Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB; AC.. Gọi I là giao điểm của BE và CD[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS THUẬN LỘC
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9
Năm học 2018 - 2019
Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
I Phần trác nghiệm
Bài 1 Rút gọn A= 2+√3
√2+√2+√3 +
2 −√3
√2 −√2 −√3
Bài 2: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a1000 + b1000 = a1001+ b1001 = a1002 + b1002
Tính giá trị biểu thức: P = a2018b2019
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1
x x B
x x
Bài 4 Cho ∆ABC có B 1200, BC = 12 cm, AB = 6 cm Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại
D Tính độ dài đường phân giác BD?
Bài 5 Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức Psin6cos6 có giá trị bé nhất ? Cho biết giá trị bé nhất đó
Bài 6 Cho ABC đều điểm M nằm trong ABC sao cho AM2 = BM2 + CM2
Tính số đo góc BMC ?
Bài 7 Tìm dư của phép chia đa thức f x( ) ( x2 x 1)2018(x2 x1)2018 2 chia hết cho đa thức
2
( )
g x x x
Bài 8 Tìm x, y biết:
2x 1 3y 2 2x 3y 1
Bài 9 Cho dãy số
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;
3 7 13 21 31 Tìm số hạng thứ 10 của dãy
Bài 10 Tìm tập nghiệm của phương trình: 33x 2 x
II Phần tự luận
Bài 11 a Giải phương trình: 2 x 3 5 2 x 3 x2 12 x 14
b Giải hệ phương trình:
¿
x3− y3=3(x − y )
x+ y=−1
¿{
¿
Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc
của H lên AB; AC Gọi I là giao điểm của BE và CD
a So sánh SADIE và SBIC ; b Chứng minh rằng
3 3
BD AB
CE AC ;
c Giả sử Ĉ = 300 Tính tỷ số
BH
CH .
Bài 13: a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Trang 2b) Cho x y z, , thỏa mãn
Tính giá trị của biểu thức B x29 y29 y9 z9 z2018 x2018
Hướng dẫn chấm
Phần I Trắc nghiêm 10 điểm ( Mỗi câu đúng 1 điểm)
Bài 5
0
45
1 4
Bài 8
x = 2; y = 3 và
x ; y
1 điểm
183
1 điểm
Phần II Tự luận (10 điểm)
Bài 11 (4 điểm)
a ĐK: 1,5 x 2,5
+ Sử dụng bất đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP 2
Do đó: PT
2
x
b Hệ phương trình:
¿
x3− y3=3(x − y )
x+ y=−1
¿{
¿
⇔
(x − y)(x2+xy+ y2−3)=0
x+ y=−1
¿{
Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:
¿
x − y=0
x+ y=−1
¿{
¿
(I) và
⇔
x2
+xy+ y2− 3=0 x+ y=−1
¿{
(II)
* Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ( −1
2;−
1
2 )
* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu của hệ (II) ta được x2 +x -2 = 0 Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2
Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1)
Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: ( −1
2;−
1
2 ); (1; - 2); (2; -1)
Bài 12 (4 điểm)
Trang 3a Do HD//AC SADC = SAHC
Do HE // AB SAHC = SBEC ( = SABC - SAHB = SABC - SABE )
Suy ra: SADC = SBEC SADC - SEIC = SBEC - SEIC ( Đpcm)
b
2
2
( )
AHB CHA
S
BD HB HB AH AB
HE HC HC AH S AC (1)
Do HE // AB
HE AB
CE AC ( Hệ quả định lý Ta - lét) (2)
Từ (1) và (2)
3
BD AB
CE AC
c Với Ĉ = 300 AB = ½ BC
Với Ĉ = 300 BAH = 300 BH = ½ AB Suy ra: BH = ¼ BC
Vậy BH/CH = 1/3
Bài 13 (2 điểm)
a) Với n = 0 ta có A(0) = 19 19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k 19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1 19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n 6 = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n 6 = 6.A(k) + 7.52k 19 19 Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n
1
x y z
(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
(xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
x(yz + zx+ y2+ yx)+ z(y2 + yz+ xz+ xy) = 0
(yz + zx+ y2+ yx)( x+ z) = 0 (x y y z x z )( )( ) 0
x y
y z
z x
Thay vào B tính được B = 0