông góc với nhau Do vậy nếu  có VTCP u( ; )a b



thì ( ; )

n b a



là một VTPT của 

A VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng

2 3 3

 





 

A.u  1 2; –3 

B.u 2 3; –1  C.u  3 3; 1 

D.

4 3; –3

u 

Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A  3;2

và B1; 4?

A u 11; 2 

B u  2 2;1

C u   3  2;6 

D.

 

4 1;1

u 

Ví dụ 3: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x 3y 6 0 là :

A. n  4 2; 3 

1 3; 2

n  

Ví dụ 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng 3 2 1

 

là:

A. u  4  2;3 B u 2 3; 2 



 

1 2;3

u 

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B

3 2

nên đường thẳng có VTPT là n  2;3 Suy ra VTCP là

3; 2

u  

Ví dụ 5: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x 3y 6 0 là :

A n  4 2; 3 

B.n  2 2;3

1 3; 2

n  



Ví dụ 6: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A2;3

và B4;1 ?

A n  1 2 2 ; 

B n  2 2; 1  

C n  3 1 ;1

D n   4 1; 2 

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

NHẬN BIẾT

Câu 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

2 :

1 6

x d

ì = ïï

íï =- +

A.u =ur1 (6;0) B.u = -uur2 ( 6;0) C.u =uur3 (2;6) D u =uur4 (0;1)

Câu 4. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

1 5

3 3

ìïï = -ï

D í

ïï =- +

A uur1= -( 1;3) B. 2

1

;3 2

u =æ öçççè ÷÷÷ø

uur

C 3

1;3 2

= -ççè ÷÷ø

uur

D uuur4= - -( 1; 6)

Câu 5. Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát:–2x3 –1 0y  Vectơ nào sau đây là

vectơ chỉ phương của đường thẳng 

A.3; 2 

B.2;3 

C.–3;2 

D. 2; –3 

Câu 6. Cho đường thẳng  có phương trình tổng quát: –2x3 –1 0y  Vectơ nào sau đây

không là vectơ chỉ phương của 

A.

2 1;

3 .

 

 

  B.3; 2 

C.2;3 

D. –3; –2 

của (d)?

A  1 3;2

n B  2   4; 6 

n C  3 2; 3 

n D 4   2;3



THÔNG HIỂU

Câu 8. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm (A - 3;2)

và (B1;4)?

A uur1 =(- 1;2 ) B u =uur2 (2 ;1) C u = -uur3 ( 2;6 ) D u =uur4 ( )1;1

A. Song song với nhau B. Vuông góc với nhau

Câu 10.Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ (O 0;0)

và điểm (M a b; ?)

A uur1 =(0;a b+ ). B uuur2 =(a b; ) C uuur3 =(a b; - ). D.uuur4 = -( a b; )

Câu 11.Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm (A a;0)

và (B 0;b)?

A u =ur1 (a b; - ) B u =uur2 (a b; ) C u =uur3 (b a; ) D uuur4 = -( b a; )

Câu 12.Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u=(2; 1- )

r

Trong các vectơ sau, vectơ nào

là một vectơ pháp tuyến của d?

A nur1 =(- 1 ;2) B n =uur2 (1; 2 - ) C n = -uur3 ( 3 ;6) D n =uur4 (3;6 )

Câu 13.Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n=(4; 2- )

r

Trong các vectơ sau, vectơ nào

là một vectơ chỉ phương của d?

A u =ur1 (2 4 ; - ) B u = -uur2 ( 2;4 ) C u =uur3 (1 ;2) D u =uur4 (2;1 )

Câu 14. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến n    2;3 Vectơ nào sau là vectơ chỉ phương

của đường thẳng đó

A.u  2 3;  B.u  (3; 2  ) C.u  3 2;  D. u  –3 3; 

Câu 15. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến n    2;0

.Vectơ nào không là vectơ chỉ

phương của đường thẳng đó

A.u  0 3; 

B.u  0; 7– 

C.u  8 0; 

D.

0; 5– 

u 

VẬN DỤNG

Câu 16.Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox?

A u =ur1 (1;0) B u =uur2 (0; 1 - ) C u = -uur3 ( 1;1 ) D u =uur4 ( )1;1

Câu 17.Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A u = -ur1 (1; 1 ) B u =uur2 (0;1 ) C u =uur3 (1 ;0) D u =uur4 ( )1 ;1

Câu 18.Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ nhất?

A u =ur1 ( )11 ; B u =uur2 (0; 1 - ) C u =uur3 (1 ;0) D u = -uur4 ( 1;1 )

Câu 19.Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?

A n =ur1 ( ; ) B n =uur2 (1 ;0) C n = -uur3 ( 1;0 ) D n =uur4 ( )1 ;1

Câu 20.Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?

A n =ur1 ( )1;1 B n =uur2 (0 ;1) C n = -uur3 ( 1;1 ) D n =uur4 (1 ;0)

Câu 21.Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?

A n =ur1 ( )11 ; B n =uur2 (0;1 ) C n =uur3 (1 ;0) D n = -uur4 ( 1;1 )

Câu 22.Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ur=(3; 4 - ) Đường thẳng D vuông góc với

d có một vectơ pháp tuyến là:

A n =ur1 (4 3 ; ) B nuur2 =(- 4; 3 - ) C n =uur3 (3 ;4) D n =uur4 (3; 4 - )

Câu 23.Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n= -( 2; 5- )

r

Đường thẳng D vuông góc với

d có một vectơ chỉ phương là:

A u =ur1 (5 2 ; - ) B u = -uur2 ( 5;2 ) C u =uur3 (2 ;5) D u =uur4 (2; 5 - )

Câu 24. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A1;2,B5;6

A n (4;4)



B n (1;1)





D n  ( 1;1)



Câu 25. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u  3; 4  Đường thẳng  vuông góc

với d có một vectơ pháp tuyến là:

A n  1 4 3; 

B n 2 4; 3  

C n 3 3; 4

D.

4 3; 4

n  

Câu 26. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n     2; 5 Đường thẳng  vuông góc

với d có một vectơ chỉ phương là:

A u  1 5 2 ; 

B u  2  5; 2  C u 3 2;5 D.

4 2; 5

u  



Câu 27. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u  3; 4 

Đường thẳng  song song

với d có một vectơ pháp tuyến là:

A n 1 4 3; 

B n  2  4;3 

C n 3 3; 4

D.

4 3; 4

n  



Câu 28. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n     2; 5

Đường thẳng  song song

với d có một vectơ chỉ phương là:

A u  1 5 2 ; 

B u 2 5; 2  

C u  3 2;5

D.

4 2; 5

u  

Câu 29. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox?

A u 1 1;0

B u 2 0; 1  



C u  3  1;1 

D.

 

4 1;1

u 

2 Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp giải

1 Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định

- Điểm A x y Î D( ; )0 0

- Một vectơ pháp tuyến n a bur( ; ) của D

Khi đó phương trình tổng quát của D là a x( - x0) +b y y( - 0) = 0

2 Để viết phương trình tham số của đường thẳng D ta cần xác định

- Điểm A x y Î D( ; )0 0

- Một vectơ chỉ phương u a br( ; ) của D

Khi đó phương trình tham số của D là

0 0

,

íï = +

3 Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng D ta cần xác định

- Điểm A x y Î D( ; )0 0

- Một vectơ chỉ phương u a b ab ¹r( ; ,) 0

của D

Phương trình chính tắc của đường thẳng D là

-=

(trường hợp ab =0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)

4 Đường thẳng qua điểm M x y 0; 0 có hệ số góc k có phương trình là

y k x x   0y0

Chú ý:

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT

 Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại

 Nếu D có VTCP u=( ; )a b

r

thì n = -( ; )b a

ur

là một VTPT của D

A VÍ DỤ MINH HỌA

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT

Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A  1;2

, nhận n   1; 2

làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A x 2y 5 0 B 2x y 0 C x 2y1 0 D x 2y 5 0

Lời giải Chọn D.

Gọi  d

là đường thẳng đi qua và nhận n   1; 2 làm VTPT

 d x: 1 2y 2 0 x 2y 5 0

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua M1; 3  và nhận vectơ n1; 2 làm vectơ pháp tuyến

1 :

3 2

 



 

 



C

1 2 :

3

 



 

 

 D

:



Lời giải Chọn C.

Vì  nhận vectơ n1; 2

làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của  là u  2;1

Vậy phương trình tham số của đường thẳng  là

1 2 3

 





 



2 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTCP

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng  d

đi qua M–2;3

và có VTCP u   1; 4

A

2 3

1 4

 





 

2

3 4

 





 

1 2

4 3

 





 

3 2 4

 





 



Lời giải Chọn B.

Đường thẳng  d

đi qua M–2;3

và có VTCP u   1; 4 nên có phương trình: 2

3 4

 





 

Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua M1; 3 

và nhận vectơ u1; 2 làm vectơ chỉ phương

:

C

1 :

3 2

 



 

 

 D

:

x y

Lời giải Chọn B.

Đường thẳng  đi qua M1; 3 

và nhận vectơ u1; 2 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là



3 Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng cho trước.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d x:  2y  Đường thẳng 1 0   đi qua M1; 1  và song song với  d có phương trình:

A x 2y 3 0 B 2x y 1 0 C x 2y 3 0 D.

2 1 0

x y 

Lời giải Chọn A.

Do   song song với  d nên có phương trình dạng: x 2y c 0c1

Mà M1; 1      1 2 1   c 0 c3

Vậy   :x 2y 3 0

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A2;0 0;3 ,B ,C3;1 Đường thẳng đi qua B và song song

với AC có phương trình:

A 5x y  3 0 B 5x y  3 0

C x5y15 0 D x 5y15 0

Lời giải Chọn D.

Gọi  d

là đường thẳng cần tìm Do  d

song song với AC nên nhận AC5;1

làm VTCP Suy ra n1; 5 

là VTPT của  d

  d

có phương trình: 1x 0 5 y 3  0 x 5y15 0

4 Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng  d

đi qua điểm M  2;3

và vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y  là:1 0

A

3 2

4 3

 





 

2 3

3 4

 





 



4x3y1 0

Lời giải Chọn B

Ta có    d  d : 3x 4y  1 0  VTCP u d 3; 4 

và qua M  2;3 Suy ra  : 2 3  

3 4

 







 





Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A2; 1 ;  B4;5 ; C3; 2

Phương trình tổng quát của đường caoAH của tam giác ABC là:

A 3x 7y11 0 B 7x3y11 0

C 3x 7y13 0 D 7x3y13 0

Lời giải Chọn B.

Gọi AH là đường cao của tam giác

AH đi qua A2; 1 

và nhận BC     7; 3  7;3

làm VTPT

5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  biết đi qua điểm M  1; 2

và có hệ

số góc k  3

A 3x y 1 0 B 3x y  5 0 C x 3y 5 0. D.

3x y  5 0

Lời giải Chọn D

Phương trình đường thẳng  là y3x1 2 3x y   5 0

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng  biết đi qua điểm M2; 5  và có hệ số góc

2

k 

A y2x1 B y2x 9 C y2x1 D y2x 9

Lời giải Chọn A

Phương trình đường thẳng  là y2x 2 5 y2x 1

6 Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm

Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A2;4 ; B6;1

là:

A 3x4y10 0. B 3x 4y22 0. C 3x 4y 8 0. D.

3x 4y 22 0

Lời giải Chọn B

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A1; 2 ;  B0; 2 ; C2;1 Đường trung tuyến BM có phương trình là:

A 5x 3y 6 0 B 3x 5y10 0

C x 3y 6 0 D 3x y  2 0

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm AC

3 1

;

2 2

   

  ; 3; 5 13;5

BM    

và nhận n  5; 3 

làm VTPT

7 Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng

Bài toán: Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB biết A x y 1; 1,B x y 2; 2

Đường trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm

1 2; 1 2

I   

  của AB và nhận

 2 1; 2 1

AB x  x y  y

làm VTPT

Ví dụ 1: Cho hai điểm A2;3 ; B4; 1  

Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB

A x y 1 0. B 2x 3y 1 0. C 2x3y 5 0. D.

3x 2y1 0.

Lời giải Chọn D

Gọi M trung điểm AB  M1;1

Ta có AB 6; 4  2 3; 2  

Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M1;1

và nhận n  3; 2 

làm VTPT

Phương trình d : 3x1 2y1  0 3x 2y1 0

Ví dụ 2: Cho điểm A1; 1 ;  B3; 5  Viết phương trình tham số đường trung trực của đoạn thẳng AB

A

2 2 3

 





 

2 2

1 3

 





 

2

3 2

 





 

1 2

2 3

 





 



Lời giải Chọn A.

2; 3

M  là trung điểm của AB

2; 4 2 1; 2 

Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M2; 3 

và nhận u  2;1

làm VTCP nên có phương trình:

2 2 3

 





 



8 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

Cho 2 đường thẳng cắt nhau:  d1 : A x B y C1  1  1 ; 0  d2 : A x B y C2  2  2  0

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:



Chú ý:

Cho (): f x y( , )Ax By C  0 và A x y 1, 1

, B x y 2, 2

*A và B nằm về cùng một phía đối với   f x y 1, 1 .f x y2, 2 0

*A và B nằm khác phía đối với   f x y 1, 1 .f x y2, 2 0

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB x y:  1 0 ; AC:7x y  2 0; :10 19 0

BC x y   Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

A 12x4y 3 0. B 2x 6y 7 0. C 12x6y 7 0. D.

2x6y 7 0.

Lời giải

Chọn B

2; 1

B AB BC   B 

1;9

CACBC C

PT các đường phân giác góc A là:

 

 

 

1

2

12 4 3 0

  



  

Đặt f x y1 ,  2x 6y7; f x y2 ,  12x4y 3 ta có: f B f C1  1  0; f B f C2  2   0

Suy ra B C, nằm khác phía so với d và cùng phía so với 1 d 2

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2x 6y 7 0

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A2; 1 ;  B1;3 ; C6;1

.Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC

A x y  1 0 B 5x3y 9 0. C 3x3y 5 0. D.

3 0

x y  

Lời giải

Chọn D

1 2 3 1

6 2 1 1

Phương trình các đường phân giác góc A là:

 

 

1

2

3 0

1 0

  



  



Đặt f x y1 ,    x y 3; f x y2 ,   x y ta có: 1 f B f C1  1  0; f B f C2  2  0

Suy ra B C, nằm cùng phía so với d và khác phía so với 1 d 2

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc A là: x y  3 0

9 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục Ox một góc cho trước.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng  d

qua M  1; 2

và tạo với trục Ox một góc 600

A 3x y  3 2 0  B 3x y  3 2 0 

C. 3x y  2 0 D 3x y  3 2 0 

Lời giải

Chọn A

Do  d

tạo với trục Ox một góc 600 nên có hệ số góc:k tan 600  3

Phương trình  d

là: y 3x1 2 3x y  3 2 0 

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng  d

qua N3; 2 và tạo với trục Ox một góc 450

A x y 1 0 B x y  1 0

C.x y  5 0 D x y  2 0

Lời giải

Chọn C

Do  d

tạo với trục Ox một góc 450 nên có hệ số góc:k tan 450 1

Phương trình  d

là: y x 3 2  x y  5 0

10 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc.

Giả sử  d1

có VTPT là n A B 1 1, 1

;  d2

có VTPT n A B 2 2, 2

thì

os( , )= os( , )

A A B B

c d d c n n





 

Chú ý:

Giả sử  d1 ;  d2 có hệ số góc lần lượt là k k thì: 1; 2

1 2

1 2

tan( , )

1

k k

d d

k k





Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d có phương trình: x 2y 5 0 Có mấy phương trình đường

thẳng qua M2;1

và tạo với  d

một góc 450

Lời giải

Chọn B

Gọi  là đường thẳng cần tìm; n A B , 

là VTPT của  A2B2 0

Để  lập với  d

một góc 450 thì:

0

2 2

cos 45

2 5



3







+ Với A3B, chọn B 1 A ta được phương trình 3 :3x y  5 0

+ Với B3A, chọn A 1 B ta được phương trình 3 :x3y 5 0