Chương I: Véc tơ 1 Một số khái niệm + Vectơ là một đoạn thẳng có hướng + Hai véc tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.. + Hai véc tơ được gọi là bằng nh
Trang 1ÔN TẬP HỌC KÌ I NĂM HỌC 2010 – 2011
PHẦN I: ĐẠI SỐ
A Lý Thuyết
1) Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
2) Tập xác định, sự biến thiên, tính chẵn lẻ của hàm số
3) Hàm số y = ax + b và y = ax2 + bx + c : Sự biến thiên và đồ thị của hàm số, xác định hàm số thỏa điều kiện cho trước
4) Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn, hệ PT bậc nhất 2 ẩn
CÁC DẠNG BÀI TẬP
B B
ài tập
CHƯƠNG I TẬP HỢP MỆNH ĐỀ Bài 1. Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; A \ B ; B \ A , biết rằng
a) A = (2, + ∞) ; B = [−1, 3]
b) A = (−∞, 4] ; B = (1, +∞)
c) A = {x ∈ R / −1 ≤ x ≤ 5}B = {x ∈ R / 2 < x ≤ 8}
Bài 2. Cho 2 khoảng A=(a;a+1) và B= (1;4)
a) Tìm a để A∪B là một khoảng
b) Tìm a để A B∩ = ∅
Bài 3. Cho A,B,C là các tập hợp chứng minh rằng: A∪(B C∩ ) (= A B∪ ) (∩ A C∪ )
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) 3
2
x y
x
= + b) y= x+1 c)
2 1
x y x
−
=
−
( 1) 3
x y
+
=
3 6
x y
x
−
=
−
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau
y= x + x b) 2
3
y x= + +x c) y=x4+2 x +7 d) 2
9
x y
x
=
−
Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y=3x−2 b) y= − +2x 5 c) y= + + +x 1 x 2
Bài 7. Xác định a, b để đồ thị hàm số y=ax+b
a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3)
b) Đi qua C(4, −3) và song song với đường thẳng 2 1
3
y= − x+ c) Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2
d) Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đường thẳng y = −21x + 5
Bài 8 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị ham số sau
a) y x= 2−4x+3 b) y = −x 2 + 2x − 3 c) y = x 2 + 2x Bài 9 Cho hàm số y mx = 2 + ( m − 1) x − 2 m + 1 ( m ∈ ¡ (1) )
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= −1
b) Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng y x= −1
c) Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số (1) khi m thay đổi
Bài 10. Xác định parabol y = ax2+bx+1 biết parabol đó:
a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(-2;11)
b) Có đỉnh I(1;0)
c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2
d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0
Bài 11. Tìm Parabol y = ax2 - 4x + c, biết rằng Parabol
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)
Trang 2b) Có đỉnh I(-2; -2)
c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1)
d) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0)
Bài 12. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 - 4x + 3
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số
b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng d : y = x - 1
Bài 13. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 + bx + c
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi b = 4, c = 3
b) Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1
Bài 14. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c (a≠0)
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a
Bài 15. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c (a≠0)
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(1;2) và có đỉnh S(2; 3)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a
Bài 16. Cho hàm số y= − −x2 2x+3
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2+2x− − − =3 m 1 0
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x2+2x m+ =0
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 17. Giải các phương trình sau
3) x x− =1 2 x−1 4) 3x2+5x− =7 3x+14
5) x+ =4 2 6) x−1(x2 − x − 6) = 0
+ =
2
7/
+ + =
2
x+4
x
Bài 18 Giải các phương trình sau
1
x x
x x 2) 1 + x 3
1
x 7
−
−
3) 2 1 2
x
x− − =x x x
Bài 19 Giải các phương trình sau
1) 2x+ = −1 x 3 2) | 2x − 2| = x 2 − 5x + 6
3) |x + 3| = 2x + 1 4) | x − 2| = 3x 2 − x − 2
Bài 20 Giải các phương trình sau:
1) x2+5x−10= x−3 2) x − x−5 = 4
3) x3+3x2−4x+ = −1 x 1 4) x2 + x+ =5 5
5) 32− = −x 1 x−1 6) 2 33 x− +2 3 6 5− x− =8 0
Bài 21. Giải và biện luận các phương trình sau
1) 2mx + 3 = m − x 2) (m − 1)(x + 2) + 1 = m2
3) (m2 + m)x = m2 − 1 4) (m2 – 4)x = m + 2
Bài 22 Giải các phương trình sau
a 2 3 5
x y
+ = −
b
x y
x y
+ =
− =
c
41
11
d)
1
x y z
x y x
+ − =
− + = −
+ + =
Bài 23 Giải và biện luận theo m phương trình :
Trang 3a) 2 4 2
1
mx m
x− + =
3 5
m
m
x − = +
− c) mx+ =1 2x m− −3. d)
2 2
2 (m−1)x +7x− =12 0
Bài 24. Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + m2 − 3m = 0.Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm
c) Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó
d) Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại
e) Có hai nghiệm thoả 3(x1+x2)=- 4 x1 x2 f) Có hai nghiệm thoả x1=3x2
Bài 25 Giải hệ phương trình:
a) 2 2 25
+ =
b)
+ =
8
xy x y
+ + =
+ + + =
d) 2 2
4
13
x y
+ =
+ + =
PHẦN II: HÌNH HỌC A) LÝ THUYẾT:
I Chương I: Véc tơ
1) Một số khái niệm
+ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
+ Hai véc tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+ Ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi ABuuur và ACuuur cùng phương
+ Hai véc tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng
+ Hai véc tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài
+ Véc tơ – không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau
2) Tổng và hiệu của hai véc tơ:
+ Cho 3 điểm A,B,C tùy ý
Ta có: Quy tắc ba điểm: ABuuur + BCuuur = ACuuur Quy tắc trừ : ABuuur – ACuuur =CBuuur
+Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì ABuuur + ADuuur = ACuuur
+ I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ IAuur uur ur+ IB =O
+ G là trọng tâm của ∆ ABC ⇔ GA GBuuur uuur uuur+ + GC =Our
3) Tính chất của véc tơ với một số:
+ Trung điểm của đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB
2
⇒ uuur + uuur = uuur, ∀ M
+ G là trọng tâm của ∆ ABC ⇔ MAuuur + MBuuur + MCuuuur=3MGuuuur
+ Điều kiện để hai véc tơ cùng phương:
ar
và br (br ≠ 0) cùng phương ⇔ tồn tại một số k: ar = kbr
4) Hệ toạ độ:
+ Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của véc tơ trong mặt phẳng
Cho: A(xA ; yA), B(xB ; yB) Ta có: ABuuur = (xB - xA ; yB - yA)
+ Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng: Cho A(xA ; yA), B(xB ; yB) Khi đó toạ độ trung điểm I(xI ; yI) của đoạn thẳng AB là:
;
+ Toạ độ trọng tâm của tam giác: Cho A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC) Khi đó toạ độ trọng tâm G(xG ; yG) của tam giác ABC là:
;
Trang 4II Chương II: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng.
1) Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 0 đến 180 0 (xem lại sgk)
Chú ý: 1 sin2α +cos2α =1 với 00 ≤ ≤α 1800
2 1 tan2 12
cos
α
α
0 ≤ ≤α 180 ; 0
90
3 1 cot2 12
sin
α
α
0 < <α 180
4 α là góc nhọn thì GTLG của α đều dương α là góc tù thì chỉ có sinα dương còn các GTLG khác của α là âm
2) Tích vô hướng của hai véc tơ.
+ Định nghĩa: ar và br ≠ 0r, ta có: .a br r = a b cr r os(a, )r rb
+ Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: cho ar = (a1 ; a2), br = (b1 ; b2)
Khí đó : a br r
= a1b1 + a2b2
* Chú ý : ar
= (a1 ; a2), br = (b1 ; b2) khác 0r
ar ⊥ br ⇔ a1b1 + a2b2 = 0
+ Độ dài của véc tơ: Cho ar = (a1 ; a2) Khi đó: ar = a12 + a22
+ Góc giữa hai véc tơ: ar = (a1 ; a2), br = (b1 ; b2)
cos ( ,a br r
) = .
a b
a b
r r
r r = 1 1 2 2
1 2 1 2
+
+ Khoảng cách giữa hai điểm:
Cho A(xA ; yA), B(xB ; yB) Khi đó: AB = (x B−x A)2+(y B−y A)2
B) CÁC VÍ DỤ:
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 1), C(2 ; 5)
a) Tìm toạ độ các véc tơ ABuuur, BCuuur, CAuuur
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AC và toạ độ trọng tâm G của ∆ABC
c) Tìm toạ độ điểm D để tức giác ABCD là hình bình hành
Giải:
a) Ta có : uuurAB
= (-3 ; -2); BCuuur = (4 ; 4); CAuuur = (-1 ; -2) b) Giả sử I (xI ; yI) Ta có : xI = 3
A C
; yI = 4
2
A C
Vậy I (3
2 ; 4) + Giả sử G (xG ; yG) Ta có : xG = 1
A B C
; yG = 9
A B C
Vậy G (1
3 ; 3) c) Giả sử D (xD ; yD) Để tức giác ABCD là hình bình hành thì ABuuur = DCuuur
Ta có : ABuuur = (-3 ; -2) ; DCuuur = (2 – xD ; 5 - yD)
Khi đó : ABuuur = DCuuur ⇒ 2 3
D
D
x y
− = −
− = −
5 7
D
D
x y
=
=
Vậy D (5 ; 7)
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-1 ; 5), B(2 ; 3), C(5 ; 2)
a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm toạ độ của véc tơ rx=3uuurAB −2uuurAC
Giải:
a) Ta có : uuurAB
= (3 ; -2); ACuuur = (6 ; -3)
Trang 5Xét tỉ số 3
6 ≠
3 2
−
− ⇒ AB
uuur
không cùng phương với ACuuur
Vậy 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Ta có : xr = 3 ABuuur - 2 ACuuur= (3.3 - 2.6 ; 3(-2) - 2(-3)) = (-3 ; 0)
3) Cho ar = (1 ; -1), br = (2 ; 1) Hãy phân tích véc tơ cr= (4 ; -1) theo 2 véc tơ arvà br
Giải:
Giả sử cr = k ar + hbr = (k + 2h ; - k + h)
1
+ =
− + = −
2 1
k h
=
=
Vậy cr = 2 ar+ br
4) Cho góc x, với cosx = 1
2 Tính giá trị của biểu thức:
P = 3sin 2 x - cos 2 x
Giải:
Ta có : sin2x + cos2x = 1 ⇒ sin2x = 1 - cos2x Khi đó : P = 3(1 - cos2x) - cos2x = 3 - 4cos2x
Mà cosx = 1
2 ⇒ P = 3 - 4(1
2)
2 = 3 - 1 = 2
5) Cho ∆ đều ABC có cạnh bằng a Tính các tích vô hướng uuur uuurAB AC
, uuur uuurAC CB
Giải:
Ta có : uuur uuurAB AC
= uuur uuurAB AC
.cos(uuur uuurAB AC,
) = a a.cos 600 = 1
2a 2
uuur uuurAC CB
= a.a.cos 1200 = 1
2
− a2
6) Trên mặt phẳng Oxy, tính góc giữa hai véc tơ ar, và brtrong các trường hợp sau:
a) ar = (2 ; -3) , br = (6 ; 4) b) ar = (3 ; 2) , br = (5 ; -1)
C) BÀI TẬP:
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tính độ dài của các véc tơ ABuuur + BCuuur và ABuuur
-BC
uuur
Bài 2 Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S bất kỳ Chứng minh rằng
MPuuur+ NQuuur
+ RSuuur= MSuuur+ NPuuur+ RQuuur
Bài 3 Cho tứ giác MNPQ gọi G 1 là trọng tâm tam giác MNP, trên G 1 Q lấy điểm G sao cho 4G G G Quuuur uuuur1 = 1 Chứng minh:
a) GM +GN+GP+GQ=0.
b) O là điểm tùy ý, chứng minh rằng OM ON OP OQuuuur uuur uuur uuur+ + + =4OGuuur
c) Gọi G 2 ; G 3 ; G 4 lần lượt là trọng tâm của tam giácNPQ, PQM, QMN Chứng minh 4 đường thẳng QG 1 ;MG 2 ; NG 3 ; PG 4 đồng qui tại G.
Bài 4. Chứng minh rằng ABuuur =CDuuur ⇔ trung điểm của đoạn thẳng AD và BC trùng nhau
Bài 5. Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm K sao cho 3 KAuuur + 2 KBuuur = Our
Bài 6. Cho Uur = 1
2i
r
- 5 jr
, Vur = m ir - 4 jr
Tìm m để Uur và Vur cùng phương
Bài 7. Cho ar = (3 ; 2) , br = (4 ; -5) , cr = (-6 ; 1)
a) Tìm toạ độ của véc tơ Uur = 3 ar + 2br - 4 cr
b) Tìm toạ độ véc tơ xr + ar = br - cr
c) Tìm các số k và h sao cho cr = k ar + hbr
Bài 8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-5 ; -2) , B(-5 ; 3) , C(3 ; 3)
Trang 6a) Tìm toạ độ các véc tơ ABuuur , BCuuur , CAuuur
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng BC và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC c) Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 9 Cho 3 điểm A(-1 ; 5) , B(5 ; 5) , C(-1 ; 11)
a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm toạ độ véc tơ Uur = 2 ABuuur - ACuuur
Bài 10.Cho ar = (3 ; -4) , br=(-1 ; 2) Phân tích véc tơ cr = (1 ; 3) theo hai véc tơ ar và br
Bài 11.Cho góc x (00 ≤ ≤x 1800), với sinx=1
2 Tính giá trị của biểu thức P=3 sin
2x+cos2x
Bài 12 Tính giá trị của các biểu thức:
a) A = (2 sin300 + cos1350 - 3 tag1500).(cos1800 - cotg600)
b) B = sinx + cosx khi x = 00, 450, 600
c) C = 2 sinx + cos2x khi x = 600, 450, 300
Bài 13.Trên mặt phẳng Oxy, tính góc giữa hai véc tơ ar và br trong các trường hợp sau
a) ar = (3 ; 2) , br = (5 ; -1) b) ar = (-2 ; 2 3 ) , br
= (3 ; 3 )
Bài 14 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 4 điểm A(7 ; -3) , B(8 ; 4) , C(1 ; 5) , D(0 ; -2) Chứng
minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông
Bài 15.Trong mặt phẳng toạ độ, cho Uur = 1
2 i
r
- 5 jr
và Vur = k ir - 4 jr
a) Tìm các giá trị của k để Uur ⊥ Vur b) Tìm các giá trị của k để Uur
= Vur
Bài 16.Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 300 Tính giá trị của các biểu thức sau
a) cos( , ) sin( , ) tan( , )
2
AC CB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b) sin(uuur uuurAB AC, )+cos(uuur uuurBC BA, )+cos(CA BAuuur uuur, )
Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(3, -1); B( 2, 4 ); C( 5,3).
a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
c) Tìm tọa độ của M sao cho C là trọng tâm của tam giác ABM
Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(-3, 4); B(1, 2)
a) Tính cosin của góc OAB.
b) Tìm điểm M trên Ox sao cho AM = BM
c) Tìm điểm C sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 19 Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) , C(9;-5)
a) Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm BD
c) Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng
Bài 20 Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(4; 3), B(2;7), C(-3;-8).
a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành, tìm tọa độ tâm của hình bình hành ABCD.
b) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó.
Bài 21 Trong hệ tọa độ Oxy cho A(- 4;1), B(2;4), C(2;- 2)
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, tính chu vi tam giác ABC
b) Tính cosABC?
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: 2MAuuur+3MB MCuuur uuuur r− =0
Bài 22 Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a
a) Dựng vectơ 3OAuuur+4OBuuur b) Tính độ dài vectơ vừa mới dựng
