Nếu thấy các kết quả của các biểu thức ban đầu và sau khi đã rút gọn khác nhau thì chắc chắn việc rút gọn là sai, do đó cần xem xét lại4. Khi rút gọn xong cần kết luận và kèm theo cả đkx[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN VÀ BT PHỤ Bài 1 (2016)
8
A
x
9 3
B
x x
với x 0; x 9 1) Tính giá trị của A khi x 25
3
x B
x
3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên
Giải:
Ta thấy x 25 thoả mãn điều kiện x 0; x 9
Thay x 25 vào A ta được: 7 7 7
5 8 13
25 8
Vậy khi x 25 thì 7
13
A
2)
3
B
x
3
x
x
ĐPCM
3) ĐK: x 0; x 9 (*), ta có: . 7 . 8 7 0 , 0, 9
x
+) Vì x 0 nên 0 3 3 7 7
3 3
x
+) Do đó: 0 7, 0, 9
3
+) Vậy P P 1; 2
3
x
3
x
Vậy P nguyên 16; 1
4
Trang 2Bài 2 (2015)
2
x
P
x
4 2
Q
x x
với x 0, x 4 1) Tính giá trị của P khi x 9
2) Rút gọn Q
3) Tìm x để P
Q đạt GTNN
Giải:
Ta thấy x 9 thoả mãn điều kiện x 0, x 4
Thay x 9 vào P ta được: 9 3 12 12
3 2
9 2
Vậy khi x 9 thì P 12
2
2
2)
2
Q
x
x
2
x
x
ĐPCM
3) ĐK: x 0, x 4 (*)
2
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: x và 3
x, ta có:
2 3 ; 0, 4
Q
+) P 2 3
2
x
Vậy x 3 thì P
Q đạt GTNN
Trang 3Bài 3 (2015)
1) Tính giá trị của 1
1
x A x
khi x 9
P
a) CMR: P x 1
x
b) Tìm x sao cho: 2P 2 x 5
Giải:
1 0
x
x
+) Ta thấy khi x 9 thoả mãn điều kiện: x 0, x 1
+) Thay x 9vào A, ta được:
9 1 3 1 4 2
3 1 2
9 1
A
+) Vậy khi x 9 thì A 2
2
1 2
P
x x
Vậy P x 1 ; x 0, x 1
x
3) ĐK: x 0, x 1 (*)
1
1
2
1 1
*
0
2
2
2
2 0 1
4
x
x
x
t
x x x
mđ
x
Vậy 1
4
x thì 2P 2 x 5
Trang 4Bài 4 (2013)
Với x 0 , cho A 2 x ; B x 1 2 x 1
1) Tính giá trị của A khi x 64
2) Rút gọn B
3) Tìm x, để 3
2
A
B
Giải:
1) +) x 64 thoả mãn điều kiện: x 0
+) Thay x 64vào A, ta được:
2 64 2 8 5
64
+) Vậy khi x 64 thì 5
4
A
2)
1
1 1
B
x x
x
x x
1
x
x
1 3 2
x
x
(Nhân cả hai vế với 2 x 0)
2 4
x
x
Kết hợp với (*) ta được: 0 x 4 thì 3
2
A
B
Trang 5Bài 5 (2012)
2
x A x
Tính giá trị của A khi x 36
B
3) Tìm x nguyên để B A . 1 là số nguyên
Giải:
1) +) A xđ x 0
+) Ta thấy x 36 thoả mãn điều kiện x 0
+) Thay x 36 vào A ta được:
36 4 6 4 10 5
36 2
+) Vậy khi x 36 thì 5
4
A
4 44 4 4 . 162
B
x
2
16
x
x
3) +) ĐK: x 0, x 16
+) . 1 2. 4 1
B A
-) . 1 2
16
B A
x
x 16 Ư(2) 1 ; 2 (Vì khi x thì x 16 )
tất cả đều thoả mãn điều kiện: x 0, x 16
Vậy x14; 15; 17; 18 là các giá trị nguyên của x để B A . 1 nhận giá trị nguyên
Trang 6Bài 6 (2011)
25
A
x
với x 0, x 25 1) Rút gọn A
2) Tính giá trị của A khi x 9
3) Tìm x để 1
3
A
Giải:
5 105 55 5
A
2
2
5
5 5
x
x
x
5
x
x
2) +) Ta thấy x 9 thoả mãn điều kiện: x 0, x 25 +) Thay x 9 vào A, ta được:
9 5
A
Vậy khi x 9 thì 1
4
A 3) +) ĐK: x 0, x 25 (*)
x A
x
(Nhân cả 2 vế với 3 x 5 0)
10 100
x x x
Kết hợp điều kiện (*), ta có: 0 100
25
x x
3
A
Trang 7Bài 7:
1
M
x
x
với x 0, x 1 1) Tính giá trị của N khi x = 25
2) Rút gọn S = M.N
3) Tìm x để S 1
Giải:
1) +) Ta thấy x 25 thoả mãn đk: x 0, x 1
2) +)
2 2 2 2
1
x M
x
2
2
2
2
x
+)
S M N
x
x 12 x 1 x21
1
x
3) +) ĐK: x 0, x 1 (*)
1
S
x
2 1 0 1
1
1 0 1
x x x x x
Vì: x 1 1 0, x 0 nên: 1 0 1 0 1
1
x
+) Kết hợp điều kiện (*), ta được: 0 x 1 thì S 1
Trang 8Bài 8:
A
1
x B x
với x 0, x 1 1) Tính giá trị của B khi x 36
2) Rút gọn A
3) Tìm x để S = A.B đạt giá trị lớn nhất
Giải:
1) +) Ta thấy x 36 thoả mãn ĐK: x 0, x 1
+) Thay x 36 vào B ta được: 36 3 6 3 9
6 1 7
36 1
+) Vậy khi x 36thì 9
7
B
2) +)
A
2
1
1 2
x
x
x
2
x
x
3) +) ĐK: x 0, x 1
S A B
S
) x 0
thoả mãn đk: x 0, x 1
Vậy x 0 thì S = A.B đạt GTLN
Trang 9Bài 9: Cho 1 1 . 2
a A
3
A
3) Tìm a để 9
4
B A nhận giá trị nguyên
Giải:
0
0
4 2
a
a a
a a
22 22 . 2
A
a
2 2 2 2 2 2
a
2
A
a
với a 0, a 4 2) +) ĐK: a 0, a 4
A
a
(nhân cả hai vế với 3 a 2 0)
+) Kết hợp đk a 0, a 4 ta được: 0 a 16, a 4
3) +) ĐK: a 0, a 4
+)
Dễ thấy: B 0; a 0,a 4
a 0, a 4
4
a
Vậy: 0 B 2,25; a 0, a 4
Do đó: B B 1 ; 2
-) TH1:
a
-) TH2:
a
Vây: 1 25;
16 4
a
thì B
Trang 10Bài 10:Cho 1
5
x A x
1
B
x
1) Tính giá trị của A khi x 9 4 5
2) Rút gọn B
3) Tìm GTNN của S = A.B
Giải:
9 4 5 5 2.2 5 2 5 2
x (thoả mãn Đk: x 0, x 1) +) Thay 2
5 2
x hay x 5 2 5 2 vào A, ta được:
5 2 4
5 3
Vậy: A 5 2 khi x 9 4 5
1 31 1 4 61
B
2
1 1
x
x x
1
x
x
3) +) ĐK: x 0, x 1
S A B
5
5
5
5
5 5 5
x x x
)
Ta thấy x 0 hay x 0 thì 1
5
S Vậy GTNN của S là 1
5
Trang 11Bài 11:Tìm x để 3
1
x P
x
Giải:
* Cách 1:
Đk: x 0
TH1: x 0 P 0 nhận x 0
TH2: x 0
+) Dễ thấy: P 0, x 0
1
P
+) Vậy: 0 P 3
Do đó: P P 1; 2
1
x
x
4 )
1
x
x
KL: x 0; 4 thì P
*) Cách 2: Với x ta chia 2 trường hợp sau:
TH1: x là số chính phương x : 3 3 3
x P
Vì x 1 nên: P x 1 Ư(3)
1 1; 3
x
4 2
x x
(đều là các số chính phương)
TH2: x không là số chính phương
x
là số vô tỉ x 1 là số vô tỉ
3 1
x
là số vô tỉ 3
3
1
x
là số vô tỉ
P
Vậy: x để P là x 0; 4
Trang 12Bài 12:Tìm x 0, x 4 sao cho: 2 2 8
3 1
x
Giải:
ĐK: x 0, x 4 (*)
3 1
x
2
8
3
7
6
(không thoả mãn đk (*))
Vậy không có x thoả mãn yêu cầu bài toán
1
P
x
Giải:
ĐK: x 0
Đặt a x 1 1
+) x a 1
+) 2
P
a
2
2
2 1 3 3 2
a
+) Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương: a và 2
a , ta có:
2 2 2 2 2 2 2 5
+) Ta thấy khi a 2
a
tức là a 2 thì P 2 2 5
Vậy GTNN của P 2 2 5
Trang 13Bài 14:Cho A x 2
x
với x 0, x 4 Tìm x để: A A
Giải:
ĐK: x 0, x 4
A A A 0
2 0
x x
2 0
x
(vì: x 0, x 0, x 4)
4
x
Kết hợp đk: x 0, x 4, ta có: x 4 thì A A
Bài 15:Cho A x 3
x
với x 0, x 9 Tìm x để A 2A2
Giải:
ĐK: x 0, x 9
A 2A2 A1 2 A 0
1 2A 0
(vì: A x 3 0, x 0
x
x
2 6
0
6 0
x x x
6 0
x
(vì x 0)
6
x
(vô nghiệm)
Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu bài toán
CHÚ Ý
1 Trong những năm gần đây đề ra theo hướng tránh sự phụ thuộc của ý 2 và 3 vào ý
1 – Rút gọn Thậm chí như đề năm 2016 thì cả 3 ý hỏi là độc lập với nhau do đó học sinh không làm được ý này có thể vẫn sử dụng kết quả của ý đó để làm khác
2 Theo cấu tạo mới thì ý 1 là ý tính giá trị của biểu thức với biến số nhận giá trị cho
trước Đây là một ý dễ nhưng học sinh lại hay mất điểm trình bày ở bước 1 - đặt và ktđk và bước 3 _ kết luận Do đó học sinh cần lưu ý điều này
Trang 143 Ý 2 là ý rút gọn biểu thức Nếu đề cho như năm 2016 thì chúng ta đã biết trước kết
quả của việc rút gọn và do đó dễ làm đúng hơn Nhưng nếu đề chỉ yêu cầu rút gọn biểu thức mà chưa cho biết kết quả trước việc rút gọn chính xác rất quan trọng vì kết quả rút gọn thường được sử dụng cho ý sau nữa Do đó, học sinh cần thận trọng các khâu tính toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức, đặc biệt là việc xử lí các dấu trừ Khi ra kết quả rút gọn cuối cùng rồi thì cũng nên kiểm tra lại bằng cách cho biến số ít nhất là hai giá trị đặc biệt vào biểu thức (ban đầu và kết quả rút gọn) Nếu thấy các kết quả của các biểu thức ban đầu và sau khi đã rút gọn khác nhau thì chắc chắn việc rút gọn là sai, do đó cần xem xét lại Khi rút gọn xong cần kết luận và kèm theo cả đkxđ đã đặt ra hay đề bài cho từ ban đầu
4 Bài toán liên quan đến giá trị nguyên.
Nếu đề toán như đề năm 2016 hay Bài 9: “Tìm x sao cho P” Thì chúng ta giải bài này bằng phương pháp giới hạn miền giá trị của P, tức là tìm hai số m, M sao cho: m < P < M, sau đó xét các trường hợp của P bằng các số nguyên trong khoảng (m; M)
Nếu như đề toán hỏi: “Tìm x nguyên để P nguyên” thì ta vẫn có thể thực hiện theo cách trên nếu tình hình thực tế cho phép (như bài 11) Nhưng ta cũng có thể lập luận tận dụng giả thiết x để giải bài toán bằng cách khác (cách mà mọi người hay làm) như bài 11 Nếu sử dụng cách này thì nên nhớ rằng:
Với A , B thì A B
B Ư(A) Rất nhiều người lập luận kiểu như 3 1
x Ư(3) Đây là một lập luận sai
vì rằng chưa có gì đảm bảo x 1
5 Bài toán tìm x
Dạng toán này cần có 3 bước giải:
B1: Đặt đk của x
B2: Biến đổi giải ra x
B3: Kiểm tra đk đã đặt ra và KL
Trang 15Rất nhiều HS giải thiếu bước 1 và do đó thiếu bước 3 dẫn tới việc mất điểm
Dạng toán giải pt như bài 3, bài 12
B1: Đặt đk cho ẩn số x
B2: Biến đổi tương đương để giải x
+) Chuyển vế đổi dấu
+) Quy đồng, bỏ mẫu cả hai vế
Trong bước này chú ý kết quả phân tích đa thức bậc hai
thành nhân tử đó là:ax2 ީ ˁ ⾘ ޱ ީ t ީ ީ t ީ2
B3: Ktđk và kết luận
Dạng toán giải bpt như bài 4, 6, 7, 15.
b1: Đặt đk cho ẩn số x
b2: Biến đổi tương đương để giải x
+) Chuyển vế đổi dấu
+) Quy đồng, bỏ mẫu nếu mẫu chung luôn dương Còn mẫu chung không luôn dương, tức là đổi dấu thì không được bỏ mẫu Trong trường hợp này ta hay dùng lập luận:
0
A
B A và B cùng dấu
0
A
B A và B trái dấu
b3: Ktđk và kết luận
6 Bài toán GTLN, GTNN
Nếu bài toán yêu cầu tìm x để biểu thức đạt GTLN (hay GTNN) thì chúng ta phải giải đủ 3 bước như bài toán tìm x nói chung (Bài 2, 8)
b1: Đặt đk của x
b2: Đánh giá biểu thức để đưa ra GTLN (hay GTNN) nghi ngờ Sau đó giải x từ pt: Biểu thức bằng giá trị nghi ngờ đó (Như bài 2, 8)
b3: Ktđk và kết luận
Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN (hay GTNN) của biểu thức P(x) thì chúng ta thực hiện như bài 10, 13
b1: Đặt đk của x
Trang 16b2: Đánh giá P: Giả sử P M
b3: Chỉ ra x sao cho P(x) = M (khơng cần nĩi rõ cách tìm x) và kết luận GTLN của
P là M
7 Một số kiến thức hay dùng
a) BĐT Cơ – si: a b 2 ab a b , 0
dấu “=” xảy ra a b
0
ax bx c a x x x x trong đĩ x x1, 2 là 2 nghiệm của pt: ax bx c2 0
d)
0 0
0 0
0
0
vàB cùng d
B
A
A
A
B
A A vàB trái
ấu B
dấu B
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
3 3
x
với x 0, x 1 1) Tính A khi x 49
2) Rút gọn B
3) Tìm x để P A B cĩ giá trị nguyên
1
x
1) Tính P khi 1
4
x
2) Rút gọn Q
2) Tìm x để S P
Q
đạt GTNN
với x 0, x 2 1) Tính A khi x 36
2) Rút gọn B
3) Tìm x sao cho: 2B x 5
Trang 17Bài 4: Cho 3; 2 3 ; 0
1) Tính A khi 1
100
x
2) Rút gọn B
3) Tìm x để 3
2
A
B
với x 0, x 16 1) Tính giá trị của A khi x 9
2) Rút gọn B
3) Tìm x nguyên để 4B A 1 là số nguyên
A
với x 0, x 16 1) Rút gọn A
2) Tính giá trị của A khi x 9
3) Tìm x để 1
3
A
2
M
1
x N
x
với x 0, x 1, x 4 1) Tính N khi 1
9
x
2) Rút gọn S = M.N
3) Tìm x để S < -1
A
3
x B x
với x 0 1) Tính B khi x 25
2) Rút gọn A
3) Tìm x để S = A.B đạt GTLN