Giải toán bằng cách lập pt hoặc hệ phương trình

Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày... Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gi

thường xuyờn.

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình Dạng toán qui về đơn vị

Bài tập 1:

Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bẻ không có nớc trong 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trớc 4 h

Giải

Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )

Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )

1 giờ vòi đầu chảy đợc

x

1

( bể )

1 giờ vòi sau chảy đợc 1y ( bể )

1 giờ hai vòi chảy đợc

x

1

+ 1y ( bể ) (1) Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph =

4

15

h Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1:

4

15

=

15

4

( bể ) ( 2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình

x

1

+ 1y =

15 4

Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4 giờ tức là y – x = 4 Vậy ta có hệ phơng trình

x

1

+ 1y =

15 4

y – x = 4























































































) 5, 5,

) 10 6

4 5, 6 4 0 30 7 2 4 0 60 14 4 4

4 4 1

b y x

a y x

x x x x x x x x x x

Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn

Hệ (b) bị loại vì x < 0

Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h

Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h

Bài tập 2:

Hai ngời thợ cùng làm một công việc Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h 30ph Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả công việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian ?

Giải

Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )

Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 )

Ta có pt : x + y = 12

2 1

( 1 )

thường xuyờn.

thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc

x

2

1

công việc

Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ ngời thứ hai làm đợc

y

2

1

công việc

1 giờ cả hai ngời làm đợc

6

1

công việc nên ta có pt :

x

2

1

+ 21y =

6

1

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt : 































5 2 15

2 15 5

6 1 2 1 2 1 2 1 12

y

x y x y x

y x

Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm trong 5 giờ

Bài tập 3:

Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng vào bản trong 4 giờ thì xong Nếu làm riêng thì tổ 1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?

Giải

Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đờng là x( giờ ) ( x ≥ 4 )

Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )

Trong 1 giờ tổ 1 sửa đợc

x

1

( con đờng ) Trong 1 giờ tổ 2 sửa đợc

6

1



x (con đờng ) Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc

4

1

(con đờng ) Vậy ta có pt:

x

1

+

6

1



4

1



















 4 (x 6 ) 4x x(x 6 ) x2 2x 24 0 x1= 6; x2 = -4

X2 = - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn

Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày

một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày

Bài tập 4:

Hai đội công nhân làm một đoạn đờng Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong cả đoạn đờng Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đờng này ?

Giải

Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày )

Mỗi ngày đội 1 làm đợc

x

2

1

( đoạn đờng ) Mỗi ngày đội 2 làm đợc

) 30 ( 2

1



x ( đoạn đờng ) Mỗi ngày cả hai đội làm đợc

72

1

( đoạn đờng ) Vậy ta có pt :

x

2

1

+

) 30 ( 2

1



72 1

Hay x2 -42x – 1080 = 0

/ = 212 + 1080 = 1521 => / = 39

x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn

Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày

thường xuyờn.

Bài 5:

Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian Đội 1 phải trồng 40 ha , đội 2 phải trồng 90 ha Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch Đội 2 hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng đợc của hai đội bằng nhau Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?

Giải

Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0

Thời gian đội 1 đã làm là x – 2 ( ngày )

Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )

Mỗi ngày đội 1 trồng đợc

2

40



x (ha) Mỗi ngày đội 2 trồng đợc

2

90



x (ha) Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng đợc

2

40



x (x + 2) (ha) Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng đợc

2

90



x (x - 2) (ha) Theo đầu bài diện tích rừng trồng dợc của hai đội trong trờng này là bằng nhau nên ta có pt:

2

40



x (x + 2) =

2

90



x (x - 2) Hay 5x2 – 52x + 20 = 0

/ = 262 – 5.20 = 576 , / = 24

x1 =

5

24

26 

= 10 ; x2 =

5

2 5

24 26





x2 < 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày

Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc

Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong

Giải:

Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó ( x > 0 ,

y > 0 )

Ta có hệ pt 





















28 24 4

1 6 3 16 1 1 1

y x y

x

y x

Bài 7 : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc )

Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không chứa nớc thì sau 6 giờ đầy bể Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc

5

2

bể Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?

Giải :

Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 )

Ta có hệ pt 





































15 10 5 2 3 2 2 1 3 3

5 2 3 2 6 1 1 1

y x y x

y x y x

y x

x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một mình mất 15 giờ

Bài tập 8 ( 199/24 – 500 BT chọn lọc )

thường xuyờn.

Hai ngời dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong Họ làm với nhau đợc 8 giờ thì

ng-ời thứ nhất nghỉ , còn ngng-ời thứ hai vẫn tiếp tục làm Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút Hỏi nếu mỗi ngời thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên ?

( Đề thi chuyên toán vòng 1 tỉnh Khánh hoà năm 2000 – 2001 )

Giải:

Gọi x , y lần lợt là thời gian ngời thợ thứ nhất và ngời thợ thứ hai làm xong công việc với năng suất dự định ban đầu

Một giờ ngời thứ nhất làm đợc

x

1

(công việc ) Một giờ ngời thứ hai làm đợc 1y (công việc )

Một giờ cả hai ngời làm đợc

12

1

(công việc ) Nên ta có pt :

x

1

+ 1y =

12

1

(1) trong 8 giờ hai ngời làm đợc 8

12

1

=

3

2

(công việc ) Công việc còn lại là 1 -

3

2

=

3

1

( công việc ) Năng suất của ngời thứ hai khi làm một mình là 2 1y = 2y (Công việc )

Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc còn lại là

3

10

(giờ) nên ta có pt

3

1

: 2y =

3

10

hay

6

y

=

3

10

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt :

x

1

+ 1y =

12

1

 



 20 30

y x

6

y

=

3 10

Vậy theo dự định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giờ Bài tập 9: ( 400 bai tập toán 9 )

Hai ngời A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn ngời A và C làm xong công việc trong

đó trong 63 giờ và ngơoì B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì trong bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc >Nếu ba ngời cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong mấy giờ ?

Giải :

Gọi ngời A một mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm đợc

x

1

( công việc)

Ngời B một mình làm xong công việc trong y (giờ ), y > 0 thì mỗi giờ làm đợc 1y ( công việc) Ngời C một mình làm xong công việc trong z (giờ ), z > 0 thì mỗi giờ làm đợc

z

1

( công việc)

Ta có hpt :























































4 100 5 504 126 4 504 168 3 504

56 1 1 1

63 1 1 1

72 1 1 1

z y x

z y z x y x

thường xuyờn.

Nếu cả ba ngời cùng làm yhì mỗi giờ làm đợc

x

1

+ 1y +

z

1

=

504

12

( công việc ) Vậy cả ba ngòi cùng làm sẽ hoàn thành cong việc trong 42

12

504

 (giờ ) Bài 10: ( 283 /34 – 500 BT chọn lọc )

Có ba đội cùng cùng làm chung một công việc Làm chung đợc 4 ngày thì đội III điều động

đi làm việc khác , hai đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II , năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất 37 ngày mới xong Hỏi nếu mỗi dội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 trờng PTTH NK - ĐHQG TP HCM 2003 – 2004)

Giải :

Gọi x , y , z lần lợt là số ngày đội I , II , III làm một mình xong công việc, x > 0, y > 0 , z > 0 Một ngày đội I , II , III theo thứ tự làm đợc

z

1

, 1y ,

z

1

( công việc ) (

x

1

> 1y vì năng suất đội

I cao hơn năng suất đội II )

Năng suất đội ba bằng trung bình cộng của hai đội còn lại , nên ta có phơng trình :

z

1

= (

x

1

+ 1y ) : 2 (1)

4 ngày đội III làm đợc

z

4

( công việc )

16 ngày đội I đội II theo thứ tự làm đợc

x

16

+ 16y Vậy ta có pt : 41616  1

y x

z (2)

Số ngày mà mỗi đội I , II , III làm một mình một phần ba công việc lần lợt là

3

1 : 3

1

; 3

1 :

3

1

;

3

1

:

3

z

y y

x

x    và hoàn thành công việc trong 37 ngày nên ta có pt :

37

3 3

3  

z y x

(3) Vậy : từ (1) , (2) , (3) ta có hệ pt :

z

1

= (

x

1

+ 1y ) : 2

41616 1

y x z

37

3 3

3  

z y x





































11 1 1 4 16

16

0 1

2 1 2

z y x

z y

x

z y x



































111 1 4

16 16

0 4

2 2

z y x

z y

x

z y

x

































111 1 4 16

16

18 1 1

1

z y

x

z y

x

y

x









36 45

1 1

z







36 30

2 2

z y

Nghiệm thứ nhất bị loại vì

x

1

< 1y không thoả mãn đk của ẩn Nghiệm thứ hai thoả mãn đk Vậy nếu làm một mình để hoàn thành công việc đội I làm mất 30 ngày , đội hai mất 45 ngày ,

đội III mất 36 ngày

Bài tập 11: ( 258 /96 – nâng cao và chuyên đề )

thường xuyờn.

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong

Giải :

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x giờ ( x > 0 )

Suy ra thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 4 giờ

Trong 1 giờ hai đội làm chung đợc :

) 4 (

4 2 4

1 1











x x

x x

x ( công việc ) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là

4 2

) 4 (





x

x x

(giờ) Vậy ta có pt : 2x + 4 = 4,5

4 2

) 4 (





x

x x

hay x2 + 4x – 32 = 0  x1 = - 8 ( loại ) x2 = 4 ( thoả mãn điều kiện của ẩn )

Vậy Đội I làm một mình xong công việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ

Một số bài tập áp dụng

Bài 1 Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B

Bài 2 Một ngời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng14 km/

h thì đến B sớm hơn 2 giờ nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ Tính quãng đờng

AB, vận tốc và thời gian dự định

Bài 3 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3 km/h

Bài 4 Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc thật của ca nô

Bài 5 Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30 phút nên

để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đờng còn lại Tính thời gian xe chạy

Bài 6 Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B N đi từ B lúc 7 giờ sáng về phía A Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng Tính thời gian mỗi ngời đi hết quãng đờng

AB Biết M đến B trớc N đến A là 1 giờ 20 phút

thường xuyờn.

HPT:

2 1

1 1 3

y x







  



Bài 7 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía nhau Tính quãng đờng

AB và vận tốc của mỗi xe Biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đờng AB là 10 km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1 giờ 24 phút

HPT:

10 2

5

x y







 Bài 8 Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số

HS ở hai lớp bằng nhau Tính số HS mỗi lớp

Bài 9 Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp

9 dự thi vào lớp 10

Bài 10 Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể

Bài 11 Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu

Bài 12 Một thửa ruộng có chu vi 200m nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 75 m2 Tính diện tích thửa ruộng đó

Bài 13 Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế