ĐẶT VẤN ĐỀ “Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” là một nội dung đặc biệt quan trọngcủa giải tích toán học.. Trong các đề thi ta thường gặp bài toán liên quan đến nội dung nầy và
Trang 1Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Chuyên đề
A ĐẶT VẤN ĐỀ
“Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” là một nội dung đặc biệt quan trọngcủa giải tích toán học Trong các đề thi ta thường gặp bài toán liên quan đến nội dung nầy
và đa số học sinh cũng thường có những sai lầm hoặc thiếu sót khi giải bài toán tiếp tuyến
Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi viết chuyên đề nầy với mục đích giúp học sinh hệthống được các kiến thức cơ bản và làm quen với các dạng bài tập liên quan đến “phươngtrình tiếp tuyến”, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp và kỹ năng giải toán, giúp các emnâng cao khả năng tư duy, sáng tạo, khả năng tự học…, để học sinh ngày càng tự tin, hứngthú học tập và học tốt hơn
y x
x k x
) ( ) (
- Giải hệ trên tìm k rồi thay vào (*) được phương trình tiếp tuyến
* Chú ý: Số tiếp tuyến của đồ thị là số nghiệm của hệ phương trình (**)
Cách 2: ( Tìm hoành độ tiếp điểm x0)
- Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0;y0) là
yf' (x )(x x ) y (1)
Trang 3Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=f(x ), biết hệ số góc của tiếp tuyến
Dạng 2: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b
- Tiếp tuyến có hệ số góc k thỏa k=a.
- Tìm được k, trở lại bài toán ở Dạng 1
* Chú ý : Hai đường thẳng d:yaxb và d' :ya'xb' song song với nhau khi và chỉ khi
' '
b b a a
Dạng 3: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b
- Tiếp tuyến có hệ số góc k thỏa a.k=-1.
- Tìm được k, trở lại bài toán ở Dạng 1
Dạng 4: Tiếp tuyến tạo với tia Ox (chiều dương của trục hoành) một góc
- Tiếp tuyến có hệ số góc k thỏa: k tan
- Tìm được k, trở lại bài toán ở Dạng 1
Dạng 5: Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc
k
k k
- Giải các phương trình trên tìm k, trở lại bài toán ở Dạng 1
Dạng 6: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc
tan 1
tan 1
ka
a k ka
a k ka
a k
- Giải các phương trình trên tìm k, trở lại bài toán ở Dạng 1
Trang 4
II Các dạng bài tập thường gặp.
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hoành độ tiếp điểm là
Trang 5Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 2 và y 16x 62
Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
Trang 6Vậy có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 2, y 16x 30và y 16x 30
Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 3 2
1
x y
Trang 7Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 5x 3 và 5 4
4 1
x x
'
x y
Trang 8Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước.
Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y x2, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểmA(0;-1)
0
Với x0 1: Ta được phương trình tiếp tuyến d là: y 2 (x 1 ) 1 y 2x 1
Với x0 1: Ta được phương trình tiếp tuyến d là: y 2 (x 1 ) 1 y 2x 1
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 2x 1 ,y 2x 1
k
x kx
Với x 1 k 2 d:y 2x 1
Với x 1 k 2 d:y 2x 1
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 2x 1 ,y 2x 1
Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 3 5 2 2
y , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(0;2)
Trang 9Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Với hệ (*) x x x x
k x x kx x x k x x
kx x x
10 3 5 10 3 5 10
3
2 2
2 2 3 2
2 3
0 0
5
x
x x
4
25 2
d tiếp xúc (C) Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ (*)
12(
31
21)
12(
11
2
1
2 2
x x
x x x
k
x k x x
) 1 2 ( 3 ) 1 )(
1 :
2
1 12
1 :
Trang 10Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến.
Bài 1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 2 3 1
0
0
x x
3 24
3 8
3
y
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y43x1237 và y 43x134
b) Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó: ' 2 4 3 1 ( 2 ) 2 1
Trang 11Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-2; 35):
Bài 2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
2
1 3
5 4 '
a) Ta có: k = 2 2
)2(
542 0 0
0
2 x x x
0 0
x x
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y 2 x 1 và y 2 x 5
b) Gọi tiếp điểm là M(x0;y0) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là:
y' (x0)
0 0
2 0
)2(
54
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 7
4
5.)2(
542 0 0
2 0
0 2
x x x
0 0
x x
Trang 12Bài 3 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Vậy có một tiếp tuyến cần tìm: y = 4
b) Ta có y' 4x 3 Tiếp tuyến hợp với trục hoành góc 450 nên hệ số góc
1 (
y hay y x172 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: yx 7 và
Bài 4 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y sin 2x
a) Tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ x .
b) Tiếp tuyến song song với phân giác y x
1 2 cos 1 2 cos
2
3 ) 6 (
2
3 ) 6 (
Trang 13Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
a) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm mà (C) giao với trục Oy b) Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng: 2xy 2015 0
Giải
Ta có ( 1 ) 2
2 '
x y
a) Ta có: Gọi A(0;-1) là giao điểm của (C) va trục Oy Phương trình tiếp tuyến tại A có dạng: y 1 2 (x 0 ) y 2x 1
y x
1 ) 1 (
2
2 0
0 2
0 0
x x
2 0
0 x x x
x
Do đó y' (x0) lớn nhất khi y' (x0)= -4, tương ứng x0 1, suy ra y0 37
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 4 ( 1 ) 4 35
y
Trang 14Vậy có hai tiếp điểm là )
3
1
; 3 (
III Bài tập bổ sung.
Bài 1 Cho đường cong C y x: 3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến của C trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm M1; 2
b) Tại điểm thuộc C và có hoành độ bằng -1
c) Tại giao điểm của C với trục hoành
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1; 4
Trang 15Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
Giải a) Ta có: y' 3 x2 6x
x0 1 y' 1 3
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 3x 1
b) Gọi tọa độ tiếp điểm là x y0; 0
x0 1 y0 4
y ' 1 9
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 9x 5
c) Phương trình hoành độ giao điểm của C với trục hoành là:
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 0 và y 9x 27
d) Ta có phương trình tiếp tuyến của C tại tiếp điểm M x y0 0; 0là:
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y9x5 và y 4
Bài 2 Cho đường cong : 3 1
Trang 16Vì tiếp tuyến song song với d nên có hệ số góc là 0
0 0
4 1
0 2 0
4
11
Trang 17Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
m m
Trang 18Bài 5 Cho hàm số y x 33x2 có đồ thị C Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ
đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ thị C , trong đó có hai tuyến vuông góc với nhau
Giải
Gọi M a ,0Ox, phương trình đường thẳng d qua M và có hệ góc k là: y k x a
Ta có d tiếp xúc với C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Với x 0 thì y0, k 0, phương trình tiếp tuyến là y 0
Do đó, từ M kẻ được ba tiếp tuyến đến C , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhaukhi phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 0 sao cho y x y x ' 1 ' 2 1, tức là
Trang 19Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
273
a
a
a a
1
11
x
x x
Trang 20Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 2 11
a) Tại điểm mà đồ thị hàm số giao với trục tọa độ.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3 x 15
a) Tại điểm mà đồ thị hàm số (1) giao với trục Ox có hoành độ là số nguyên.
b) Biết tiếp tuyến đó vuông góc đường thẳng x 3y 50 0
c) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; -2).
Trang 21Chuyên đề: Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số
năng tư duy cao hơn mà các em sẽ gặp sau nầy Sự thiếu sót của chúng tôi khi viết chuyên
đề trên là không thể tránh khỏi Mong được sự thông cảm của quý vị đồng nghiệp và các
em học sinh Được giúp học sinh và được biết các em thành công dù bất cứ ở đâu, bất cứ lúc nào cũng mãi là niềm vui của mỗi chúng tôi
