Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt; 3.. Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng d và parabol P.. Qua B k
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Năm học 2009-2010 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm)
1 Rút gọn các biểu thức sau: a) 3 13 6
2 3 +4 3+ 3
b) x y y x x y
− với x > 0 ; y > 0 ; x≠y
2 Giải phương trình: x 4 3
x 2
Bài 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình: (m 1 x y 2)
mx y m 1
+ = +
(m là tham số)
1 Giải hệ phương trình khi m 2= ;
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả mãn: 2 x + y≤3
Bài 3 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y=(k 1 x 4− ) + (k là tham số) và
parabol (P): y x= 2
1 Khi k= −2, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);
2 Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt;
3 Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm k sao cho:
y1+y2 =y y1 2
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K
1 Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;
2 Tính ·CHK ;
3 Chứng minh KH.KB = KC.KD;
4 Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N Chứng minh 12 1 2 1 2
AD =AM +AN
Bài 5 (0,5 điểm) Giải phương trình: 1 1 3 1 1
HẾT
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1: Giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Híng dÉn c©u khã
Bài 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình: (m 1 x y 2)
mx y m 1
(m là tham số)
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x ; y ) thoả mãn: 2 x + y≤3
(m 1 x y 2)
mx y m 1
+ = +
x m 1 2
mx y m 1
= + −
= −
Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
2
x m 1
= −
Khi đó: 2x + y = −m2 + 4m − 1 = 3 − (m − 2)2 ≤ 3 đúng ∀m
Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x + y ≤ 3
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K
4 Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N Chứng minh 12 1 2 12
AD =AM +AN
Cách 1:
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM,
đường thẳng này cắt đường thẳng DC tại P
Ta có: ·BAM DAP=· (cùng phụ ·MAD )
AB = AD (cạnh hình vuông ABCD)
ABM ADP 90= =
Nên ∆BAM = ∆DAP (g.c.g) ⇒ AM = AP
Trong ∆PAN có: ·PAN = 90o ; AD ⊥ PN
nên 12 12 12
AD = AP +AN (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒ 12 1 2 1 2
AD =AM +AN
Cách 2:
Trang 3Đặt AB = a; BM = x;
Ta có
−
−
a
a
Khi đo ta có
2
a
=
x AN
+
Mà a2 +x2 = AM2( Pitago ∆ABM)
Vậy 1 2 1 2 AM2 22 12
Hay 12 1 2 12
AD = AM +AN ( AD = AB =x)
Bài 5 (0,5 điểm)
C¸ch 1:* ĐK:
2
3
≥
x Chia cả 2 vế của ptrinh cho 3 ta có:
3
6 5
1 3 4
1 9
6
1 3
1
−
+
−
=
−
+
x x
x x
Đặt 3x=a; 6x− 9=b; 4x− 3=c; 5x− 6 =d ( a, b, c, d >0)
d c
b
a
1 1
1
⇒
cd
d c ab
b
a+ = +
cd
d c ab
b
a+ = + = ⇒a+b=kab ; c+d=kcd
Mặt khác : a2 + b2 = c2 + d2 ( =9x-9) ⇔(a+b)2 − 2ab=(c+d)2 − 2cd ⇔ k2 (ab) 2 − 2ab=k2 (cd) 2 − 2cd
⇔ k2 (ab) 2 −k2 (cd) 2 − 2 (ab−cd) = 0 ⇔k2 (ab−cd)(ab+cd) − 2 (ab−cd) = 0
[ ( ) 2] 0
)
) ( )
(
2 2
2
2 2
2 2
cd
cd ab
ab cd
d c ab
b a cd cd
d c ab ab
b a cd k ab k
⇒k2 (ab+cd) − 2 ≥ 6
Suy ra: ab−cd = 0 ⇔ab=cd ⇒ 3x 6x− 9 = 4x− 3 5x− 6 ⇔ 3x( 6x− 9 ) = ( 4x− 3 )( 5x− 6 )
3 0
3 0
) 3 ( 0 9
2
3
≥ )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3
x a
kh©m
P
K
H
N
D
B
O
M