Gợi ý: Chứng minh H,K là trục đẳng phương của đường tròn đương kính AB,CD... M,N là trung điểm của AB,AC..[r]
Trang 1CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG ĐƯỜNG TRÒN
Bài 1:
M,(O) cố định , đường thẳng thay đổi qua M cắt (O) tại A,B Tiếp tuyến tại A,B của (O) cắt nhau ở S CMR:S chạy trên đường thẳng cố định
Gợi ý: S chạy trên trục đẳng phương của (O) và (OM)
Bài 2 :
Cho (O),(O’) ngoài nhau MM’,NN’,PP’,QQ’ lần lượt là các tiếp tuyến chung trong và ngoài của hai dường tròn ( M,N,P,Q thuộc (O); M’,N’,P’,Q’ thuộc (O’)) CMR: trung điẻm các đoạn thẳng MM’,NN’,PP’,QQ’, thẳng hàng
Gợi ý: Các điểm này cùng thuộc trục đẳng phương của hai (O),(O’)
Bài 3:
Tứ giác ABCD nội tiếp (O) , AB cắt DC tại F,AC cắt BD tại
E H,K,I,J lần lượt là trực tâm của các tam giác ADE, BCE, ADF,BCF.CMR: H,K,F thẳng hàng và E,I,J thẳng hàng
Gợi ý: Chứng minh các điểm cùng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn
Bài 4:
Cho không cắt (O) M di chuyển trên , MA,MB là hai tiếp tuyến của (O) (A,B là các tiếp điểm) CMR:AB luôn đi qua một điểm cố định I
Gợi ý: Hạ OH vuông góc ,I thuộc ,hoặc vẽ tiếp tuyến HK,HL thì I là giao của OH với KL ngoài ra còn là tâm đẳng phương của (O),(HKOL),(MAOBH)
Bài 5 :
Cho (O) tiếp xúc trong và ngoài với (O1),(O2) tại H,K (O1), (O2) cắt nhau tại A,B CMR: HB HA KA KB
Gợi ý: Dùng tâm đẳng phương
Bài 6:
Trang 2Cho A,B cố định nằm ngoài (O) , một các tuyến qua A thay đổi cắt (O) tại hai điểm M,N BM,BN cắt (O) tại hai điểm M’,N’ CMR:
a) (BMN) luôn qua điểm cố định
b) (B’M’N’) luôn qua điểm cố định
c) M’N’ luôn qua điểm cố định
Gợi ý:
a Giao (BMN) và AB
b Giao (BM’N’) và AB
c Gọi K là giao của M’N’ và AB , chứng minh KN’BN nội tiếp dẫn đến K cố định
Bài 7:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) , E,F,K lần lượt là giao của AD,BC và AB,CD và AC,BD CMR:
a) PE/(O) +PF/(O)=EF2
b) PE/(O) +PK/(O)=EK2
c) PK/(O) +PF/(O)=KF2
d) O là trực tâm EFK
Gợi ý: a)Lấy giao của (FAD)và EF
b) Lấy giao của (ABK) và FK c) Lấy giao của (BCK) và EK d) EK vuông FO
EO2=EF2=KO2-KF2
Tương tự FK vuông EO
Bài 8
Cho ABC , E,F lần lượt thuộc cạnh AB,AC sao cho EF//BC,và EF qua H AH là đường cao của ABC CRM: AH là trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính BF,CE
Bài 9 :
Cho tứ giác ABCD có M,N là trung điểm của AB,CD và O là giao của AC, BD H,K là trực tâm AOD, BOC.CMR: HK vuông góc với MN
Gợi ý: Chứng minh H,K là trục đẳng phương của đường tròn đương kính AB,CD
Trang 3Bài 10 :
Cho ABC , trọng tâm G.CMR: PA/(GBC)=PB/(GCA)=PC/(GAB)
Gợi ý: Dùng vecto
Bài 11:
Cho ABC nhọn , AA’,BB’,CC’ là các đường cao của tam giác , H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC.B’C’ cắt BC tại
K CMR: HK vuông góc AM
Gợi ý: Ta có PA/(M)+PK/(M)=AK2
PA/(M)+PH/(M)=AH2
Bài 12:
Cho ABC , O, H là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm
ABC M,N là trung điểm của AB,AC BE,CF là các đường cao
ABC, MN giao EF tại K.CMR:HO vuông góc AK
Gợi ý: Chứng minh AK là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AO,AH
Bài 13 :
ABC nội tiếp (O) , (I) qua B,C cắt AB,AC tại K,L KL giao BC tại S, AS giao (O) tại M.CMR: OM vuông góc AS
Gợi ý: OM vuông AS
OA2-OS2=AM2-SM2
PA/(O) +R2 – R2 – PS/(O)=
Bài 14:
(O) , AB là dây cung, (O1),(O2) là hai đường tròn tiếp xúc với
AB và tiếp xúc trong (O) và cắt nhau tại hai điểm M,N.CMR: MN
đi qua trung điểm cung AB không chứa hai đường tròn trên của (O)
Bài 15:
cố định ,A,B,S cố định nằm ngoài ; (O) thay đổi qua A,B cắt tại C,D CMR: Tâm (SCD) luôn chạy trên một đường tròn cố định
Bài 15:
Trang 4ABC có các đường cao AD,BE,CF; H là trực tâm tam giác M,N là giao của DE và CF; DF và BE CMR: Đường thẳng qua A vuông góc với MN đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp BHC
Gơi ý: MN là trục đẳng phương của (BHC) và (DEF), chứng minh A thuộc đường nối tâm hai đường tròn