Giải và biện luận pt bậc 2-new

- Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai.. - Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm.

Chuyên đề : Giải và biện luận phương trình bậc hai : ax 2 + bx c 0(2) + =

Tóm tắt lý thuyết

A/ Giải và biện luận: Phương trình ax2+ bx c 0(2) + =

- a 0 = : phương trình trở về phương trình bậc nhất bx + c = 0

- a 0 ≠ : Đặt ∆ = b 2 − 4ac

+ ∆ < 0 :pt(2) vô nghiệm

+ ∆ = 0: pt(2) có nghiệm kép x b

2a

= − + ∆ > 0: pt(2) có 2 nghiệm phân biệt x b

2a

− + ∆

2a

− − ∆

=

Kết luận: liệt kê từng trường hợp của tham số ứng với nghiệm của phương trình

B/ Hệ thức Vi-et

 Hai số x ;x 1 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx c 0(2) + = khi và chỉ khi chúng thỏa các hệ thức: x1 x2 b va` x x1 2 c

 Một số ứng dụng của hệ thức Vi-ét:

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

- Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai

số đó là hai nghiệm của phương trình: X 2 − SX P 0 + =

( Điều kiện tồn tại hai số trên là S 2 − 4P 0 ≥ )

- Phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) ax = 2+ bx c + có hai nghiệm x ;x1 2thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) a(x x )(x x ) = − 1 − 2

- Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm của phương trình bậc hai:

+ S x1 x2 b;P x x1 2 c.

+ x12+ x22 = S2− 2P

+ x13+ x32= S 3SP3−

C/ Các trường hợp về số nghiệm và dấu các của phương trình:

Cho phương trình ax 2 + bx c 0(2) + = Đặt S x1 x2 b;P x x1 2 c

= + = − = = trong đó x ;x 1 2là 2

nghiệm của phương trình (2)

1/ Pt(2) vô nghiệm

a 0

b 0

c 0

a 0 0

 =

 =





 ≠

⇔ 

 ≠

∆ <





2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm

a 0

b 0

a 0 0

 =

 ≠



⇔  ≠

∆ =





3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt a 0 2

b 4ac 0

 ≠



⇔ 

∆ = − >

 4/Pt(2) có VSN

a 0

b 0

c 0

 =



⇔ =

 =



5/ Pt(2) có 2 nghiệm trái dấu ⇔x x1 2 < ⇔ <0 P 0

6/ Pt(2) có 2 nghiệm dương 1 2

0

S 0

∆ ≥



⇔ < ≤ ⇔ >

 >



7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm 1 2

0

S 0

∆ ≥



⇔ ≤ < ⇔ >

 <



8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương 1 2

1 2

a 0

P 0

P 0

S 0

 ≠





⇔ ⇔  = − > ∨



= > 

 = ∧ >  <  =





9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm 1 2

1 2

a 0

P 0

P 0

S 0

 ≠





⇔ ⇔  = − < ∨



= < 

 = ∧ <  <  =





10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương 1 2

1 2

a 0; x>0 c

S 0

P 0

P 0

S 0

 =

 ≠





= − > ∆ ≥

>

 ≥ >   ≤

   >  >





11/Pt(2) có nghiệm kép ⇔ ≠a 00∧ = −x 2ab

∆ =



12/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm 1 2

1 2

a 0; x>0 c

S 0

P 0

P 0

S 0

 =

 ≠





= − > ∆ ≥

>

 ≥ >   ≤

   >  >





Các dạng bài tập áp dụng:

I/ Dạng : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc 2:

Phương pháp:

- Đặt điều kiện: (Tìm tập xác định của phương trình)

- Quy đồng khử mẫu, quy về phương trình bậc hai

- Giải phương trình, so với điều kiện để nhận nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x 5 3x 2 5

+ + − = +

Giải Điều kiện: x ≠ − ∧ ≠ 3 x 0

2

Pt (2x 5)x (3x 2)(x 3) 4x(x 3)

x 6(nhan)

x 6

x 6(nhan)

 =

 = −



Nghiệm phương trình x = ± 6 Bài tập: Giải các phương trình

1/ 2x 1 x 1 23x 7

x 2 x 3 x 5x 6

2/ 2x 1 x 1 25x 1

x 4 x 1 x 5x 4

II/ Dạng: Giải và biện luận phương trình:

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m 2)x − 2− 2(m 1)x m 5 0 + + − =

Giải

* m 2 0 m 2 : Pt 6x 3 0 x 1

2

* m 2 0 − ≠ ⇔ m 2 : ' (m 1) ≠ ∆ = + 2 − (m 2)(m 5) 9m 9 9(m 1) − − = − = −

+ ∆ < ⇔' 0 9(m 1) 0− < ⇔ <m 1: Phương trình vô nghiệm.

+ ∆ = ⇔' 0 9(m 1) 0− = ⇔ =m 1: Phương trình có nghiệm kép x m 1 2

m 2

+

+ ∆ > ⇔' 0 9(m 1) 0− > ⇔ >m 1: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

m 1 3 m 1

x

m 2

m 1 3 m 1

x

m 2

=



−



⇔

=



Kết luận:

+ m < 1: Phương trình vô nghiệm

+ m = 1: phương trình có nghiệm x = -2

+ m = 2: phương trình có nghiệm x 1

2

= −

+ 1 m 2 :< ≠ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

m 1 3 m 1 x

m 2

m 1 3 m 1 x

m 2

=



−



=



Bài tập áp dụng:

1/ (m 1)x − 2+ (2m 3)x m 2 0 − + + =

2/ (m 1)x + 2− 2(m 2)x m 4 0 + + + =

3/ (m 1)x − 2− 2(m 1)x 3m 1 0 + − − =

4/ (m 1)x − 2+ − (2 m)x 1 0 − =

III/ Dạng : Tìm giá trị của m để phương trình a x 2 +bx c+ =0 có hai nghiệm phân biệt, chứng minh phương trình luôn có nghiệm:

Phương pháp: tính 2

4

b ac

∆ = − nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 5x + ( m - 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt

Giải

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

25 4 4 0

41 4 0

41

4

m m

m

∆ = − − >

⇔ − >

⇔ <

Ví dụ 2: cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện 1 2

5 2

Giải a) Ta có

( )

2

1 0

m

b) Theo vi ét ta cĩ x x1 2 =2(m+1);x1+x2 =4m

2

2 2

2

4 2.2( 1) 5

2( 1) 2

4 2.2( 1) 5( 1); 1

4 9 9 0; 81 144 225, 15

m

+

1

9 15 24

3;

9 15 3

Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m

b) Tìm m để 2 2

A x= +x − x x đạt giá trị nhỏ nhất Bài tập 2:Cho phương trình bậc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0

a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 2 2

x +x 8=

Bài tập 3: Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình

a) x2 +(m−2) x m+ + =5 0 Thoả mãn 2 2

b) x2 −mx+(m− =1) 0 Thoả mãn x x1 2+2( x1 +x2) − =19 0

Bài tập 4: Cho phương trình x2 −(m+3)x+2(m+ =2) 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn x1 =2x2

c) Chứng tỏ rằng A = 2 x( 1 +x2) −x x1 2 độc lập với m

Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0

a ) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để

1 1

5

c) Tìm hệ thức giữa x1 và x2 độc lập với m

giải

HD: c) 2 4 2 2 4 2 4

− − − (2)

Lấy (1) chia cho (2) ta có: 2 4 3( 2) (4 1)

1 3

−

S

P

3 4 2 0 3( ) 4 2 0

⇒ S− P− = ⇒ x +x − x x − =

II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép

Phương pháp tính ∆rồi xét ∆= 0 thì phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 1:Tìm m để phương trình x2 −3mx+(2m2 − − =m 1) 0 có nghiệm kép tìm n kép đó

Giải

9m 4 2m m 1 9m 8m 4m 4 (m 2)

Phương trình có nghiệm kép khi ∆ =(m+2)2 = ⇒ = −0 m 2

Nghiệm kép đó là 1 2 3 6 3

2 2

m

Bài tập: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm

kép đó

2 2

2

) 2( 2) 9 0

IV/ Dạng : Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung

Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau x2 +mx+ =1 0 và x2 + + =x m 0 có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó

Giải Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có 2

2

x + + =x m

Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x0 – 1) = 0

a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x2 + x +1 = 0

Phương trình này vô nghiệm do ∆ = − <3 0

Vậy m≠1 do đó x0 = 1

Thay x0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2

-Với m = -2 thì phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm kép x1= x2 = 1

Phương trình x2 +x – 2 = 0 có nghiệm x3 = 1; x4 = -2 Vậy nghiệm chung x0 = 1

Bài tập 1: với giá trị nào của m thì hai phương trình sau

2

2x +(3m+1)x− =9 0 và 6x2 +(7m−1)x− =19 0 có ít nhất một nghiệm chung tìm nhiệm chung đó

Bài tập 2: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung

x + +x m− = và x2 +(m−2)x+ =8 0

V/ Dạng : Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện.

Ví dụ: Định m để phương trình x2− 2(m 1)x 2m 1 0 − + + = có 2 nghiệm bằng nhau và tìm nghiệm đó

Giải: phương trình đã cho có nghiệm kép ⇔ ∆ = ' (m 1) − 2− (2m 1) 0 + =

m 4

 =



Với m 0 = ⇔ = − = − x m 1 1

Với m 4 = ⇔ = − = x 4 1 3

Vậy m = 0 thì nghiệm x = -1

m = 4 thì nghiệm x = 3

Bài tập 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

1/ mx 2 − 2(m 3)x m 1 0 + + + =

2/ (1 4m)x + 2− 4mx m 3 0 + − =

3/ (m 2)x − 2 − mx 2m 3 0 + − =

Bài tập 2: Chứng tỏ phương trình sau có nghiệm với mọi m thuộc R

1/ x2− 2(m 1)x 4m 3 0 + + − =

2/ − 2x2+ 2(m 1)x m + + 2− = m 0

3/ (2m2+ 1)x2− 2(m2+ 4)x 1 0 + =

4/ x2+ (2m 7)x 2m 0 − − =

Bài tập 3: Chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm với mọi m thuộc R

1/ 2x2+ 2(m 3)x m + + 2+ 3m 5 0 + =

2/ 3x2− 2(3m 2)x 3m + + 2+ 4m 3 0 + =

3/ (m2+ 1)x2+ (m4+ 2m2+ 1)x 1 0 + =