Chuen de he thuc vi et (hot)

Biết vận dụng hệ thức Viét để: + Tính giá trị biểu thức giữa 2 nghiệm.. + Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc và tham số + Lập một phơng trình bậc 2 khi biết hai n

Chuyên đề

hệ thức Viét và ứng dụng

A Mục tiêu:

- Học sinh nắm chắc hệ thức Viét

Biết vận dụng hệ thức Viét để:

+ Tính giá trị biểu thức giữa 2 nghiệm

+ Xét dấu các nghiệm

+ Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc và tham số + Lập một phơng trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó

B Phần chuẩn bị

- Giáo viên: Giáo án và các tài liệu tham khảo nh:

+ Toán nâng cao và các chuyên đề 9

+ Toán nâng cao và phát triển 9

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9

+ SGK, SBT, các dạng toán 9

- Học sinh: Ôn lại hệ thức Viét

+ Các tài liệu tham khảo

C Nội dung

I Lý thuyết:

1 Hệ thức Viét: Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của phơng trình

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì S = x1 + x2 = - a

b

P = x1 x2 = a

c

2 ứng dụng:

* Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng

Muốn tìm 2 số biết tổng của chúng bằng s, tích của chúng bằng p, ta chỉ cần giải phơng trình

x2 - sx + p = 0 Nếu s2≥ 4p thì phơng trình có 2 nghiệm, đó là 2 số cần tìm

Nếu s2 < 4p thì phơng trình vô nghiệm, không tồn tại 2 số mà tổng bằng s tích bằng p

* Xét dấu các nghiệp của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Điều kiện để phơng trình (1)

- Có 2 nghiệm trái dấu là p < 0

- Có 2 nghiệm cùng dấu là: ∆≥ 0 và p > 0

- Có 2 nghiệm cùng dơng là: ∆≥ 0; p > 0; s > 0

- Có 2 nghiệm cùng âm là: ∆≥ 0; p > 0; s < 0

II Ví dụ minh hoạ:

1 Dạng 1: Tính trí trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

* Phơng pháp giải:

Vận dụng các phép biến đổi, để đa biểu thức cần tính giá trị về một biểu thức bằng nó nhng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm

a Ví dụ 1: Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0; c ≠ 0) Cho biết x1, x2 là

2 nghiệm Tính theo a, b, c giá trị của các biểu thức sau:

2

2

1 x

2

3

1 x

x +

+ (x1 - x2)2 +) x1 - x2 + 2

2

2

1 x

x −

* Giải:

2 2 1 2 2 2

1

2 2

2 2

) (

a

ac b a

c a

b a

c a

b x

x x

x x











 −

=

− +

= +

2 1

3 2

2 2 1 2

2 1

3 1

3 2

3

= ( )3 3 1 2( 1 2).

2

1 x x x x x

3

2 3 3 3

3 3

3

a

b abc a

bc a

b a

b a

c a

b − − =− + = −











 −

2 2

2 2

4

4 1 2

1 2

1

a

ac b a

c a

b x

x x

x x











 −

=

−

−

=

−

+) x1 - x2 = ± (x1 −x2)2 =±

a

ac b a

ac

b − =± 2 − 2

2 4

2 Dạng 2: Xác định dấu các nghiệm.

Phơng pháp giải: Vận dụng điều kiện về dấu các nghiệp của phơng trình ax2 + bx + c = 0

Ví dụ: Cho phơng trình với tham số m

mx2 - 2 (m + 1) x + (m - a) = 0 (1)

a Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b Tìm hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

* Giải:

a +) m = 0 phơng trình (1) có dạng - 2x - 4 = 0, có nghiệm x = - 2

+) m ≠ 0 thì phơng trình (1) là phơng trình bậc 2

∆’ = (m + 1)2 - m (m - 4) = 6m + 1 Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0, tức là m ≥ −61

KL: Với m ≥ −61 thì (1) có nghiệm

b Theo hệ thức Viét ta có s =

m

m p m

; ) 1 (

2 + = −

ĐK để (1) có 2 nghiệm trái dấu là:

P < 0 ⇔ −4< 0 ⇔ 0 <m< 4

m m

Khi đó, do 0 < m < 4 nên s > 0, do đó nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

3 Dang 3: Tìm hệ thức liên hệ 2 nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ

thuộc vào tham số

* Giải:

+ Bớc 1: Theo thớc Viét viết các hệ thức của s và p theo tham số

+ Bớc 2: Dùng quy tắc cộng hoặc quy tắc thế để thử tham số

+ Ví dụ: Cho phơng trình

(k - 1 ) x2 - 2kx + k - 4 = 0 Gọi x1 x2 là các nghiệm của phơng trình, lập 1 hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc và k

* Giải

- Để phơng trình đã có nghiệm x1 x2 thì:

k ≠ 1 k ≠ 1 k ≠ 1 k ≠ 1

∆’ ≥ 0 ⇔ k2 - (k - 1) (h - 4) ≥ 0 ⇔ sk - 4 ≥ 0 ⇔ k ≥ 54

- Theo hệ thức Viét ta có:

x1 + x2 =

1

2

−

k

k

(1)

x1 + x2 =

1

4

−

−

k

k

(2)

Rút k từ (1) ta có k = 2

2 1

2 1

− +

+

x x

x x

Rút k từ (2) ta có k = 41

2 1

2 1

− +

− +

x x

x x

2 1

2 1

− +

+

x x

x x

2 1

2 1

− +

− +

x x

x x

Nay (x1 + x2) (x1x2 - 1) = (x1x2 - 4) (x1 + x2 - 2) Suy ra 3 (x1 + x2) + 2 x1x2 - 8 = 0

4 Dạng 4: Lập phơng trình bậc hai khi biết các nghiệm

* Phơng pháp giải: Để lập 1 phơng trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm của nó là

x1, x2 ta làm theo 2 bớc

Bớc 1: Tính s = x1 + x2; p = x1 x2

+) Nếu s2≥ 4p thì sẽ lập đợc 1 phơng trình bậc ≥ có nghiệm là x1, x2;

+) Nếu s2≤ 4p thì không lập 1 phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là x1 + x2

Bớc 2: Phơng trình cần lập là:

x2 - 5x + p = 0

Ví dụ: Cho phơng trình

x2 - 5x 1 = 0 Nghiệm giải phơng trình (1), hãy lập 1 phơng trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm của phơng trình (1)

* Giải:

Ta thấy phơng trình (1) có nghiệm

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình đã chọn

Ta có: x1 + x2 = - 5; x1 x2 = - 1 Gọi y1, y2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta đợc

y1 + y2 = 4 ;

2

4

1 x

x + y1 y2 = 4 ;

2

4

1 x

x +

Ta có:

27 2 25 2

) ( 1 2 2 1 2

2 2

2

1 +x = x +x − x x = + =

x

Do đó: y1 + y2 = ( ) 2 729 2 272

2

2 1 2 2 2

2 1

4 2

4

1 +x = x +x −x +x = − =

x

y1 + y2 = (x1 x2)4 = (-1)4 = 1 Phơng trình phải lập có tổng các nghiệm bằng 272 và tích cac snghiệm bằng

1 nên có dạng

y2 - 72 + y + 1 = 0

III Bài tâp vận dụng:

Bài 1: Cho phơng trình 2x2 - 3x + 1 = 0

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình, không giải phơng trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = x11 +x12 B =

2 2

1 1

1

1

x

x x

x − +

−

2

2

1 x

1

2 2

1

+

+ + x

x x

x

Bài 2: Cho phơng trình x2 + (2m - 1) x - m = 0

a CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để

2 2

2

1 x 6 x x

x + − có giá trị nhỏ nhất

Bài 3: cho phơng trình x2 - mx + m - 1 = a

a CMR phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phơng trình Tìm gia stri nhỏ nhất và lớn nhất của phơng trình

P = 2 2( 3 1)

2 1

2 2

2 1

2 1

+ +

+

+

x x x

x

x x

Bài 4: Xác định tham số m sao cho phơng trình

a 2x2 - 3 (m + 1x) + m2 - m - 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu

b mx2 - 2 (m + 2) x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu

c 3m x2 + 2 (2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm

d (m - 1) x2 + 2x + m = 0 có ít nhất 1 nghiệm không âm

Bài 5 Chi biết phơng trình x2 - (m + 2) x + (2m - 1) = 0 có các nghiệm x1, x2

độc lập đối với m

Bài 6: Cho phơng trình x2 + (4m + 1) x + 2 (m - 4) = 0

a Tìm m để biểu thức A = (x1 - x2)2 có giá trị nhỏ nhất

b Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m

Bài 7: Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm bằng

a 3 và 2 3 b 2 - 3 và 2 + 3

Bài 8: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình

3x2 + 5x - 6 = 0 Không giải phơng trình, hãy lập phơng trình bậc hai có các nghiệm

y1 = x1 +

2

1

x ; y2 = x2 +

1

1

x

Bài 9: Cho phơng trình bậc hai: x2 - 2x - m2 = 0 có các nghiệm x1, x2 lập

ph-ơng trình bậc hai có các nghiệm y1, y2 sao cho

a) y1 = x1 - 3 y2 = x2 - 3 b) y1 = 2x1 - 1 y2 = 2x2 - 1

Bài 10: Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn

x1 - x2 = 2

26 3 2

3

1 −x =

x