8 GIẢI và BIỆN LUẬN PT, BPT BẰNG PP hàm số

GẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ.. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có ít nhất một nghiệm thực... Phương trình đã ch

Trang 1

GẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT CHUNG

1 Đối với phương trình chứa tham số

Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)

B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng d: y = g(m)

B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)

B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: min ( , ) ( ) max ( , )

* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm

* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C )

2 Đối với bất phương trình chứa tham số

( ) ( )

f x ≤g m với mọi ( ) max ( )

x D

∈

( ) ( )

f x ≤g m có nghiệm khi và chỉ khi ( ) min ( )

x D

∈

≥ ( ) ( )

f x ≥g m với mọi ( ) min ( )

x D

∈

( ) ( )

f x ≥g m có nghiệm khi và chỉ khi ( ) max ( )

x D

∈

≤

B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Phương trình 2017sinx sin 2 cos2

= + − có bao nhiêu nghiệm thực trong [−5 ;2017π π ]?

A vô nghiệm B 2017 C 2022 D 2023

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có ít

nhất một nghiệm thực

Câu 3: Giá trị của để phương trình có nghiệm là:

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x+ = + có nghiệm 1 x m

thực?

Câu 5: Phương trình 3 ( ) ( 2 )2

x +x x+ =m x + có nghiệm thực khi và chỉ khi:

2

m

− ≤ ≤ − B − ≤1 m≤3 C m ≥3 D 1 3

− ≤ ≤

m m 2 tan+ 2x= +m tanx

− <m< − < <1 m 1 − 2≤ ≤m 2 − < <1 m 1

2 2

≥

2

<

2

≤

2

>

m

Trang 2

230

Câu 6: Tìm các giá trị thực của tham sốmđể phương trình 2− +x 1− =x m+ −x x2có hai

nghiệm phân biệt

A 5;23

4

∈   B m ∈[ ]5;6 C 5;23 { }6

4

{ }

23

4



 

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình:

m x − x+ + +m x−x ≤ có nghiệm x∈0;1+ 3

3

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2−4x+ = +5 m 4x−x2

có đúng 2 nghiệm dương?

A 1≤m≤3 B − <3 m< 5 C − 5<m< 3 D − ≤3 m<3

( 1 2 1 2 2) 2 1 4 1 2 1 2

m +x − −x + = −x + +x − −x có nghiệm

A m ≤ 2 1− B 2 1− ≤m≤1 C m ≥1 D m ≤1

( )

2 4

3 x− +1 m x+ =1 2 x −1 1 có nghiệm

A m ≤ 2 1− B 2 1− ≤m≤1 C 1 1

3

m

− < ≤ D m ≤ −1

x +mx+ = x+ có 2 nghiệm thực phân biệt

2

m ≥ C − <1 m D m ≤7

Câu 12: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

( )

42x+ 2x+2 64 − +x 2 6− =x m m, ∈ ℝ

A 2 6 2 6+ 4 ≤m≤3 2 6+ B 2 6 3 6+ 4 ≤m≤3 2 8+

C 6 2 6+ 4 ≤m≤3 2 6+ D 6 2 6+ 4 ≤m≤3 2 6+

Câu 13: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;

4 4

π π

sin x + cos x + cos 4x = m

A 47 3;

64 2

64<m≤ 2 C

64<m≤ 2 D

64≤m≤ 2

Trang 3

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc [10;10] để phương trình

2

1−x −m 2 1+ +x 2 1− −x 3 + = có nghiệm? 1 0

Câu 15: Tìm m để phương trình x4– 2( m+3)x2+ + =m 5 0 có 4 nghiệm x x x x thoả mãn: 1, , ,2 3 4

− < < − < < < < < <

Câu 16: Cho phương trình 2m x2 3+8x+ x3+ + =x 2 2m2+10 (m là tham số) Khẳng định nào sau

đây là đúng?

A Phương trình đã cho vô nghiệm

B Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực

C Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt

D Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào giá trị của tham số m

Câu 18: Bất phương trình 2x3+3x2+6x+16− 4− ≥x 2 3 có tập nghiệm là [ ]a b; Hỏi tổng

a b+ có giá trị là bao nhiêu?

Câu 19: Bất phương trình x2−2x+ −3 x2−6x+11> 3− −x x−1 có tập nghiệm (a b; ] Hỏi

hiệu b a− có giá trị là bao nhiêu?

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:

x − x+ ≤ cũng là nghiệm của bất phương trình mx2+(m+1)x m+ + ≥1 0?

7

m ≥ − D m ≥ −1

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: 3

3

1

x

− + − < − nghiệm đúng ∀ ≥x 1?

3

2

− ≤ ≤

Câu 22: Tìm tham số thực m để bất phương trình: x2−4x+ ≥5 x2−4x m+ 1( ) có nghiệm thực

trong đoạn [ ]2;3

2

m < −

Câu 23: Tìm m để bpt sau có tập nghiệm là (−∞ +∞; ): (x+1)(x+ +3) m>5 x2+4x+29

4

m ≤ −

Trang 4

232

Trang 5

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Phương trình 2017sinx sin 2 cos2

= + − có bao nhiêu nghiệm thực trong [−5 ; 2017π π ]?

A vô nghiệm B 2017 C 2022 D 2023

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có hàm số 2017sinx sin 2 cos2

y= − x− − x tuần hoàn với chu kỳ T=2π Xét hàm số y=2017sinx−sinx− 2 cos− 2x trên [0;2π ]

Ta có

cos 2017 ln 2017 cos cos 2017 ln 2017 1

Do vậy trên [0;2π ], 0 cos 0 3

y′ = ⇔ x= ⇔ =x π ∨ =x π

2017 1 2 0 2

y  = π − − >

y π  = − − <

Bảng biến thiên

x

0

2

π

2π

y

0

Vậy trên [0;2π ] phương trình 2017sinx sin 2 cos2

= + − có đúng ba nghiệm phân biệt

Ta có y( ) π =0, nên trên [0;2π ] phương trình 2017sinx sin 2 cos2

phân biệt là 0, , 2π π

Suy ra trên [−5 ;2017π π ] phương trình có đúng 2017− − + =( )5 1 2023 nghiệm

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có ít

nhất một nghiệm thực

Chọn C

m m 2 tan+ 2x= +m tanx

− < <m − < <1 m 1 − 2≤ ≤m 2 − < <1 m 1

3 2

y π

 

 

2

y π

 

 

Trang 6

234

Đặt

Xét hàm số

Lập BBT với

Câu 3: Giá trị của để phương trình có nghiệm là:

Chọn A

Đặt

Ta có:

Bảng biến thiên

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x+ = + có nghiệm 1 x m

thực?

Chọn A

Chọn B

Đặt t= x+1,t≥ Phương trình thành: 0 2t=t2− +1 m⇔m= − +t2 2t + 1

2

tan

x

2

tan

t

2 2

≥

2

<

2

≤

2

>

m

2

( ) = + 2 +1

1 2

′

+

x

f x

x

( ) 2

0

2 1

≤





 = ±



x

2 2

⇔ = −x

2 2

≥

m

2

( )

′

( )

f x

+∞

2 2

+∞

Trang 7

Xét hàm số f t( )= − +t2 2t+1,t≥0; ( )f t′ = − + 2t 2

Bảng biến thiên của f t : ( )

Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m ≤2

Câu 5: Phương trình 3 ( ) ( 2 )2

x +x x+ =m x + có nghiệm thực khi và chỉ khi:

2

m

− ≤ ≤ − B − ≤1 m≤3 C m ≥3 D 1 3

− ≤ ≤

Sử dụng máy tính bỏ túi

( ) ( )2 ( )

x +x x+ =m x + ⇔mx −x + m− x − +x m=

Chọn m =3 phương trình trở thành 3x4−x3+5x2− + = (không có nghiệm thực) nên x 3 0 loại đáp án B, C

Chọn m = −6 phương trình trở thành −6x4−x3−13x2− − = (không có nghiệm thực) x 6 0 nên loại đáp án A

Kiểm tra vớim =0 phương trình trở thành − −x3 x2− = ⇔ = nên chọn đáp án x 0 x 0 D

Tự luận

+ + (1) Xét hàm số

4 2 2 1

y

= + + xác định trên ℝ

2

y

′ =

=

2

Trang 8

236

1

x

=



 Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y m= cắt đồ thị hàm số

4 2 2 1

y

=

−

Chọn D

Câu 6: Tìm các giá trị thực của tham sốmđể phương trình 2− +x 1− =x m+ −x x2có hai

nghiệm phân biệt

A 5;23

4

∈   B m ∈[ ]5;6 C 5;23 { }6

4

{ }

23

4



 

+) 2− +x 1− =x m+ −x x2(1)

Điều kiện:− ≤ ≤1 x 2

+)( )1 ⇔ +3 2 − + + = − + + x2 x 2 x2 x m

Đặt:− + =x2 x t; f x( )= − +x2 x f; ′( )x = −2x+1

( )1 2, ( )2 2, 1 1 2;1

f − = f = − f = ⇒ ∈ −t  

( )1 ⇔ +3 2 t+ = + ⇔2 t m 2 t+ = + −2 t m 3 ⇔m=2 t+ + − 2 3 t

Đặt f t( )=2 t+ + − 2 3 t

( ) 1 1 1 2

t

f t

+ − . f′( )t = ⇒ −0 1 t− = ⇔ = − 2 0 t 1 Bảng biến thiên

Trang 9

+)−x2+ = ⇔ −x t x2+ − = x t 0

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 4 0 1

4

⇔ ∆ = − > ⇔ ≤

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình( )∗ có nghiệm 2;1

4

t∈ − 

Từ bảng biến thiên⇒ ∈m [ ]5;6

Chọn B

m x − x+ + +m x−x ≤ có nghiệm x∈0;1+ 3

3

2

−

Đặt t= x2−2x+ ⇒2 x2−2x= − t2 2

Ta xác đinhk ĐK của t:

Xét hàm số t= x2−2x+ với 2 x∈0;1+ 3 , ta đi tìm ĐK ràng buộc của t

Ta có:

2

1

x

−

Vậy với x∈0;1+ 3

  thì 1≤ ≤t 2 Khi đó: (1)

2 2 1

t m t

−

+ với t ∈[ ]1;2 Xét hàm số ( ) 2 2

1

t

f t

t

−

= + với t ∈[ ]1; 2 Ta có: ( )

2 2

2

t

số f tăng trên [1;2]

Do đó, yêu cầu của bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm t ∈[ ]1;2

23 4 5

6

+∞

1 4 -1

-2 -∞

f(t) f'(t)

t

Trang 10

238

[ ]1;2 ( ) ( ) 2

3

t

∈

3

m ≤ thì pt có nghiệm

Chọn A

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2−4x+ = +5 m 4x−x2

có đúng 2 nghiệm dương?

A 1≤ ≤m 3 B − <3 m< 5 C − 5<m< 3 D − ≤ <3 m 3

Chọn B

Đặt t= f x( )= x2−4x+ Ta có 5

2

2 ( )

x

f x

−

− + ( ) 0f x′ = ⇔ = x 2 Xét x >0 ta có bảng biến thiên

Khi đó phương trình đã cho trở thành m=t2+ − ⇔t 5 t2+ − −t 5 m = (1) 0

Nếu phương trình (1) có nghiệm t t thì 1, 2 t1+ = − (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t2 1 t ≥1

Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệmt ∈( )1; 5 Đặt g t( )= + − Ta đi tìm t2 t 5 m để phương trình ( )g t =m có đúng 1 nghiệmt ∈( )1; 5 Ta có g t′( ) 2= t+ > ∀ ∈1 0, t ( )1; 5

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra 3− <m< 5 là các giá trị cần tìm

( 1 2 1 2 2) 2 1 4 1 2 1 2

m +x − −x + = −x + +x − −x có nghiệm

A m ≤ 2 1− B 2 1− ≤ ≤m 1 C m ≥1 D m ≤1

1

Trang 11

ĐK: x ∈ −[ 1;1]

Đặt t= 1+x2 − 1−x2 Với x ∈ −[ 1;1], ta xác định ĐK của t như sau:

Xét hàm số t= 1+x2− 1−x2 với x ∈ −[ 1;1]

Ta có:

'

t

Ta có t( )− =1 2, 0t( )=0, 1t( )= 2

Vậy với x ∈ −[ 1;1] thì t∈ 0; 2

Từ t= 1+x2 − 1−x2 ⇒2 1−x4 = −2 t2

Khi đó pt đã cho tương đương với: ( ) 2 2 2

2

t

− + + + = − + + ⇔

+

Bài toán trở thành tìm m để phương trình

2

m t

− + +

= + có nghiệm t∈ 0; 2 Xét hàm số ( ) 2 2

2

f t

t

− + +

= + với t∈ 0; 2

Ta có: ( )

( )

2 2

4

2

t

= + < ∀ ∈   Suy ra: max0; 2 ( ) ( )0 1, min0; 2 ( ) ( )2 2 1

t t

 

Bây giờ yêu cầu bài toán xảy ra khi: ( ) ( )

Vậy với 2 1− ≤m≤1 thảo yêu cầu bài toán

Chọn B

( )

2 4

3 x− +1 m x+ =1 2 x −1 1 có nghiệm

A m ≤ 2 1− B 2 1− ≤ ≤m 1 C 1 1

3

m

− < ≤ D m ≤ −1

ĐK xác định của phương trình: x ≥1

Khi đó:

Trang 12

240

( )

2

4

1

x

−

x

−

= − <

+ + nên t<1

Vậy với x ≥1 thì 0≤ <t 1

Khi đó, ( )2 ⇔3t2+ =m 2t⇔ −3t2+2t=m, 3( )

Bây giờ bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm t ∈[0;1)

Xét hàm số f t( )= −3t2+2t trên khoảng [0;1) Ta có:

3

f t = − +t f t = ⇔ − + = ⇔ = t t

BBT

3

1

( )

'

( )

1

Vậy với 1 1

3

m

− < ≤ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn C

x +mx+ = x+ có 2 nghiệm thực phân biệt

2

m ≥ C − <1 m D m ≤7

( ) ( )

2

1 2

x

 ≥ −





Nhận xét:

Trang 13

x = không phải là nghiệm của (2) Do vậy, ta tiếp tục biến đổi:

( )

2

1 2

*

x

m x

 ≥ −



⇔ 



Bài toán trở thành tìm m để (3) có 2 nghiệm thực phân biệt:

{ }

1; \ 0 2

+∞ 

Xét hàm số f x( ) 3x2 4x 1

x

+ −

2

+∞ 

  Ta có:

( ) 3 22 1 1 { }

2

x

= > ∀ ∈ − +∞

BBT

2

( )

'

( )

2

+∞

−∞

+∞

Vậy với 9

2

m ≥ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt

Chọn B

Câu 12: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

42x+ 2x+2 64 − +x 2 6− =x m m, ∈ ℝ

A 2 6 2 6+ 4 ≤m≤3 2 6+ B 2 6 3 6+ 4 ≤m≤3 2 8+

C 6 2 6+ 4 ≤m≤3 2 6+ D 6 2 6+ 4 ≤m≤3 2 6+

Chọn A

ĐK: 0≤ ≤x 6

Đặt vế trái của phương trình là f x x ∈( ), [ ]0;6

Ta có:

Trang 14

242

( )

'

f x

x

−

Đăt:

( )

Ta thấy u( )2 =v( )2 =0,x∈( )0;6 ⇒ f ' 2( )=0 Hơn nữa u x v x( ) ( ), cùng dương trên khoảng (0;2) và cùng âm trên khoảng (2;6)

BBT

( )

'

( )

f x 2 6 2 6+ 4

3 2 6+

412 2 3+ Vậy với 2 6 2 6+ 4 ≤m≤3 2 6+ thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn A

Câu 13: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;

4 4

π π

sin x + cos x + cos 4x = m

A 47 3;

64 2

64<m≤ 2 C

64<m≤ 2 D

64≤m≤ 2

Phương trình đã cho tương đương

2

4

cos x

+

⇔ 4cos24x+cos x4 =4m− (1) 3

Đặt t = cos4x Phương trình trở thành: 4t2+ =t 4m− , (2) 3

4 4

x∈ − π π

  thì t ∈ −[ 1;1 ] Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ;

4 4

x∈ − π π

  khi và chỉ khi phương trình (2) có 2

nghiệm phân biệt t∈[-1; 1), (3)

Trang 15

Xét hàm số g(t) = 4t2+ với t t∈ −[ 1;1), g’(t) = 8t+1

g’(t) = 0 ⇔ t = 1

8

− Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra ⇔ 1 4 3 3

64<m≤ 2 Vậy giá trị của m phải tìm là: 47 3

64<m≤ 2

Câu 14: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc [10;10] để phương trình

2

1−x −m 2 1+ +x 2 1− −x 3 + = có nghiệm? 1 0

ĐK: − ≤ ≤1 x 1 Đặt u= 1− +x 1+ x

Từ BBT ⇒ 2≤ ≤t 2

PT có dạng:

2

t

Do 2

3

t = không là nghiệm nên ( )* 2 2 ( )

2 3

t

−

PT đã cho có nghiệm⇔ Đồ thị h/sy= f t( )và đt y=2m có điểm chung có hoành độ

2≤ ≤t 2

Xét hàm số ( ) 2

2 3

t

f t

t

=

− trên  2;2 : ( ) ( )

( )2

2 3

t t

t

= − < ∀ ∈   BBT:

'

2

3

g’(t) 0 +

t 1

Trang 16

244

2

( ) '

( )

f t

2 2 2 3

Phương trình đã cho có nghiệm 2 2 2 2 3( ) (2 2 3)

Đáp án A

Câu 15: Tìm m để phương trình x4– 2( m+3)x2+ + =m 5 0 có 4 nghiệm x x x x thoả mãn: 1, , ,2 3 4

− < < − < < < < < <

Đặt x2= X, ta có phương trình: f X( )= X2– 2( m+3 ) X+ + =m 5 0( * )

để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1<x2 <x3<x4 thì phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn: 0< X1<X2 Khi đó x1= − X2;x2= − X x1; 3 = X x1; 4 = X2

Do đó: 2− < − X2 < − < −1 X1 < <0 X1 < <1 X2 < 3

2

⇔ > X2 >1 > X1> 0 ⇔ 4>X2 > >1 X1> 0

< − + <

⇔ > ⇔ + >

 > − + >

3 5 9 7

m m m



 >



⇔ > −



 <



⇒ không tồn tại m thoả mãn bài toán

Chọn A

Câu 16: Cho phương trình 2m x2 3+8x+ x3+ + =x 2 2m2+10 (m là tham số) Khẳng định nào sau

đây là đúng?

A Phương trình đã cho vô nghiệm

B Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực

C Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt

D Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào giá trị của tham số m

Điều kiện: x3+ + ≥ ⇔x 2 0 (x+1) (x2− +x 2)≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − 0 x 1 0 x 1

Trang 17

Xét hàm số f x( )=2m x2 3+8x+ x3+ +x 2 liên tục trên [− +∞1; )

3

x

+

+ + với ∀ ∈ − +∞x ( 1; )

Suy ra hàm số f x( ) đồng biến trên [− +∞1; )

Do đó, phương trình f x( )=2m x2 3+8x+ x3+ + =x 2 2m2+10 có tối đa một nghiệm

Mà f( )1 =2m2.13+8.1+ 1 1 2 23+ + = m2+10→ =x 1 là nghiệm duy nhất

Chọn B

Câu 17: Hình vẽ bên là đường biểu diễn của đồ thị hàm số

3 3 2

y=x + x Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để phương trình 3x2− = − +3 x3 m có hai

nghiệm thực âm phân biệt

3

m m

=



 = −



1

m m

>



 < −

Điều kiện: 1 1( )

1

x x

≥



 ≤ −

 và x≤ 3m 2 ( )

Phương trình 3x2− = − +3 x3 m

3x − = − + ←3 x m →x +3x m 3

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

3 3 2

y=x + x (chỉ xét trong phần x thỏa điều kiện ( )1 &

( )2 ) và đường thẳng y=m+ (cùng phương với trục 3

hoành)

Xét với 1

1

x x

≥



 ≤ −

 , đồ thị hàm số

3 3 2

y=x + x có dạng như hình vẽ Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi 2≤m+ ≤ ←3 4 → − ≤1 m≤ 1

Với − ≤ ≤1 m 1 thì ( )1 thỏa mãn ( )2

Chọn A

Câu 18: Bất phương trình 2x3+3x2+6x+16− 4− ≥x 2 3 có tập nghiệm là [ ]a b; Hỏi tổng

a b+ có giá trị là bao nhiêu?

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	372,08 KB