ÔN TOÁN CAO CẤP bài tập tổng hợp giải chi tiết

Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá p =10 và nêu ý nghĩa.. 2 Hàm cầu và hàm cung của người tiêu dùng đối với một loại sản phẩm lần lượt là TR = Q− Q.. Tính hệ số co giãn của

Trang 1

TCC2 - Bài t ập tổng hợp & Giải chi tiết

PAGE: Love NeverDies

GROUP: Toán cao c ấp – Tài liệu NEU

ĐỀ BÀI: SƯU TẦM

HD GI ẢI: LND9492 SĐT: 0986.960.312 FB: https://www.fb.com/LND9492

&

Trang 2

L ỜI NÓI ĐẦU

Chào các em, mình họ Hoàng Bá, tên Mạnh (1994 – chưa rõ)!

Đây là bộ bài tập tổng hợp mình biên soạn dựa trên các câu hỏi từ đề giữa kì, đề cuối kì các khóa Tài liệu chia thành 5 chương chính theo nội dung chương trình học toán 2 NEU, bài tập ở mỗi chương lại phân nhỏ ra dạng bài để người dùng dễ dàng tiếp cận và nắm bắt hơn

Tất nhiên lời giải sẽ còn những chỗ sơ

sót, thay số sai, nên khi gặp bất kì vấn

đề nào còn vướng mắc, chưa rõ, sai rõ

ràng thì mong các em thông cảm, bình

tĩnh gửi phản hồi về cho page Love

NeverDies nhé Mình rất đỗi cảm ơn

và chắc chắn giải đáp tận tình, chu đáo!

Ôn tập chăm chỉ và thi tốt nhé các đồng

môn sự đệ, sư muội!

Sưu tầm & Biên soạn

LND9492 Manh163

Trang 3

Mục Lục

PHẦN I: ĐỀ BÀI 5

Chương 1: Giới hạn và tính liên tục của hàm số 5

1.1 Bài t ập giới hạn 5

1.2 Bài t ập về sự liên tục của hàm số 5

Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm số 6

2.1 Đạo hàm 6

2.1.1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau 6

2.1.2 Chứng minh hàm số sau liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0 6

2.1.3 Chứng minh các hàm số có hàm ngược và tính 6

2.1.4 Tìm khoảng tăng giảm và cực trị (điểm cực trị) hàm số 6

2.1.5 Khai triển Taylor, Mac Laurin 6

2.1.6 Ứng dụng phân tích kinh tế 6

2.2 Vi phân 7

Chương 3: Hàm nhiều biến: Đạo hàm riêng – vi phân – cực trị 8

3.1 Đạo hàm riêng 8

3.2 Vi phân toàn phần 8

3.3 C ực trị 9

3.4 Ứng dụng phân tích kinh tế 9

Chương 4: Tích phân 10

Chương 5: Phương trình vi phân 11

PH ẦN II: GIẢI CHI TIẾT 12

Chương 1: Giới hạn và tính liên tục 12

1.1 Giới hạn 12

1.2 Tính liên tục 16

Chương 2: Đạo hàm - vi phân – PT kinh tế 18

2.1 Đạo hàm 18

2.1.1 Dùng định nghĩa 18

2.1.2 Xét sự tồn tại đạo hàm tại điểm 20

2.1.3 Bài toán hàm ngược 21

2.1.4 Tìm khoảng tăng giảm, cực trị (điểm cực trị) hàm số 22

2.1.5 Khai triển Tay-lor, Mac Laurin 25

2.1.6 Ứng dụng phân tích kinh tế 27

2.3 Vi phân 29

Chương 3: Hàm nhiều biến: đạo hàm_vi phân_cực trị_PT kinh tế 30

3.1 Đạo hàm riêng 30

D ạng 1 30

D ạng 2 30

Trang 4

3.2 Vi phân toàn phần 32

3.3 C ực trị 34

3.4 Ứng dụng phân tích kinh tế 38

C hương 4: Tích phân 43

4.1 Phân thức 43

4.2 Lượng giác 43

4.3 Căn thức 43

4.4 Từng phần 44

4.5 Tích phân suy r ộng 45

Chương 5: Phương trình vi phân 47

5.1 Phân ly biến 47

5.2 Đưa về phân ly biến 48

5.3 Phương trình vi phân toàn phần 50

5.4 Thừa số tích phân 51

5.5 Phương trình tuyến tính tổng quát 54

5.6 Phương trình Bernoulli 57

Trang 5

ln 1

x

x x L

x L

ln 1 tan

x

x L

0 0

sinlim

ln cos2

x

x x

tdt L

ln 2 coslim

1

x

t x

t dt L

Trang 6

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ

f

ππ

3 2

2 1

3 2 0

y =∫e dx , Mac Laurin cấp 4 2.1.6 Ứng dụng phân tích kinh tế

Trang 7

1) Một doanh nghiệp độc quyền đứng trước đường cầu Q D =100 2− p Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá p =10 và nêu ý nghĩa

2) Hàm cầu và hàm cung của người tiêu dùng đối với một loại sản phẩm lần lượt là

TR = Q− Q Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại

mức giá p =50 và giải thích ý nghĩa

3

Q TC

Q

+ , Q là sản lượng Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 17

và giải thích ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được

5) Ước lượng hàm sản suất của một công ty có dạng Q =90L L23( >0).Cho biết giá sản phẩm bằng 3, giá thuê 1 đơn vị lao động bằng 2 và chi phí cố định 100 000 Xác định mức sử dụng lao động L để công

ty tối đa lợi nhuận

6) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biến MR =300− và hàm tổng chi phí Q

2

TC = Q + Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp tối đa lợi nhuận

7) Hàm cầu đối sản phẩm của một nhà độc quyền làQ =80 0,2− p Hàm chi phí biên của nhà sản suất tại

mỗi mức sản lượngMC =3Q2−20Q +200 Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá mà doanh nghiệp tối da lợi nhuận và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được

8) Hàm cầu thị trường đối với sản phẩm của một hãng độc quyền có dạngp =1400 4− Q :

a Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại p =80 và nếu ý nghĩa

b Biết hàm chi phí sản xuất của hãng là TC Q= 3−7Q2+80Q +844, hãy xác định mức sản lượng tối

đa lợi nhuận

Trang 8

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN: ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN – CỰC TRỊ

3.2.Vi phân toàn phần

Viết biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số sau

6) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của F x y( ; )= +4 3y −8x +4x2+y2

7) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của z =z x y( ; ) xác định bởi 2 2 2 9

2

Trang 9

1 Một doanh nghiệp có hàm sản xuấtQ =83 K L

a Đánh giá hiệu quả theo quy mô của doanh nghiệp

b Hãy tính sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản và lao động tại mứcL =16;K = và 8giải thích ý nghĩa

lợi nhuận tối đa

2 Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí:

3 Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hoạp 3 loại sản phẩm với hàm tổng

Trang 10

Cực

trị

điều

kiện

1 Cho hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu dùng 2 loại hàng hoá U =10x y0,6 0,4 trong đó x

là lượng hàng hoá thứ nhất, y là lượng hàng hoá thứ 2 Trong điều kiện giá của hàng hoá thứ nhất là 10$, giá của hàng hoá thứ 2 là 3$ và thu nhập dành cho tiêu dùng là 3000$ Hãy xác định cơ cấu tiêu dùng tối đa hoá lợi ích và xác định mức lợi ích tối ưu tăng thêm khi lượng tiền dành cho tiêu dùng tăng 1$ (và khi tăng 1%)

2 Cho hàm lợi ích U =20x y23 13với x,y lần lượt là lượng cầu của hàng hóa 1 và 2 Biết giá mỗi đơn vi ̣hàng hóa lần lượt là $8 và $4 Hãy tìm lượng cần x,y để người tiêu dùng tối thiểu hóa chi tiêu của mình với lợi ích không đổi là 400

3 Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất làQ =120K L0,7 0,4 Sử dụng phương pháp nhân

tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp phải

bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q =0 4000đơn vị sản phẩm Cho biết giá thuê tư bản

và lao động lần lượt là w K =16 ;w L =14

4 Một doanh nghiệp có hàm sản xuấtQ =20K L0,4 0,4 Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là

$10, giá thuê một đơn vị lao động là $8 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách

cố định là $320 Tìm mức sử dụng lao động và tư bản để doanh nghiệp có sản lượng cực đại Khi ngân sách sản xuất tăng 3% thì sản lượng cực đại thay đổi như thế nào?

dx x

cos

dx x

ln 5 2

dx x

Trang 11

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

5.1 Phân ly bi ến (tách biến)

11)

Trang 12

PHẦN II: GIẢI CHI TIẾT

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC

Trang 13

1 1 tantan

3 1 tan 3

1 tanlim

4

x x

x x L

→

+

−+

sin

1sin

x

x L

x

x x

Trang 14

3lntan

Trang 15

lim ln lim 2 ln tan 3

22

0

3 1 tan 3

3tan 3

Trang 16

14

1Chó ý r»ng: nghÜa lµ 0

→ = nên f x liên t( ) ục tại x =1

Vậy, f x liên t( ) ục trên 

(2) Dễ thấy f x liên t( ) ục tại mọi x ≠0

0

2 ln 1 sinlim lim 1 sin : ta cã ln

Trang 17

Vậy, f x liên t( ) ục tại mọix ≠0

(3) Dễ thấy y liên tục tại mọi x ≠1

→ = = nên y liên tục tại x =1

Vậy, y liên tục trên 

Vậy, a e= 4 thì y liên tục tại 0

(6) Dễ thấy yliên tục tại mọi x ≠2

Vậy, a =2 thì y liên tục tại 0

(7) Dễ thấy f x liên t( ) ục tại mọi x ≠3

Trang 18

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM - VI PHÂN – PT KINH TẾ 2.1 ĐẠO HÀM

2.1.1 Dùng định nghĩa

a Ta có bảng xét dấu

x −∞ −1 2 +∞1

Xét khi x> ⇒ =1 y′ sin2(x2 + +1) 2x x( −1 sin 2) ( x2+ 2)

Xét khi x< ⇒ = −1 y′ sin2(x2 + +1) 2x x( −1 sin 2) ( x2 + 2)

Xét tại x =1 ta có:

Trang 19

4

4 1 1

y x y y

Trang 20

6 5

5

6 5

3 3

2 2

k k

x x

Trang 21

2 3

3arctan

Trang 22

ππ

Trang 23

Trang 24

2 1

Trang 25

2.1.5 Khai triển Tay-lor, Mac Laurin

y

x x

=

++

Trang 26

Vậy, khai triển cần viết là: y = +3 4x +5x2+2x3+o x( )3

(5) Trước hết ta khai triển Mac Laurin g x( )= 3x +1 đến cấp 4

Trang 27

D p

ε = − = − cho biết: tại mức giá p =10, nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm xấp

ε = − cho biết: tại mức giá này, nếu tăng giá 1% thì lượng cầu giảm khoảng 2%

ε = cho biết: tại mức giá này, nếu giá tăng 1% thì lượn cung tăng khoảng 4%

9

2006

Trang 28

3

D p

ε = − cho biết: tại mức giá này, nếu giá tăng 1% thì lượng cầu giảm khoảng 1%

3 (4) Hệ số co giãn của TC theo Q là:

17 6.17

0,0161000.20 20.17

TC Q

tiêu tốn thêm khoảng 0,016% tổng chi phí

(5) Hàm tổng doanh thu: TR =pQ =3.90L23 =270L23

Hàm tổng chi phí: TC =2L +100000

Hàm lợi nhuận: π =TR TC− =270L23 −2L −100000

Điều kiện cần: π′( )L =180L−13− = ⇔2 0 3 L =90⇔ =L 729000

Điều kiện đủ: π′′( )L = −60L−34 < ∀ > (th0 L 0 ỏa mãn)

Vậy, L =729000 là mức sử dụng lao động để công ty tối đa lợi nhuận

(6) Hàm chi phí cận biên: MC TC= ′=4Q

Điều kiện cần để doanh nghiệp tối đa lợi nhuân: MR MC= ⇔300− =Q 4Q ⇔ =Q 60

Điều kiện đủ để doanh nghiệp tối đa lợi nhuân được thỏa mãn: MR′= − <1 MC′= ∀4 Q (π′′< 0)

Vậy Q =60 là mức sản lượng cho doanh nghiệp lợi nhuận tối đa

80 0,2 80 0,2

Q p

80 0,2.350

D p

Trang 29

Vậy, Q =22 là mức sản lượng cho doanh nghiệp lợi nhuận tối đa

Trang 30

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN: ĐẠO HÀM_VI PHÂN_CỰC TRỊ_PT KINH TẾ

3

22

Trang 31

Trang 32

Trang 33

;

y x

x x

x

y y

−

Trang 34

Trang 35

Xét tại M1( )0;0 cóa = >11 8 0 và D = −64 0< => đây không phải cực trị của z

Xét tại M2( )4;4 và M − −3( 4; 4) có a11 = >8 0;D =192 0> nên đây là 2 cực tiểu của z , 2 giá trị cực tiểu tương ứng là: z M( ) ( )2 =z M3 = −19

1 2 3

0;0 ;3;3 ;3; 3

M M

Trang 36

Xét tại M2( )3;3 và M − −3( 3; 3) có a11=12 0;> D =288 0> nên đây là 2 cực tiểu của z , 2 giá trị cực tiểu tương ứng là: z M( ) ( )2 =z M3 = −27

x x

z y y

Trang 37

λ

λλ

λ

λλ

Trang 38

1

2 2

32

Doanh nghiệp có hiệu suất giảm theo quy mô

3.4 33

biết tại mức sử dụng đầu vào K =8;L =16 nếu giữ nguyên L và tăng sử dụng K thêm 1 đơn vị

tư bản thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 8

biết tại mức sử dụng đầu vào K =64;L =125 nếu giữ nguyên L và tăng sử dụng K thêm 1 đơn

vị tư bản thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 125

biết tại mức sử dụng đầu vào K =64;L =125 nếu giữ nguyên K và tăng sử dụng L thêm 1 đơn

vị tư bản thì sản lượng đầu ra tăng xấp xỉ 16 đơn vị sản lượng

Trang 39

b Mức sản lượng tăng thêm khi tiêu tốn 1$ để thuê thêm

K K

Nên M là cực đại củaπ

Thay lại đường cầu ta có các mức giá cho lợi nhuận cực đại là: (p1 =50;p2 =35)

Hệ số co dãn của cầu sản phẩm 1 theo giá của nó là: 1 ( )

p = ⇒ε = − = − cho biết tại đây nếu giá sản phẩm 1 tăng 3% thì lượng cầu sản phẩm

Trang 40

Q = Q = là cực đại của lợi nhuận Thay kết hợp sản lượng này vào ddwogf cầu

tương ứng, ta có kết hợp mức giá phải tìm là: (p1 = ;p2 = )

Trang 41

Theo ý nghĩa của nhân tử Lagrange thì t ại điểm tối ưu khi lượng tiền cho tiêu dùng tăng 1$, lợi ích cực đại sẽ tăng tương ứng 1 lượng xấp xỉ bằng 3 20 0,4

5 9

λ=    đơn vị lợi ích

Khi lượng tiền cho tiêu dùng tăng 1%:

Hệ số co dãn của lợi ích cực đại( )U0 theo lượng tiền cho tiêu dùng( )m là:

3

520

5λ

Nên M là cực tiểu của chi phí C và do đó túi hàng cần tìm là (x =20;y =20)

(3) Cần tìm (K L; ) để tối thiểu chi phí sản xuất C =16K +14L trong ràng buộc Q =120K L0,7 0,4 =4000

Trang 42

Nên M là cực đại của hàm chi phí sản xuất C và (K =K L0; =L0) là kết hợp đầu vào cần tìm

(4) Cần tìm (K L; ) để tối đa hóa sản lượng trong ràng buộc ngân sách 10K+8L=320

l= K L +λ − K− L Điều kiện cần

0,4 0,4 0,6 0,4

0,6 0,6 0,4 0,6

tại đây nếu ngân sách sản xuất tăng 3% thì sản lượng cực đại tăng tương ứng khoảng (3.0,8)=2, 4%

Trang 43

1

44

Trang 44

Tính

2 2

dv

v x

dx

x dx

dv

v x

Trang 45

1 2

5 2

Trang 46

19

Trang 47

Trang 48

5.2 Đưa về phân ly biến

t t

z C

z

dz x C z

Trang 49

x Thay z y

159

Trang 50

Trang 51

Vậy, tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: 2

phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân toàn phần với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số

Nhân vào hai vế của (*) với 12

y ta được phương trình vi phân toàn phần: dx x 0

Trang 52

2

11

dx

x x

x + ta được phương trình vi phân toàn phần:

2 3 2

+Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:

Trang 53

Nhân vào hai vế của phương trình đã cho với 12

y ta được phương trình vi phân toàn phần:

2 2

p x =e−∫ =e−

Nhân vào hai vế của (*) với 12

(1+xy e dx) −x −(x+1)e dy−x =0Với vế trái là biểu thức vi phân toàn phần của hàm số:

Vậy, tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: 1−e−x−(xy y e+ ) −x =C

(6) Đặt M y= 2cos ;xy N y xy= + cosxy ta thấy M y′ =2 cosy xy xy− 2sinxy ≠N x′ =y cosxy xy− 2sinxy

Nhân vào hai vế của phương trình đã cho với 1

Trang 54

Vậy, tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho là: sinxy − + =y 1 C

5.5 Phương trình tuyến tính tổng quát

2 ln 31

dx

x x

y =Ce∫ − =Ce − =C x− =C x−

Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng y=C x( )(x− ⇒1) y′=C x′( )(x− +1) C x( )

Thay vào (*) ta được:

dx

x x

y =Ce∫ =Ce =C x =Cx

Tìm nghiệm tổng quát của (*) dưới dạng y=C x x( ) ⇒ y′=xC x′( )+C x( )

Thay vào (*) ta được:

ln

x dx

Trang 55

Trang 56

ln 1 1

1 0

x x x

Trang 57

Định dạng
Số trang	59
Dung lượng	1,22 MB