Bài tập CSC CSN giải chi tiết

Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân BA. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.. Dãy

(TRCH ð THI TH NM 2018)

A – ĐỀ BÀI

Câu 1 (SGD Vĩnh Phúc- 2018) Xác ñịnh x dương ñể 2x−3, , 2x x+3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân

C x= ± 3 D Không có giá trị nào của x

Câu 2 (SGD Ninh Bình-2018) : Cho cấp số nhân ( )un biết u1=1,u4 =64 Tính công bội q của cấp số nhân

Câu 6 (SGD Lào Cai 2018)Công thức nào sau ñây là ñúng với một cấp số cộng có số hạng ñầu u1,

công sai d và số tự nhiên n ≥2

Câu 11 (Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)

Cho cấp số cộng ( )un cóu4 = −12, u14 =18 Tính tổng 16 số hạng ñầu tiên của cấp số cộng này

Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số cộng ( )un biết u5 =18 và 4Sn =S 2 n Tìm số hạng ñầu

tiên u và công sai d của cấp số cộng 1

A u1=2, d 4= B u1=2, d 3= C u1=2, d 2= D u1=3, d 2=

Câu 13 (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho cấp số cộng ( )un biết u2 =3 và u4 =7 Gía trị của u15 bằng

Câu 14 (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân

B Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng

C Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng

D Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương

công bội là q và các khẳng ñịnh

Có bao nhiêu khẳng ñịnh ñúng trong các khẳng ñịnh trên?

Hỏi bắt ñầu từ số hạng nào của cấp số cộng ñó thì nó nhận giá trị âm

Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau

A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng

B Một cấp số nhân có công bội là một dãy tăng

C Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân

D Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng

Câu 19 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho dãy số gồm 89 số hạng thỏa mãn ñiều kiện

Un = tan(n° ) Gọi P là tích của tất cả 89 số hạng của dãy số Giá trị của biểu thức là

hạng ñầu tiên của cấp số cộng là

Câu 21 (Cụm 5 trường chuyên)Cho 3 số a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân với công bội khác

1 Biết cũng theo thứtự ñó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là Tính

Câu 22 (Chuyên Chu Văn An-2018)Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ

nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ỏ hàng thứ 3 có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây Hỏi số hàng cây ñược trồng theo cách trên là nbao nhiêu?

Câu 27 (Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An 2018) : Cho hai cấp số cộng ( )a n :a1=4;a2 =7; ;a100 và

( )b n :b1 =1;b2 =6; ;b100 Hỏi có bao nhiêu số có mặt ñồng thời trong cả hai dãy số trên?

Câu 31 (Lương Tài 2-Bắc Ninh 2018) Cho cấp số cộng( )un với số hạng ñầu là u1= −2017 và công sai

d 3.= Bắt ñầu từ số hạng nào trở ñi mà các số hạng của cấp số cộng ñều nhận giá trị dương?

Câu 32 (Lương Tài 2-Bắc Ninh 2018) : Cho tam giác ABC vuông tại A có ba cạnh CA, AB, BC lần lượt

tạo thành một cấp số nhân có công bội q Tìm q?

thành cấp số nhân khi và chỉ khi

A a=d b, =2 ,d c=3d với d≠0cho trước B a=1;b=2,c=3

C a=q b, =q c2, =q3 với q≠0cho trước D a= =b c

thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q=2 Thể tích của khối hộp chữ nhật là

Câu 41 (THPT Quế Võ Số 2) : Chu vi của một ña giác n cạnh là 158, số ño các cạnh ña giác lập thành

một cấp số cộng với công sai d 3.= Biết cạnh lớn nhất có ñộ dài là 44 Tính số cạnh của ña giác

4

u = u = Tìm q và u1của cấp số nhân

u là dãy số không tăng cũng không giảm dưới

C Mỗi dãy số tăng là một dãy số bị chặn

D Một hàm số là một dãy số

Câu 47 (THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018)Cho dãy hình vuôngH H1; 2; ;H n; Với mỗi số

nguyên dương n, gọi ,u P n nvà S nlần lượt là ñộ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông H n

Trong các khẳng ñịnh sau, khẳng ñịnh nào sai?

A Nếu ( )un là cấp số cộng với công sai khác vuông thì ( )P n cũng là cấp số cộng

B Nếu ( )un là cấp số nhân với công bội dương thì ( )P n cũng là cấp số nhân

C Nếu ( )un là cấp số cộng với công sai khác không thì ( )S n cũng là cấp số cộng

D Nếu ( )un là cấp số nhân với công bội dương thì ( )S n cũng là cấp số nhân

Câu 48 (THPT XUÂN HÒA LẦN 1-2018) : Xác ñịnh số hạng ñầu và công bội của cấp số nhân ( )un có

Câu 50 (SỞ GD & ðT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018) : Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng ñầu tiên

ñược tính bởi công thức S n =4n n− 2 Gọi M là tổng của số hạng ñầu tiên và công sai của cấp số cộng ñó Khi ñó:

Câu 51 (SỞ GD & ðT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018) : Một cấp số nhân có số hạng ñầu tiên là 2 và số

hạng thứ tư là 54 thì số hạng thứ 6 là

lập thành một cấp số cộng với công sai d =3cm Biết cạnh lớn nhất là 44cm Số cạnh của ña giác ñó là

Tìm số hạng ñầu và công sai d của cấp số cộng ñó

S =5n +3n,(n∈ ℕ*) u1

A d=10 B C D

Câu 64 (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC cân tại A Biết rằng ñộ dài cạnh BC, trung tuyến AM

và cạnh AB theo thứ tự ñó lập thành một cấp số nhân với công bội q Tìm công bội q của cấp số nhân ñó

n

S =n +4nvới n∈ ℕ*.Tìm số hạng tổng quát u của cấp số cộng ñã cho n

n

u =5.3− D

n 1 n

BA

AB

 

 

  D (AB)2n

Câu 69 (MEGABOOK-2018) Cho tam giác ABC có ñộ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một

cấp số cộng Biết tanAtanC x(x, y )

Câu 71 (MEGABOOK-2018) Biết số nguyên tố abc có các chữ số theo thứ tự lần lượt lập thành cấp số

nhân Giá trị a2+b2+c2 là

bội 2 Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?

a 8bc 3P

Câu 74 (MEGABOOK-2018) : Có hai cấp số nhân thỏa mãn 12 2 2 3 2 4 2

lượt là q ,q Hỏi giá trị của 1 2 q1+q2là

Câu 75 (MEGABOOK-2018) Cho cấp số cộng ( )un và gọi Sn là tổng n số hạng ñầu tiên của nó Biết

S =77, S =192 Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng ñó

Câu 76 (MEGABOOK-2018) Biết x, y, x 4+ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và x 1, y 1, 2y 2+ + +

theo thứ tự lập thành cấp số nhân với x, y là số thực dương Giá trị của x y+ là

Câu 77 (MEGABOOK-2018) Một cấp số cộng có số hạng ñầu là u1=2018,công sai d= −5 Hỏi bắt

ñầu từ số hạng nào của cấp số cộng ñó thì nó nhận giá trị âm

Câu 78 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,… Số hạng thứ 10 của

dãy số ñó là

A 73872 B 77832 C 72873 D 78732

Câu 79 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018) : Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy là cấp số cộng?

a) Dãy số ( )un với un =4n b) Dãy số ( )vn với 2

n

v =2n +1c) Dãy số (wn) với wn n 7

3

= − d) Dãy số ( )tn với tn = 5 5n−

Câu 80 (MEGABOOK-2018)Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng

và một cấp số nhân Tính giá trị của biểu thức log a2 (b c)− .b(c a)− .c(a b)−

Câu 84 (ST) Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí trên một hình vuông kích thước 4m x m4 , bằng cách vẽ

một hình vuông mới với các ñỉnh là trung ñiểm các cạnh của hình vuông ban ñầu, và tô kín màu lên hai tam giác ñối diện:(như hình vẽ) Quá trình vẽ và tô theo qui luật ñó ñược lặp lại 5 lần

Tính số tiền nước sơn ñể người thợ thủ công ñó hoàn thành trang trí hình vuông như trên? Biết tiền nước sơn ñể sơn 1m là 50.000ñ 2

Câu 87 (Gv ðặng Thành Nam)Cho các số thực dương a a a a a1, , , ,2 3 4 5 theo thứ tự lập thành cấp số cộng

và các số thực dương b b b b b1, , , ,2 3 4 5 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Biết rằng a1 =b1 và

176.17

a = b Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 4

+ ++ + bằng

A 16

48

32

24.17

Câu 88 (Gv ðặng Thành Nam) : Cho cấp số nhân ( )u n có tất cả các số hạng ñều dương thoả mãn

Câu 90 (ST) Người ta xếp các viên gạch thành một bức tường như hình vẽ, biết hàng dưới cùng có 50

viên Số gạch cần dùng ñể hoàn thành bức tường trên là

Câu 91 (ST) Cho tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau: { } {1 , 2;3 , 4;5;6 , 7;8;9;10 , } { } { } , trong ñó

mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hơp ngay trước ñó 1 phần tử, và phần tử ñầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 ñơn vị Gọi S n là tổng của các phần

tử trong tập hợp thứ n Tính S999

A 498501999 B 498501998 C 498501997 D 498501995

Câu 92 (ST) Cho hình vuông A B C D1 1 1 1 có cạnh bằng 1 Gọi A k+1,B k+1,C k+1,D k+1 theo thứ tự là trung ñiểm của

các cạnh A B B C C D D A k k, k k, k k, k k:(với k =1, 2, ) Chu vi của hình vuông A2018 2018 2018B C D2018 bằng

Câu 93 (ST) : Cho hàm số: y x= 3=2018x có ñồ thị là ( )C M là ñiểm trên ( )C có hoành x1=1 Tiếp

tuyến của ( )C tại M cắt ( )C tại ñiểm M khác 2 M , tiếp tuyến của 1 ( )C tại M cắt 2 ( )C tại ñiểm 3

M khácM , tiếp tuyến của 2 ( )C tại ñiểm Mn 1− cắt ( )C tại ñiểm M khác n Mn 1− (n 4,5; ,= ) gọi (x ; yn n) là tọa ñộ ñiểm M Tìm n ñể: n 2019

2018x +y +2 =0

A n 647= B n 675= C n 674= D n 627=

Câu 94 (ST) Cho ba số thực x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, ñồng thời với mỗi số thực

dương a a( ≠1) thì log , loga x a y, log3a z theo thứ tự lập thành cấp số cộng

A u2018= −8062 B u2018 = −8060 C u2018 = −8058 D u2018 = −8054

Câu 96 :(ST) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương khác 1 là logx a, logy b, logz c theo thứ tự lập

thành một cấp số cộng Hệ thức nào sau ñây là ñúng?

A log log log

41B 42D 43A 44A 45A 46D 47C 48C 49A 50D

51D 52B 53A 54A 55A 56B 57A 58A 59C 60B

61B 62C 63C 64B 65A 66C 67C 68B 69A 70C

71B 72A 73B 74C 75B 76D 77C 78B 79D 80C

81B 82C 83A 84D 85D 86C 87B 88C 89B 90A

91A 92A 93C 94D 95B 96D 97B 98C 99B 100B

C – GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (SGD Vĩnh Phúc- 2018) Xác ñịnh x dương ñể 2x−3, , 2x x+3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân

C x= ± 3 D Không có giá trị nào của x

Lời giải Chọn B

Tổng ñã cho bằng 4(9 99 99 9)

9

Câu 6. Công thức nào sau ựây là ựúng với một cấp số cộng có số hạng ựầu u1, công sai d và số tự nhiên

2

n ≥

A. u n =u1−(n−1)d B. u n =u1+(n+1)d C. u n =u1+(n−1)d D. u n =u1+d

Lời giải Chọn C

Sử dụng công thức SHTQ của CSC có số hạng ựầu u1 và công sai d là u n =u1+(n−1) d

Cho cấp số cộng ( )u n có u1=4;u2=1 Giá trị của u10 bằng

Lời giải Chọn B

Câu 8 (SGD đà Nẵng2018) Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 32 và tổng bình phương

của chúng bằng 336 Tắch của bốn số ựó là

A 5760 B 15120 C 1920 D 1680

Lời giải Chọn D

Gọi 4 số ựó là a; a + d; a + 2d; a + 3d Theo ựề bài: 4a+6d=32⇒2a+3d =16

Lại có a2+(a+d)2+(a+2d)2+(a+3d)2 =336⇔4a2+12ad+14d2 =336

2a=16 3− d vào, ta tìm ựược d = 4 hoặcd = −4

Ở cả 2 trường hợp ựều ra 4 số cần tìm là 2; 6; 10; 14 Tắch 4 số này là 1680

Câu 9 (SGD Hà Nội 2018 ) :): Cho ( )u n là cấp số cộng có u3+u13=80 Tổng 15 số hạng ựầu tiên của

cấp số cộng ựó bằng

Lời giải Chọn D

Tổng của 15 số hạng ñầu tiên của dãy là

Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số cộng ( )un biết u5 =18 và 4Sn =S 2n Tìm số hạng ñầu

tiên u và công sai d của cấp số cộng 1

A u1=2, d 4= B u1=2, d 3= C u1=2, d 2= D u1=3, d 2=

Lời giải Chọn A

Câu 14 (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân

B Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng

C Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng

D Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương

Lời giải Chọn D

A đúng Dãy số là cấp số nhân với công bội q 1=

B đúng Dãy số là cấp số cộng với công sai d 0=

C đúng Vì dãy số là cấp số cộng nên: un 1+ −un = > ⇒d 0 un 1+ >un

D Sai Vắ dụ dãy 5; 2;1;3; − − là dãy có d 3 0= > nhưng không phải là dãy số dương

công bội là q và các khẳng ựịnh

Có bao nhiêu khẳng ựịnh ựúng trong các khẳng ựịnh trên?

Lời giải Chọn B

Phương pháp: Dựa vào ựịnh nghĩa và các tắnh chất của các số cộng và cấp số nhân

v =q −v ∀ ≥n n∈ ℕKhẳng ựịnh III) ựúng theo tắnh chất của cấp số cộng

1

n n

⇒ + + + ≠

Vậy có hai khẳng ựịnh ựúng

Hỏi bắt ựầu từ số hạng nào của cấp số cộng ựó thì nó nhận giá trị âm

Lời giải Chọn C

Số hạng tổng quát là

bắt ựầu từ số hạng thứ thì nhận giá trị âm

Câu 17 (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương) Một cấp số cộng có tổng của n số hạng ựầu S tắnh theo n

A u1= −8;d 10= B u1= −8;d= −10 C D u1=8;d= −10

Lời giải Chọn C

Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau

A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng

B Một cấp số nhân có công bội là một dãy tăng

C Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân

D Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng

Lời giải Chọn B

Chọn B sai vì nếu chẳng hạn thì cấp số nhân ñó là dãy số giảm

Câu 19 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho dãy số gồm 89 số hạng thỏa mãn ñiều kiện

Un = tan(n° ) Gọi P là tích của tất cả 89 số hạng của dãy số Giá trị của biểu thức là

Lời giải Chọn C

Cách giải: Ta có:

hạng ñầu tiên của cấp số cộng là

Lời giải Chọn C

Gọi số hạng ñầu và công sai của CSC là ta có

Câu 21 (Cụm 5 trường chuyên)Cho 3 số a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân với công bội khác

1 Biết cũng theo thứtự ñó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là Tính

P tan1 tan 2 tan 3 tan 89

P tan1 tan 89 tan 2 tan 88 tan 3 tan 87 tan 45

P tan1 cot1 tan 2 cot 2 tan 3 cot 3 tan 44 cot 44 tan 45

A B C D

Lời giải Chọn D

Phương pháp:

Sử dụng công thức tổng quát của CSC và tính chất của CSN

Cách giải:

a, b, c lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là nên ta có

a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân với công bội khác 1 nên ta có

Câu 22 (Chuyên Chu Văn An-2018)Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ

nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ỏ hàng thứ 3 có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây Hỏi số hàng cây ñược trồng theo cách trên là nbao nhiêu?

Lời giải Chọn C

Dãy số là CSN với số hạng ñầu là 4 và công bội là 3, suy ra

u = 4.3 = 78732

Câu 25 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018) : Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 ñể ñược cấp số cộng

có 5 số hạng

A 7;12;17 B 6;10;14 C 8;13;18 D 6;12;18

Lời giải Chọn A

Khi ñó

2 1

u =2u =2 ;u =2u =2 , , u =2

Câu 27 (Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An 2018) : Cho hai cấp số cộng ( )a n :a1=4;a2 =7; ;a100 và

( )b n :b1 =1;b2 =6; ;b100 Hỏi có bao nhiêu số có mặt ñồng thời trong cả hai dãy số trên?

Lời giải Chọn B

( )a n là cấp số cộng có công sai d = ⇒3 a n = +4 3(n−1) là số hạng tổng quát của ( )b n

( )b n là cấp số cộng có công sai d= ⇒5 b n = +1 5(n−1) là số hạng tổng quát của ( )b n

Suy ra có 20 số xuất hiện trọng cả hai dãy số trên

Câu 28 (Phan ðăng Lưu-Huế 2018) : Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số ñể ñược một cấp số nhân có u1=3

Khi ñó u là 5

Lời giải Chọn D

Giả sử cấp số nhân có công bội là q

u =u q =768⇔3q =768⇔q= ±2 ( )

Ta có u5 =u1.( )d 4 =32

Câu 31 (Lương Tài 2-Bắc Ninh 2018) Cho cấp số cộng( )un với số hạng ñầu là u1= −2017 và công sai

d 3.= Bắt ñầu từ số hạng nào trở ñi mà các số hạng của cấp số cộng ñều nhận giá trị dương?

Lời giải Chọn A

Công thức số hạng tổng quát là un =u1+(n 1 d− ) = −2017+(n 1 3 3n 2020.− ) = −

Ta có: un 0 3n 2020 0 n 2020 673,3

3

> ⇔ − > ⇔ > ∼ ⇒ Bắt ñầu từ số hạng u các số hạng của 674cấp số cộng ñều nhận giá trị dương

Câu 32 (Lương Tài 2-Bắc Ninh 2018) : Cho tam giác ABC vuông tại A có ba cạnh CA, AB, BC lần

lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội q Tìm q?

Ta cóAC.BC AB= 2⇔AC.BC BC= 2−AC2⇔AC q2 2 =AC q2 4−AC2⇒q2=q4−1

2

2 2

1 5q

1 5q

+ + + − − = −

+ − = −