Chương 3: Đặc tính động học của hệ thống

Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị.. Hệ thống u(t).[r]

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

(CT377)

Chương 3: Đặc tính động học của hệ thống

3.1 Khái niệm đặc tính động học

3.2 Các khâu động học điển hình

3.3 Đặc tính động học của hệ thống tự động

Đặc tính động học của hệ thống mô tả sự thay đổi

tín hiệu ở đầu ra của hệ thống theo thời gian khi

có tác động ở đầu vào.

Tín hiệu vào thường được chọn là tín hiệu cơ bản

như hàm xung đơn vị , hàm nấc đơn vị hay hàm

điều hòa

Tùy theo tín hiệu vào mà đặc tính động học thu

được là đặc tính thời gian hay đặc tính tần số.

3.1 Khái niệm về đặc tính động học

Định nghĩa:

Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín

hiệu đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị hay hàm nấc đơn vị.

Hệ thống

u(t) U(s)

y(t) Y(s)

Đặc tính thời gian

Đáp ứng xung (Impluse Response) là đáp ứng của

hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vị

Đặc tính thời gian – Đáp ứng xung

Đáp ứng nấc (Step Response) là đáp ứng của hệ

thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (u(t)=1(t)).

)

1)

((

)

()

()()

(

s

s

U s

s

G s

U s G s

Đặc tính thời gian – Đáp ứng nấc

s s

G

s s

s s

s s

G t

5

4 5

1 )

5 (

5

4 5

1 )

5 (

1 )

( )

Hàm quá độ

Cách 1:

???

)5(

1)

()

s s

s

G t

25

4 25

4 5

1 25

4 5

1 5

4 5

1 )

( )

0

5 0

5 0

t

e t

e d

e d

g t

Tham khảo “Partial-Fraction Expansion”

Cách 2:

Đặc tính thời gian

Nhận xét: khi biết hàm trọng lượng g(t) hay hàm quá

độ h(t) thì suy ra được hàm truyền của hệ thống bằng công thức:

G( ) L ( )

 ( ))

Định nghĩa: Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa

tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình

sin

) 5 (

1 )

s s

Quan hệ giữa 2 cách biểu diễn G(jω):

Q G

- Biểu đồ Bode biên độ: biểu diễn mối quan hệ giữa logarith

của đáp ứng biên độ L(ω) theo tần số ω

) (

) ( lg

20 )

- Biểu đồ Bode pha: biểu diễn

mối quan hệ giữa đáp ứng

pha φ(ω) theo tần số ω

- Cả 2 đồ thị đều được vẽ trong

hệ trục tọa độ vuông góc với

trục hoành là ω chia theo

Biểu diễn G(jω) bằng biểu đồ Bode

 

 

 

- Biểu đồ Nyquyist hay

đường cong Nyquyist là

của véctơ G(jω) với biên

Biểu diễn G(jω) bằng biểu đồ Nyquist

Tần số cắt biên : là tần số mà tại đó biên độ của đặc tính tần số bằng 1 (hay bằng 0 dB).

hay Tần số cắt pha : là tần số mà tại đó pha của đặc tính tần số bằng - ߨ (hay bằng -1800)

) ( s  K K 

G

K j

G( ) 

0

0tan

L K

K

M()  2  02   ()  20 lg ()  20 lg

)(.)

()

()

Đặc tính thời gian

Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại)

Đặc tính tần số

Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại)

1 tan

) (        





 1 1 ( ) 20 lg ( ) 20 lg 1 20 lg( ) 0

U s G s

Y ( )  ( ) ( )  ( )

 ( )   1 1 ( ) )

s s

s G t

h  L -  L - 

Đặc tính thời gian:

Khâu tích phân lý tưởng

Đặc tính tần số:

Khâu tích phân lý tưởng

G( ) 

  0 1

tan )

(        



) ( )

( ).

( )

Đặc tính thời gian:

Khâu vi phân lý tưởng

Đặc tính tần số:

Khâu vi phân lý tưởng

)

( )

( ).

( )

U s G s

Y

1

1 )

( )

T Ts

s G t

t -

1 )

1 (

1 )

Ts s

t

t -

Đặc tính thời gian:

Khâu quán tính bậc nhất

1 1

1 )

)

(tan

lg(

20 )

( lg 20 )

(

1

1 1

1

1 )

(

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

L

T T

T T

1

) (







2 2

1

1 )

Đặc tính tần số:

Khâu quán tính bậc nhất

2 2

1

) (







2 2

1

1 )

( s Ts 

G

) ( ).

1 (

) ( ).

( )

(s G s U s Ts U s

) ( )

( )

( )

(t h t T t t

g      

) ( 1 ) (

) 1

( )

s

Ts t

Đặc tính thời gian:

Khâu vi phân bậc nhất (Khâu sớm pha bậc nhất)

) ( tan

P

Khâu vi phân bậc nhất (Khâu sớm pha bậc nhất)

Đặc tính tần số:

Khâu vi phân bậc nhất (Khâu sớm pha bậc nhất)

( 1

2

1 )

T

s G

2 2

2

2

).

( )

( ).

( )

(

n n

n

s s

s

U s

U s G s

2

1 )

T s

s

s

n n

s

t

t n

n n

1 2

)

2 2

2 2

1 )

Đặc tính thời gian:

Khâu dao động bậc hai

j G

1 1

1

2 tan

) (

)

( tan

Đặc tính tần số:

Khâu dao động bậc hai

G ( )  

Ts

e s U s

U s G s

Y( )  ( ) ( )  ( ). 

) (t 1 e t T

g  L Ts  

) (

1 )

s

e t

Đặc tính thời gian:

Khâu trì hoãn (Khâu trễ)

n n

m m

m m

a s

a s

a s

a

b s

b s

b s

b s

1 1 0

1 1

1 1 0

n n

m m

m m

a s

a s

a s

a

b s

b s

b s

b s s

s

G s

1 1 0

1 1

1 1 0

1 )

( )

(





Đặc tính thời gian

Nhận xét:

Nếu G(s) không có khâu tích phân, vi phân lý tưởng thì:

- Hàm trọng lượng g(t) suy giảm về 0

- Hàm quá độ h(t) có giá trị xác lập khác 0

3.3 Đặc tính động học của hệ thống tự động

0lim

)(.lim)

(

1

1 1 0

1

1 1 0

n n

m m

m m

s

b s b s

b s

b s s

G s

) ( lim )

(

1

1 1 0

1

1 1 0

n

n n

m m

m m

s

b a

s a s

a s

a

b s b s

b s

b s

s s

H s

h





(

1 1

1 1 0

1

1 1 0

n n

m m

m m

s

b s

a s

a s

a

b s b s

b s

b s s

G s

b s

b s

s s

H s

h

n

n n

m m

m m

s s

1

1 1 0

1

1 1 0

0 0

1 lim

) ( lim )

(





Đặc tính thời gian

Nhận xét:

Nếu G(s) có khâu vi phân lý tưởng (bm = 0) thì:

- Hàm quá độ h(t) suy giảm về 0

3.3 Đặc tính động học của hệ thống tự động

0

1 lim

) ( lim )

(

1

1 1 0

1

1 1 0

n n

m

m m

s

s b s

b s

b s

s s

H s

h





( lim )

0

(

1

1 1 0

1

1 1

n n

m m

m m

s

b s b s

b s

b s

s H

h





0 lim

) ( lim )

0

(

1

1 1 0

1

1 1

n n

m m

m m

s

b s b s

b s

b s

G

g





n n

m m

m m

a s

a s

a s

a

b s

b s

b s

b s

1 1

0

1 1

1 1

(

1

s G s







)(

)(

j G j

G M

) ( lg

20 )

( lg

20 )

( lg

20 )

(

1

1 1

i

l i i

l i

L L

M M

M L

(

) (

) (

arg )

( )

(

1

1 1

i

l i i

l

j G

Ví dụ về tính tổng các biểu đồ Bode của các khâu

cơ bản thành phần

Giả sử hàm truyền hệ thống có dạng

Với n là số nguyên,

- n > 0: hệ thống có khâu vi phân lý tưởng

- n < 0: hệ thống có khâu tích phân lý tưởng

là các khâu động học điển hình (sớm/trễ pha bậc 1) Các cực và zero là số thực âm, cách nhau đủ xa (10 lần trở lên)

G s  Ks  G s i  O2

Slide 50

O2 Applies with the form of Gi(s) = (Ts + 1) or G(s) = 1/(Ts+1)

Owner, 22/09/2014

Bước 2: Biểu đồ Bode gần đúng phải qua điểm A có tọa độ:

Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc

Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy đầu tiên

Chú ý: Nếu hệ không có khâu vi/tích phân lý tưởng, n = 0

 Vẽ đường thẳng nằm ngang đi qua điểm A đến tần số gãy

Bước 4: Tại tần số gãy (break frequency) , độ dốc của

đường tiệm cận được cộng thêm:

 ( -20 dB/dec × βi) nếu Gi(s) là khâu quán tính bậc 1

 ( +20 dB/dec × βi) nếu Gi(s) là khâu sớm pha bậc 1

 ( -40 dB/dec × βi) nếu Gi(s) là khâu dao động bậc 2

 ( +40 dB/dec × βi) nếu Gi(s) là khâu sớm pha bậc 2

Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp

Bước 5: Lặp lại bước 4 cho đến khi vẽ xong đường tiệm cận

tại tần số gãy cuối cùng.

Vẽ biểu đồ Bode biên độ của hệ có hàm truyền

Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác định tần số

0 (

) 1 1

0 (

100 )

s s

G

Vẽ biểu đồ Bode biên độ - Ví dụ

Vẽ biểu đồ Bode biên độ - Ví dụ 1

)

0 1

01

s

Vẽ biểu đồ Bode biên độ - Ví dụ 1

vẽ tới tần số gãy đầu tiên

100(0.1 1) ( )

Vẽ biểu đồ Bode biên độ - Ví dụ 1

độ dốc được cộng thêm 20 dB/dec do

là tần số gãy của khâu sớm pha bậc nhất

 vẽ tiếp đường nằm ngang đến

(0.1

(0.01 1

0 ( )

độ dốc được cộng thêm -20 dB/dec do

là tần số gãy của khâu quán tính bậc nhất

Vẽ biểu đồ Bode biên độ - Ví dụ 1

-1 0 1 2 3 lg

20

Theo hình vẽ thì tần số cắt của hệ thống là

100(0.1 1) ( )

-90 -60 -30

Frequency (rad/s): 10 Magnitude (dB): 23

System: sys Frequency (rad/s): 1 Magnitude (dB): 40

100( 10)( )

Vẽ biểu đồ Bode biên độ - Ví dụ 2

Vẽ biểu đồ Bode biên độ của hệ có hàm truyền

Giả sử hàm truyền hệ thống có dạng

- n > 0: hệ thống có khâu vi phân lý tưởng

- n < 0: hệ thống có khâu tích phân lý tưởng

Bước 1: Xác định tất cả các tần số gãy , và sắp xếp

theo thứ tự tăng dần

Bước 2: Biểu đồ Bode pha bắt đầu tại:

 90 o × n (<0) khi hệ thống có |n| khâu tích phân lý tưởng

 90 o × n (>0) khi hệ thống có |n| khâu vi phân lý tưởng

0 o khi hệ thống không có khâu tích phân vi phân lý tưởng

Bước 3: Biểu đồ Bode pha tiếp tục kéo dài đến tần số

0.1*ω i

Bước 4: Biểu đồ Bode pha được vẽ tiếp là đoạn thẳng nối

từ vị trí 0.1*ω i đến 10*ω i với giá trị pha cộng thêm:

- ( -90 o × βi) nếu Gi(s) là khâu quán tính bậc 1

- ( +90 o × βi) nếu Gi(s) là khâu sớm pha bậc 1

- ( -180 o × βi) nếu Gi(s) là khâu dao động bậc 2

- ( +180 o × βi) nếu Gi(s) là khâu sớm pha bậc 2

Tại tần số gãy ω i , pha cộng ½*(giá trị cộng thêm).

Vẽ biểu đồ Bode pha bằng các đường tiệm cận

Vẽ biểu đồ Bode pha – Ví dụ

Bước 1: Tần số gãy   10,  1000

Vẽ biểu đồ Bode pha – Ví dụ

Bước 2: Biểu đồ pha bắt đầu tại -900

Vẽ biểu đồ Bode pha – Ví dụ

Bước 3: Biểu đồ pha kéo dài đến tần số rad/s0.1* 1

Vẽ biểu đồ Bode pha – Ví dụ

Bước 4: Biểu đồ pha được vẽ tiếp là đoạn thẳng từ vị trí 0.1*1 1

Vẽ biểu đồ Bode pha – Ví dụ

Tại tần số gãy ω 1 , pha cộng ½*(giá trị cộng thêm).

Vẽ biểu đồ Bode pha – Ví dụ

Phân tích trong miền thời gian

Khảo sát đặc tính động học bằng MATLAB

white noise

lsim Simulate LTI model responses to arbitrary inputs

step Step response of LTI systems

Khảo sát đặc tính động học bằng MATLAB

Phân tích trong miền tần số

stability margins

bode Bode diagram of frequency response

crossover frequencies

Sách: Advanced Control Engineering - Roland S Burns