Tuyển tập các bài hình học đề thi vào 10 môn TOÁN TP Hà Nội

Đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 của Hà Nội những năm gần đây (và cả năm nay) được giữ nguyên cấu trúc. Đây là điểm thuận lợi rất lớn cho thầy cô và học sinh lớp 9 trong việc dạy học và ôn thi. Nội dung đề thi chủ yếu nằm trong chương trình Toán lớp 9, nhưng cũng yêu cầu học sinh vẫn phải nắm được các kiến thức Toán học ở các lớp dưới của cấp THCS. Cấu trúc đề thi môn Toán vào lớp 10 Hà Nội thường có 5 bài: Bài 4 (khoảng 3.5 điểm): Bài hình về đường tròn. Các câu hay gặp: Chứng minh tứ giác nội tiếp, biểu thức liên quan, độ dài đoạn thẳng, tính góc, khoảng cách, tìm quỹ tích. Bài này thường có 4 ý: 3 ý đầu nâng dần độ khó, tuy chưa phân hóa mạnh (mỗi ý 1 điểm). Câu hỏi phân hóa nằm ở ý thứ 4 (0.5 điểm).

LỚP 10 TP.HÀ NỘI

Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007)

Cho  O đường kính AB2R,C là trung điểm của OA, dây MN vuông góc với OA tại C

Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

c) Ta chứng minh tam giác BMN đều thật vậy:

Ta có:

.2 32

N

Cho O R tiếp xúc với đường thẳng d tại ;  A Trên d lấy điểm H không trùng với A sao cho

AH R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d , đường thẳng này cắt đường tròn tại hai

điểm E và B ( E nằm giữa B và H )

a) Chứng mình ABEEAH và ABH ~EAH

b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB

tại K Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp

Khi đó dễ dàng chứng minh: ABH ~EAH ( g.g )

b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời là đường trung tuyến nên ACE cân tại E

Khi đó ACECAE ABE

Xét tứ giác AHEK có: AHEAKE    90 90 180

Suy ra AHEK nội tiếp

230

AI AIO OAI

OA OAI

AB R ABH AH

Khi đó H là giao điểm của d và ; 3

2

R A

Cho  O có đường kính AB2R và điểm E bất kì trên đường tròn (E khác A B, ) Đường

phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh rằng: KAF~KEA

b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh rằng đường

tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với  O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F

c) Chứng minh MN/ /AB , trong đó M N, lần lươt là giao điểm thứ hai của AE BE, với đường

tròn  I

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn

 O , với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK

Hướng dẫn giải:

a) Do EK là phân giác AEB

45

AK KB AEK BEK KAB

I

KF

E

A

c) Ta có: IMIF IME cân tại I IEM IME

Lại do OEOA OAE cân tại OOAEOEA

c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn O R lấy điểm ;  K bất kì ( K khác B C, ) Tiếp tuyến tại

K của đường tròn O R cắt ;  AB AC, theo thứ tự tại P Q, Chứng minh rằng tam giác APQ có

chu vi không đổi khi điểm K chuyển động trên cung nhỏ BC

d) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB AC, theo thứ tự tại M N,

Chứng minh rằng: PMQN MN

Hướng dẫn giải:

a) Do AB AC, là các tiếp tuyến ABO ACO 90

180

ABO ACO

Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: ABAC

BAC BAC POQ AOB AOQ POB AOQ POB

Cho đường tròn  O đường kính AB2R và điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A B, )

Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B C, ) Tia AC cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt

BE tại F

a) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: DA DE DB DC

c) Chứng minh CFDOCB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh

IC là tiếp tuyến của  O

d) Biết DF R Chứng minh tg AFB2

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác FCDE có: FCDFED180 tứ giác FCDE nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh: ADC~BDE ( g.g )

c) Theo câu a) tứ giác FCDE nội tiếp nên: CFDCED

mà OBCCED ( Tứ giác ACEB nội tiếp  O

Lại do OCB cân tại OOCBOBC

IF

E

DC

A

Suy ra: CFDOCB

Xét tứ giác FCDE nội tiếp có: FCDFED 90

 tâm I là trung điểm của FD

Khi đó: IC ID IF   ICF cân tại I CFI ICF OCB

90

OCI OCB ICD ICF ICD FCD

Suy ra: ICOC mà C O  IC là tiếp tuyến của  O

d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE là tiếp tuyến của  O

Cho đường tròn  O đường kính AB2R Gọi d d1, 2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn

tại A B, Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn ( E không trùng A B, )

Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt tại M N,

a) Chứng minh tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh ENI EBI và MIN 90

c) Chứng minh: AM BN AI BI

d) Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm E của  O Hãy tính diện tích tam

giác MIN theo R khi 3 điểm E I F, , thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

a) Vì d là tiếp tuyến của 1  O tại A nên d1BAMAI  90

Lại có: MN EI MEI  90

Xét tứ giác AMEI ta có: MAIMEI 90

Suy ra tứ giác AMEI nội tiếp

b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác: MNEI nội tiếp

Khi đó: ENI EBI

O

Suy ra: MIN  90

c) Ta có: AIM BNI  90 BIN

Suy ra: AMI~BIN ( g.g )

Vì F là điểm chính giữa cung AB EF là phân giác AEB AEI BEI 45

Ta có:  AEI AMI 45  AMI vuông cân tại 2 2

Cho đường tròn O R đường kính ;  AB Bán kính OC vuông góc với AB,M là điểm bất kì

trên cung nhỏ AC , ( M khác A C, ) BM AC H K là hình chiếu của H trên AB

a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp

b) Chứng minh ACM  ACK

c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho AM BE Chứng minh tam giác ECM vuông cân

tại C

d) Gọi d là tiếp tuyến của  O tại A Gọi A là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P C,

nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và AP MB. R

MA  Chứng minh rằng

PB đi qua trung điểm của HK

I

Pd

E

K

HM

C

A

a) Vì C O đường kính AB  ACB 90

Lại có: HK ABHKB 90

Xét tứ giác BCHK : HKBHCB180

Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp

b) Theo câu a) BCHK nội tiếp ACK  ABM

mà ABCM nội tiếp  O  ABM  ACM

Suy ra: ACM ACK

c) Vì C là điểm chính giữa cung AB nên ACAB

Lại có: MACEBC MA; EB

Khi đó ta có: MAC EBC c g c 

Suy ra: CM CE (1)

Mặt khác: MCEECB mà HCEECB  90 HCEMCAMCE 90 (2)

Từ (1),(2) ta có MCE vuông cân tại C

d) Theo giả thiết: AP MB. R AP R OB

Gọi  I MBd ta có: APM vuông tại M P, AI mà PM PA

Suy ra P là trung điểm AI

Lại do: AI/ /HKAB

Suy ra BP cũng đi qua trung điểm của HK ( Hệ quả của đinh lí Ta – lét )

Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 )

Cho đường tròn  O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến AM AN, với

đường tròn ( M N, là các tiếp điểm ) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn tại hai điểm

,

B C( ABAC, d không đi qua O )

a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp

b) Chứng minh rẳng: 2

AN AB AC Tính độ dài đoạn BC khi AB4;AN 6

c) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng NI cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai T

Chứng minh rằng MT/ /AC

d) Hai tiếp tuyến của  O tại B C, cắt nhau tại K Chứng minh rằng K thuộc đường thẳng cố

định khi đường thẳng d thay đổi thỏa mãn đề bài

Hướng dẫn giải:

a) Do AM AN, là tiếp tuyến của  O  AMOANO 90

Xét tứ giác AMON : AMOANO180AMON nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh: ABN~ANC ( g.g ) AB AN AB AC AN2

AN AC

c) Vì I là trung điểm của BC OI BC AIO 90

Khi đó tứ giác AION nội tiếp 1

Suy ra: MTN  AIN ( mà chúng ở vị trí đồng vị )MT/ /AC

d) Dễ dàng chứng minh K I O, , thẳng hàng ( do cùng nằm trên đường trung trực của BC )

Vì KBlà tiếp tuyến của  O KBO 90

Xét KBO vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Mặt khác ta chứng minh được 5 điểm A M I O N, , , , cùng nằm trên một đường tròn

Suy ra: MNONMO180 MIO (2)

Từ (1),(2) ta có:NMO180 KMONMOKMO180

Suy ra 3 điểm K M N, , thẳng hàng

Do M N, cố định nên K luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định

Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 )

Cho O R đường kính ;  AB cố định Vẽ đường kính MN của đường O R ( ;  M khác A B, )

Tiếp tuyến của O R tại ;  B cắt đường thẳng AM AN, lần lượt tại Q P,

a) Chứng minh rằng AMBN là hình chữ nhật

b) Chứng minh 4 điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường tròn

c) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng

minh rằng F là trung điểm BP và ME/ /NF

d) Khi đường kính MN quay quanh O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường

kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

a) Do M O đường kính AB nên: AMB 90

Tương tự: ANBMAN  90

Suy ra: AMBN là hình chữ nhật

b) Do QB là tiếp tuyến của  O QB AB

Khi đó: ABM AQB   90 MBQ

Mặt khác AMBN là hình chữ nhật ABM ANM

Suy ra: ANM MQBtứ giác MNPQ nội tiếp, hay 4 điểm M N P Q, , , thuộc cùng một đường

tròn

FE

c) Xét ABQ có OE là đường trung bình OE/ /AQ

Xét trong APB có O là trung điểm AB, OF/ /AP nên F là trung điểm BP

Ta có E là trung điểm BQ MEEQEB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

NFBMEB   NBF   MBE   NBFMBE      

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên: ME/ /NF

d) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác APQ ta có:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A O, )

Đường thẳng đi qua C vuông góc với ABcắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kì trên

cung KB( M khác K B, ) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM BM, lần lượt tại H D,

Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CACB CH CD

c) Chứng minh 3 điểm A D N, , thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung

điểm của đoạn thẳng DH

d) Khi M di động trên cung KB Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

N

KD

a) Vì M O đường kính AB AM MBAMB 90

Xét tứ giác ACMD : ACD AMB 90

Suy ra tứ giác ACMD nội tiếp

b) Tương tự ta có: BCHM cũng là tứ giá nội tiếp

Do: ANONAOCHBNHE

Suy ra: ENH EHN  ENH cân tại EENEH

Cho đường tròn  O và một điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn

 O ( Blà tiếp điểm ) và đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I( I khác C O, )

Đường thẳng AI cắt đường tròn tại hai điểm D E, ( D nằm giữa A E, ) Gọi H là trung điểm

của đoạn thẳng DE

a) Chứng minh bốn điểm A B O H, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh AB BD

AE  BE

c) Đường thẳng d đi qua E và song song với AO , d cắt BC tại K Chứng minh HK/ /DC

d) Tia CD cắt AO tại P, tia EO cắt BP tại F Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật

Hướng dẫn giải:

a) Vì H là trung điểm của DB OH DB hay OH DB

Lại có AB là tiêó tuyến của  O  ABO 90

Xét tứ giác ABOH ABO: AHO180

Suy ra tứ giác ABHO nội tiếp

b) Ta có: ABD AED ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

Khi đó dễ dàng chứng minh: ABD~AEB ( g.g )

AB BD

AE BE

c) Ta có: HK/ /AOOAH HEK ( 2 góc so le trong )

mà OAH HBOHEK HBOBHCE nội tiếp

IHK IBE IDC

Lại có: BOPAHB180 AHE180 BKEEKC

Suy ra: PBO~ECK PBO~ECK PBOKCEOEC

Suy ra tứ giác BECF nội tiếp mà B E C, ,  O  F  O

Lại do: BC EF, là các đường kính nên BECF là hình chữ nhật

Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 )

Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M N, lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ

AB và cung nhỏ BC Hai dây AN CM, cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB BC,

lần lượt tại H K,

a) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng một đường tròn

b) Chứng minh: NB2 NK NM

c) Chứng minh BHIK là hình thoi

d) Gọi P Q, lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là

trung điểm của đoạn thẳng PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn  O Chứng minh 3 điểm

, ,

D E K thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

c) Chứng minh tương tự câu a) ta có: AMHI là tứ giác nội tiếp

Khi đó ta có: AHI AMI mà AMI ABI

J

FE

N

M

CB

A

O

Suy ra: BHIK là hình bình hành (1)

Nhận thấy I là giao điểm 3 đường phân giác của ABCBI là phân giác ABC

Suy ra: BJK vuông tại J hay HK BI (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác BHIK là hình thoi