GTLN,GTNN m 3 4

Ông Bình xây một hồ nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 18m đáy hồ là, một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộngA. Chi phí thấp nhất để xây hồ là A.. Nhà

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Mức độ vận dụng Câu 1 Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1

1

x y x





 bằng

Câu 2 Cho hàm số 2

2

x m y

x





 với m là tham số , m� Biết 4 min 0;2   max 0;2   8

trị của tham số m bằng

Câu 3 Trên đoạn 2;2, hàm số 2

1

mx y x



 đạt giá trị lớn nhất tại x khi và chỉ khi1

Câu 4 Cho hàm số 1 3 2 2

3

y x m x m m m là tham số Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao

cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  0;3 không vượt quá 3. Tìm m?

A S    �; 3 �1;�. B S   3;1

C S    �; 3 �1;�  D S   3;1

Câu 5 Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 36

1

y mx

x

 trên  0;3 bằng 20 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 0 � m 2 B 4 � m 8 C 2 � m 4 D.m 8

Câu 6 Ông Bình xây một hồ nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3

18m đáy hồ là, một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ là 500 000 đồng cho mỗi mét vuông Chi phí thấp nhất để xây hồ là

A 19 triệu đồng B 18 triệu đồng C 16 triệu đồng D 20 triệu đồng.

Câu 7 Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít

xăng trong một tháng Biết rằng, trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là

A 4 ngày B 10 ngày C 20 ngày D 15 ngày.

Câu 8 Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 4000 bản in khổ giấy A4 trong một giờ Chi phí để

bảo trì, vận hành một máy trong mỗi lần in là 50000 đồng Chi phí in ấn của n máy chạy trong

một giờ là 20 3 n nghìn đồng Hỏi nếu in 50000 bản in khổ giấy 5 A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được nhiều lãi nhất?

A 4máy B 7 máy C 6 máy D 5 máy.

Câu 9 Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2 m Người ta

muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua

bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ) Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ?

A 5 13m

Câu 10. Cho hàm số   3 2

3

f x  x x  Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m m

m10 để với mọi bộ ba số phân biệt a , b , c� 1;3 thì f a ,  f b ,  f c là ba  cạnh của một tam giác?

Câu 11 Cho hàm số y 3x x   ( m là tham số) Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0; 33 m �� ��

bằng 5 2 thì m phải bằng :

Câu 12 Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của

mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P n  480 20 n (gam) Số con cá phải thả trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều gam cá nhất là

Câu 13 Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y x33x1 trên đoạn  0;3

A M 20, m 0 B M 19, m  C 1 M 19, m 1 D M 19, m 0

Câu 14 Hàm số y x23x2 có giá trị lớn nhất trên đoạn 3;3 là

Câu 15 Cho hàm số 3 2 22 3

1

y

x



 , tập hợp nào sau đây là tập giá trị của hàm số?

A  2; 4 B  2;3 C 15;5

2

� �. D  3;4

Câu 16 Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 2

2 2 (x 1)

 Khi đó

M m bằng:

3

2.

Câu 17 Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y f x( )  x 3trên đoạn  1:1 là:

Câu 18 Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 2

2 2 (x 1)

 Khi đó

M m bằng:

3

2.

Câu 19 Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y x 1 3 x2 Tìm M

4

4

2

M 

Câu 20. Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2y37y2x 1 x 3 1 x 3 2 y2 Tìm giá1

trị lớn nhất của biểu thức P x 2y

A P10 B P 4 C P6 D P8

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN Câu 1 [DS12.C1.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 323-2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

1

1

x

y

x





Lời giải Chọn D

TXĐ: D � Ta có

2

2

1 1

1 1

x x x

x x

y



 





0

y� � x 1 0 � x 1.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có miny  2

Câu 2 [DS12.C1.3.BT.c] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho

2

x m y

x





 với mlà tham số , m�4 Biết min 0;2   max 0;2   8

số mbằng

Lời giải Chọn D

Xét hàm số xác định trên tập D 0; 2

4

2

m y

x



�

 Nhận xét m�4 hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên  0; 2 nên

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên  0; 2 luôn đạt được tại x0 , x2

–

Câu 3 [DS12.C1.3.BT.c] [NGÔ SĨ LIÊN – 2017] Trên đoạn 2;2, hàm số 2

1

mx y x



 đạt giá trị

lớn nhất tại x1 khi và chỉ khi

Lời giải Chọn B

Cách 1: Với m0 thì y0 nên max2;2 y0 khi x1.

Với m�0

Đặt xtant, ta được sin 2

2

m

y t Với x�2; 2 thì t�arctan 2;arctan 2

Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x1 tương ứng với

4

t 

Khi m0 thì

 arctan 2;arctan 2max 

2

m y

4

t 

Khi m0 thì

 arctan 2;arctan 2max 

2

m y

4

t 

Vậy m�0 thỏa mãn bài toán

2 2 2

1 1

y x



�

 ,

TH1: m0�y0 là hàm hằng nên cũng coi GTLN của nó bằng 0 khi x1

1 ( )

y

 

�

� � ��

Vì hàm số đã cho liên tục và xác định nên ta có hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất tại x1 trên đoạn 2;2

khi và chỉ khi

   

   

   



�

�

�



�۳�

�

�

(do m�0)

Vậy m�0

Chú ý: Ngoài cách trên trong TH2 m�0, ta có thể xét m0, m0 rồi lập BBT cũng tìm được kết quả như trên

Câu 4 [DS12.C1.3.BT.c](THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm

3

y x m x m m m là tham số Gọi S là tập tất cả các giá trị của m sao cho giá

trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  0;3 không vượt quá 3 Tìm m?

A S    �; 3 �1;� B S   3;1

C S    �; 3 �1;� D S   3;1

Lời giải

Chọn B

' 0,



�

�

Do đó hàm số đồng biến trên ��max 0;3 y y (3)m22m

Theo bài yêu cầu ta có m22m� � �3 m 3;1

Câu 5 [DS12.C1.3.BT.c](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhất

của hàm số 36

1

y mx

x

 trên  0;3 bằng 20 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.0 �m 2 B.4 �m 8 C.2 �m 4 D.m8

Lời giải Chọn C

36 1

y mx

x

36 1

x

� 

�

 Trường hợp 1: m0, ta có  2

36

1

x

 .Khi đó min 0;3  3 9

�   (loại). Trường hợp 2: m�0

 Nếu m0 , ta có y�0, x�1 Khi đó min 0;3  3

3

 Nếu m0, khi đó  2

36

1

x

1

x

m

�

 

6 1 6 1

x m

m

�

�

�

�

 0 6 1 3 4 36

m

4 6

100

x

m

m

�



�

4

m

m   �  , min 0;3  3

3

Câu 6 [DS12.C1.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Ông Bình xây một hồ nước dạng khối hộp chữ

nhật không nắp có thể tích bằng 18 m3, đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ là 500 000 đồng cho mỗi mét vuông Chi phí thấp nhất để xây

hồ là

A 19 triệu đồng B 18 triệu đồng C 16 triệu đồng D 20 triệu đồng

Lời giải Chọn B

Gọi chiều rộng của đáy hồ nước là x � chiều dài của đáy hồ nước là 3x m , với 0 x 6 Suy ra chiều cao của hồ nước là h 62

x

  m

Tổng diện tích cần xây là S x  S xqS đ 2xh2.3xh3x2 8xh3x2 hay   48 2

3

x

Do đó   24 24 2

3

x x

min 36

3x

x  hay x2 Vậy chi phí xây hồ là 18 triệu đồng

Câu 7 [DS12.C1.3.BT.c] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Nhà xe khoán cho hai tài

Biết rằng, trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là

Lời giải Chọn C

Gọi x (lít) 0 x 10 là số xăng An sử dụng trong 1 ngày

Khi đó: 10 x (lít) là số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày

10

xăng được khoán

10

f x

'

2 2

10

f x

  

�

0 10

�

4

20 0;10

x x



�

� �  ��

10



Câu 8 [DS12.C1.3.BT.c] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Một xưởng in có 8 máy in, mỗi

máy in được 4000 bản in khổ giấy A4 trong một giờ Chi phí để bảo trì, vận hành một máy trong mỗi lần in là 50000 đồng Chi phí in ấn của n máy chạy trong một giờ là 20 3 n5 nghìn đồng Hỏi nếu in 50000 bản in khổ giấy A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để thu được nhiều lãi nhất?

Lời giải Chọn D

Gọi số giờ cần in là x thì n máy in được 4000 .n x bản in trong x giờ.

Ta có 4000 50000 25

2

n x �nx Chi phí của n máy chạy trong x giờ là 20 3x n 5 nghìn đồng

Chi phí để bảo trì n máy là 50n nghìn đồng

Tổng chi phí là f n  20 3x n  5 50n60xn100x50n 750 1250 50n

n

1250

50

f n

n

�    , f n�  0�n5.

Ta có BBT

Để thu được tiền lãi cao nhất cần chi phí thấp nhất, vậy n5 thỏa ycbt

Câu 9 [DS12.C1.3.BT.c] (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Một bức tường

một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ) Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét ?

A 5 13m

Lời giải

Chọn B

Đặt BCx x 0 Ta cần tìm x để độ dài CD đạt GTNN

Ta có 2 2 2

4

2

Đặt f x  x2 4x 2

x

x

f x

  f x�  0� x2.

BBT

Vậy chọn B

Cách 2: f x  x2 4x 2 4 2 2x x 4 2

số f x   x3 3x2m Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m m10 để với mọi

bộ ba số phân biệt a, b, c� 1;3 thì f a  ,f b  , f c  là ba cạnh của một tam giác?

Lời giải Chọn C

Ta có f a  ,f b  ,f c  là ba cạnh của một tam giác nên f a   f b   f c 

a  a   m b b   m c c m

a33a2  b33b2  c33c2  m

Do đó Min��a33a2  b33b2  c33c2�� m với mọi a, b,c� 1;3

Ta cần tìm Min��a33a2  b33b2�� và Maxc33c2 với mọi a, b,c� 1;3

Xét hàm f x   x3 3x2 với x� 1;3

  2

2

x

x



�

Ta có f  1  2, f  2  4, f  3 0

 1;3    

Max f x  f 3 0,

 1;3     Min f x  f 2  4.

Suy ra Min��a33a2  b33b2  c33c2�� 4.2 8

Đẳng thức xảy ra khi a b 2, c3 hoặc a c 2, b3 hoặc b c 2, a3

Do đó   8 m�m8 Mà m10 và m nguyên nên m9

Có 1 giá trị m thỏa mãn.

Câu 11 [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Cho hàm số

3 3

y x x m (m là tham số) Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn �0; 3�

� � bằng 5 2 thì

m phải bằng :

A 3 2 B 4 2 C 2 D 2 2

Lời giải Chọn B

TXĐ : D  �;  3� �� �� 0; 3�� Hàm số xác định và liên tục trên ��0; 3��.

Ta có :

3 3

3 3

2 3

x y

x x



�

 ,  �x  0; 3 ; y�0� x�1.

Ta có : y 0 m, y 3 m, y 1  m 2

Do đó : max�0; 3�y 5 2 m 2 5 2 m 4 2

� �

Câu 12 [DS12.C1.3.BT.c] (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang HKII 2016 2017

-BTN) Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P n  480 20 n

(gam) Số con cá phải thả trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều gam cá nhất là

Lời giải Chọn C

Cân nặng của n con cá là : f n  n P n   480n20n2

Xét hàm số f n   20n2480n trên 0;�

f n�   n  �n .

Lập bảng biến thiên :

Vậy thu hoạch sản lượng cá nhiều nhất thì phải thả trên mặt hồ 12 con cá

Câu 13 [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m

của hàm số y x33x1 trên đoạn  0;3 .

Lời giải

Chọn C

Xét trên  0;3 hàm số liên tục.

2

y� x  , y�0� 3x2 3 0�3x2 3 0  

 

1 0;3

1 0;3

x x

� �

� �

  �

Nên f  0 1, f  1 1 và f  3 19.

Dó đó: M 19, m1.

Câu 14 [DS12.C1.3.BT.c] [BTN 167-2017] Hàm số y x23x2 có giá trị lớn nhất trên đoạn 3;3

là

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta sử dụng MTCT bấm Mode 7 rồi bấm Shift, nhập f X   X23X 2 chọn Start -3 End 3 Step 0.5 Máy cho ra một bảng có các giá trị của f X trong đó giá trị lớn nhất của   f X là 20  

khi X   3

Câu 15 [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Chuyên Hà Tĩnh-2017] Cho hàm số

2 2

1

y

x



 , tập hợp nào sau đây là tập giá trị của hàm số?

A  2; 4 B  2;3 C 15;5

2

� �. D  3;4

Hướng dẫn giải Chọn A

Hàm số xác định trên �

2 2 2

1

x y

x





1 0

1

x y

x



�

� � � � Lập bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên tập giá trị y� 2; 4 .

Câu 16 [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Quảng Xương 1 lần 2-2017] Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 2

2 2 (x 1)

 Khi đó M m bằng:

3

2.

Hướng dẫn giải Chọn B

3

3 2

3

1

1 ( 1)

3

1 (1)

4

x x x

�      

�

 

và

3 2

2 2

(x 1)

x

M  m  n n M m 

Câu 17 [DS12.C1.3.BT.c] Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y f x( )  x 3trên đoạn

 1:1 là:

Hướng dẫn giải Chọn B

x khix

khix

khix khix

�



�

    ��  �  �� 



�

Hàm số không có đạo hàm tạix 0

 1 4

f   , f 1  4; f 0  3

 1;1 

min ( )f x f(0) 3

 1;1 

max ( )f x f(1) 4

Câu 18 [DS12.C1.3.BT.c] [THPT Quảng Xương 1 lần 2-2017] Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3 2

2 2 (x 1)

 Khi đó M m bằng:

3

2.

Hướng dẫn giải Chọn B

3

3 2

3

1

1 ( 1)

3

1 (1)

4

x x x

�      

�

 

và

3 2

2 2

(x 1)

x

M  m  n n M m 

Câu 19 [DS12.C1.3.BT.c] [THPT chuyên Lê Thánh Tông-2017] Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

y x x Tìm M

A 3

4

4

2

M 

Hướng dẫn giải Chọn A

Tập xác định: D � � 3; 3��.

   

2

2

3

x

x



 =

2 2 2

3 3

x

  

2

y� � x   x

1 3 2

x x

 

�

�

�

� 

�

.

y � �� �

Vậy, 3

4

M  .

Câu 20 [DS12.C1.3.BT.d] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018) Cho hai số thực

x, y thỏa mãn: 2y37y2x 1 x 3 1 x 3 2 y21 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y

Lời giải Chọn B

2y 7y2x 1 x 3 1 x 3 2y 1

2 y 3y 3y   1 y 1 2 1x 1 x 3 1 x 2 1x

2 y1   y 1 2 1x  1x 1

Xét hàm số f t  2t3t trên 0; � .

Ta có: f t�  6t210 với  �t 0� f t  luôn đồng biến trên 0; �.

Vậy  1 � y 1 1x � y 1 1x

P x  y x   x

Xét hàm số g x    2 x 2 1x trên �;1

1

g x

x



1

x x

 



 g x�  0�x0.

Bảng biến thiên g x  :

Từ bảng biến thiên của hàm số g x  suy ra giá trị lớn nhất của P là:

 ;1  

maxg x 4