AB và AC đối xứng nhau qua đường phân giác trong góc A nên nếu gọi C’ là điểm đối xứng của C qua.
Trang 1ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
I 1 1) TXĐ: ¡
2) Sự biến thiên a) Giới hạn của hàm số tại vô cực
xlim→−∞y = +∞; limx→+∞y= −∞.
b) Đạo hàm
y’ = - 3x2 + 6x; y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
c) Bảng biến thiên
x −∞ 0 2 +∞
y’ 0 + 0 -y
d) Kết luận về tính đơn điệu
và cực trị
khoảng
(−∞;0);(2;+∞); hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 0; hàm số đạt
cực đại tại x=2,y CD=4;
3) Đồ thị a) Điểm uốn: y"= − +6x 6, '' 0y = ⇔ =x 1 y” đổi dấu khi x đi qua 1
nên đồ thị hàm số nhận điểm U(1;2 ) làm điểm uốn
b) Đồ thị hàm số đi qua các điểm ( 1;4),(0;0),(1;2),(2;4),(3;0)−
0,25
0,25
0,25
0,25
I 2 M N, ∈( )C ⇒M a a( ;− +3 3 ), ( ;a2 N b b− +3 3 )b2
,
M N Đối xứng qua I 3 2 3 2
3
2 2
6 2
a b
+
⇔ − + + − +
3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 12
a b
+ =
⇔ − + − + + + − = −
0,25
0,25 0,25
0
4 +∞
−∞
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
Trang 2ab= −
4, 1
1, 4
= = −
⇔ = − = Vậy M(4; 16), ( 1;4)− N −
0,25
II 1 Pt ⇔(cos 2x+cos4 )cos 2x x−(cos 2x−cos 4 )sin 2x x=1
cos4 (cos2x x sin 2 ) sin 2 (cos 2x x x sin 2 ) 0x
tan 2 1 cos 2 sin 2 0
cos 4 cos 2 cos 4 sin 2 0
2
x
= −
x= − +π kπ x= π +kπ x= − +π kπ
0,25 0,25 0,25
0,25
II 2
Hệ ( 1) 2 2 2
+ =
+ + + + + + =
Đặt z x= +1 ta được
2
(1)⇔ (z y+ ) + = − +7 7 (z y)⇔ + =z y 3
+ = = = = =
0,25
0,25 0,25
0,25
0
sin cos cos 1 sin
x x
π
=
+
Đặt 1 sin2 sin cos2
1 sin
x x
x
6 (0) 1,
4 2
t = t π =
÷
6 2
2 1
1 2
t
=
−
∫
6 6
2 2
1
1
ln
t dt
+
∫
1 2 3 ln
2 2 1
+
=
+
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3K N
D
C
A
S
H
Gọi H là hình chiếu của S trên AC ⇒ SH ⊥ AC, (SAC) ⊥ (ABCD)
⇒ SH ⊥ (ABCD) SA2 + SC2 = AC2 ⇒ ∆SAC vuông tại S ⇒
14 4
a
SH = Gọi K là hình chiếu của N trên AC thì NK ⊥ (ABCD)
a
NK = SH =
SC cắt (MND) tại N là trung điểm của SC suy ra
1 3
3
2 2
a a
0,25
0,25
0,25 0,25
V Pt ⇔(2x−1)2 +(x2 −2x+ =2) m x(2 −1) x2 −2x+2 (1)
TXĐ: ¡ Dễ thấy 1
2
x = không thỏa mãn pt
Chia hai vế cho (2x−1) x2 −2x+2 ta được
2 2
2 1
2 2
m x
−
− + Đặt 22 1
2 2
x t
−
=
3
x
−
0,25
0,25
Trang 4PTTT t 1 m
t
+ = Xét f t( ) t 1
t
= + , f t'( ) 1 12 0 t 1
t
= − = ⇔ = ± BBT của ( )f t
Từ hai BBT suy ra pt (1) có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi
0,25
0,25
'
t + 0 -
t 5
-2
t −∞ -2 -1 0 1 2 5 +∞
' ( )
f t + 0 - || - 0 +
( )
f t
−∞
-2 5
2
−
2
5 2
−∞
6 5
Trang 55 5 6
; 2 2;
m∈ − − ∪ ÷ ∪
VI.a 1 S =AB2 =20⇒ AB=2 5 B AB∈ ⇒B(7 2 ; )− t t
2 5 (10 2 ) ( 5) 20 ( 5) 4
AB= ⇔ − t + −t = ⇔ −t =
7 ( 7;7)
3 (1;3)
= ⇒ −
⇔ = ⇒
Do B có hoành độ dương nên (1;3)B
Đt BC có phương trình 2x y− + = ⇒1 0 C(3;7)
( 1;9)
AD BC= ⇒D −
uuur uuur
Vậy ( 3;5), (1;3), (3;7), ( 1;9)A − B C D −
0,25
0,25 0,25
0,25 VI.a 2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G(3 ; 2 ; -2)
CM được MA2 +MA2 +MC2 =3MG2 +GA2 +GB2 +GC2
MA +MA +MC nhỏ nhất MG nhỏ nhất Điều này xảy ra khi và2
chỉ khi M là hình chiếu của G trên mp(P)
Đt ∆ đi qua G, vuông góc (P) có ptts là
3 , 2 2 , 2
x= +t y= + t z= − −t
∆ cắt (P) tại I ⇒ I(1 ; -2 ; 0)
MA +MA +MC nhỏ nhất ⇔M ≡I Vậy M(1; 2;0)−
0,25 0,25 0,25
0,25 VII.a GS z a bi= + ⇒w z a1 = −2b+(2a b i+ ) là số thực
2a b 0 b 2a
⇔ + = ⇔ = − (1)
w
z = ⇔ = ⇔ + = (2) Thế (1) vào (2) ta được 2 2 5 2 5
4 25
= ⇒ = − + = ⇔
= − ⇒ =
Vậy z= ±( 5 2 5− i) Pt bậc hai có 2 nghiệm trên là
2 ( 5 2 5 )2 2 15 20 0
z = − i ⇔ + +z i=
0,25
0,25 0,25
0,25 VI.b 1 Tìm được tọa độ A(9 ; -2) AB và AC đối xứng nhau qua đường
phân giác trong góc A nên nếu gọi C’ là điểm đối xứng của C qua
Trang 6Đt AB đi qua C’ và có vtcp u C Ar uuuur= ' =(7; 1)− có ptts là
2 7 1
= +
= − −
B AB∈ ⇒B(2 7 ; 1+ t − −t) Gọi M là trung điểm của
BC thì 3 7 ;1
2 2
t t
M + −
và M ∈4x+13y− =10 0 nên 7
4 3 13 1 10 0 2 ( 12;1)
M ∈ + + − − = ⇔ = − ⇒ −t B
0,25
0,25
VI.b 2
∆ cã ptts
3
1 2
2 2
= +
= − −
= +
M∈∆ ⇒M(3 + − −t; 1 2 ; 2 2 )t + t
(3 ) (2 2 ) (2 2 ) ( 2 2 ) (4 2 )
MA MB+ = +t + − t + + t + t + − − t + + t
9t 6 17t 9t 24t 20 ( 1 3 )t 4 (3t 4) 2
XÐt ur( 1 3 ; 4), (3 − − t v tr + 4; 2) ⇒ + =u vr r (3;6) Tõ b®t ur + ≥ +vr u vr r suy ra
( 1 3 ) − − t + 4 + (3t+ 4) + 2 ≥ 3 + 6 = 3 5
§¼ng thøc x¶y ra ⇔ u vr r ,
cïng híng ⇔ − − = 1 3t 2(3t+ ⇔ = − 4) t 1 VËy MA MB+ nhá nhÊt ⇔ M(2;1;0)
0,25
0,25 0,25
0,25
(1 + 3 )i =C +C 3i +C 3i +C 3i + + C 3i
2010 3 2010 3 2010 3 2010 3 2010 3 2010
( 1 3 2 5 3 7 1004 2009)
3 C 3C 3 C 3 C 3 C i
Mặt khác
2010
Suy ra 0 2 2 4 3 6 1004 2008 1005 2010 2010
2010 3 2010 3 2010 3 2010 3 2010 3 2010 2
0,25 0,25 0,25 0,25
