Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 - Trường THPT Liễn Sơn

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 - Trường THPT Liễn Sơn để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi!

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019

MÔN: TOÁN – KHỐI 10

(Thời gian làm bài 180 phút)

Câu 1 (2 điểm) Cho phương trình 2

(m1)x 2(m1)x    (x là ẩn, m là tham số) m 3 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình 2

x  x m  Tìm các giá trị của m để phương

trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x x12 22 x12x22  4

Câu 3 (2 điểm) Cho phương trình 2

(2m1)x 2mx   Xác định m để phương trình đã 1 0 cho có nghiệm thuộc khoảng ( 1;0)

Câu 4 (2điểm).Cho phương trình 2 2

x  m xm  m   (m là tham số) có 2 nghiệm

1, 2

x x thỏa mãn điều kiện (x1x2)(x x1 2  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1) 0

1( 2 1) 2

Ax x   x

Câu 5 (2 điểm) Giải phương trình: 3 2  3

x  x  x x 

Câu 6 (2 điểm) Giải hệ phương trình

2

2





Câu 7 (2 điểm) Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm thuộc đoạn AM sao cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K

thẳng hàng

Câu 8 (2 điểm) Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng Bạn An gọi chúng là A A1, 2, ,A n

Bạn Bình gọi là B B1, 2, ,B ( n A B có thể là một điểm hoặc không) Tính tổng vecto i, i

A B A B  A B

Câu 9 (2 điểm) Cho tam giác ABCvới A( 1; 3), (2;5), (4;0)  B C Xác định trực tâm H của

tam giác ABC

Câu 10 (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

3 2

a b  b c  c a 

Chứng minh rằng:

3 2

b cc aa b 

-Hết -

Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:………

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

HƯỜNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019

MÔN: TOÁN – KHỐI 10

1 Cho phương trình 2

(m1)x 2(m2)x    (x là ẩn, m là tham số) Tìm m m 3 0

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài làm

+) Với m = 1 phương trình là:   6x 2 0 1( )

3

x loai

+) Với m 1 để phương trình có 2 nghiệm :

' 0

8

m

Vậy

1 8 1

m m

 





 



1,0

2 Cho phương trình 2

x  x m  Tìm các giá trị của m để phương trình có 2

nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x x12 22 x12x22 4

Bài làm

Để phương trình có 2 nghiệm thì ' 0 5

3

m

Theo viet ta có : 1 2

1 2

2

3 4

x x

x x m

  



Ta có: 2 2 2 2

(3m 4) ( 2) 2(3m 4) 4

2

9m 18m 0 m [0;2]

Kết hợp điều kiện 5

3

m  ta được [0; ]5

3

3 Cho phương trình 2

(2m1)x 2mx   Xác định m để phương trình đã cho có 1 0 nghiệm thuộc khoảng ( 1;0)

Bài làm

+) Xét 2 1 0 1

2

+) Xét 1

2

m  Khi đó ta có :

2

' (m 1) 0, m

    

Phương trình có nghiệm x 1và 1

x m



0,5

Ta thấy nghiệm x 1 không thuộc (-1; 0) Vậy để phương trình có

nghiệm trong khoảng (-1; 0) suy ra : 1 1 0

0,5

1

1 0

2 1

2 1 0

m m



 

  



0

m

  Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (-1 ;0) khi và chỉ khi

0,5

m 

4 Cho phương trình 2 2

x  m xm  m   (m là tham số) có 2 nghiệm x x1, 2

thỏa mãn điều kiện x1x210 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 0

1( 2 1) 2

Ax x   x

Bài làm

Để phương trình có nghiệm: 2 2

(m3) m 3m  1 0 8

9

m

Theo viet: 1 2

2

1 2

2( 3)

3 1

   



Ta có x1x2100  m 2

+) Ax x1( 2 1) x2 2

+) Lập bảng biến thiên của hàm số 2

f m m   trên m [ 8; 2]

9

 ta được

giá trị lớn nhất của A = 9 khi m = 2, giá trị nhỏ nhất A = 13

2 khi

1 2

m 

0,5

5

Giải phương trình: 3 2  3

x  x  x x 

Bài làm

Điều kiện: x  1

 3

3 ( 1) 2 1 0

3

 2     

 x 1 x   x x 1 x 2x 1  0

0,5

1

  

 



0,5

2

2

0

1 5 1

2 0

2 2 2

x

x

x

 







  



0,5

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 2 2 2; 1 5

2

x  x 

6

Giải hệ phương trình

2

2







Bài làm:

Điều kiện: 1

y x

 



  

0,5

 2

2 xy 6y2x 4 x  y 1

2x 4xy 2y 6y 2x 4 x y 1 2 x y( 1)

2[x 2 (x y 1) (y 1) ] x y 1 2 x y( 1)

2

2(y 1 x) ( x y 1) 0

1

y x

  

0,5

Thay vào phương trình (*) ta được:

2

(*)(x 3x   3) x 1 4   x x 2 x  7 0

2

3 3 0



0,5

3 21 2

3 21

( ) 2

x

  









  





Vậy hệ phương trình có nghiệm:

3 21 2

5 21 2

x

y

  







 

 



0,5

7 Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm thuộc

đoạn AM sao cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K

thẳng hàng

Bài làm

Đặt ABa AC;  và AK t AC b 

Khi đó: BK    a tb

Ta có: 3

4

AI  AM =3 

BM  BC  ACAB

0,5

BI  AI AB a ba = 7 3

Để 3 điểm B,I,K thẳng hàng thì

:

7 16 1

m

m m



Suy ra: 3

7

AK  AC Vậy điểm K thuộc đoạn AC sao cho 3

7

AK  AC

0,5

8 Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng Bạn An gọi chúng là A A1, 2, ,A Bạn Bình n

gọi là B B1, 2, ,B ( n A B có thể cùng là một điểm hoặc không) Tính tổng vectơ i, i

A B A B   A B

Bài làm

Lấy điểm O bất kỳ Khi đó :

A B A B   A B  A OA O  A OOB OB  OB

Vì A A1, 2, ,A n  B B1, 2, ,B n nên

1,0

OB OB  OB OA OA  OA

Do đó :

A B A B   A B 

1,0

9

Cho tam giác ABCvới A( 1; 3), (2;5), (4;0)  B C Xác định trực tâm H của tam

giác ABC

Bài làm :

Giả sử H x y Do H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có ( ; ) 0

AH BC

BH AC







0,5

Ta có : AH x1;y3 ; BH x2;y 5

2; 5 ;  5;3

Ta có hệ phương trình :    





164

31

x

y

 



 



Vậy điểm 164 15

;

31 31

 

10

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

3 2

a b  b c  c a 

Chứng minh rằng: 3

2

b cc aa b

Bài làm:

x a b y b c z c a khi đó , ,x y z 0 và ta có

3 2

x  y z

Ta có : 2 2 2  2 2 2

2

x y z  a b c

0,5

Do đó ta được :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :  2 2 2 2

b c  b c  y Suy ra :

2 2

 



Tương tự ta cũng có :

;

Do đó :

x y z

x y z

2

6 2 x y z x y z

6 2 x y z x y z x y z

       

0,5

9.3 2 3

3 2

6 2

Vậy bđt được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khí a=b=c=1

0,5