Bộ đề thi học sinh giỏi các tỉnh Thành phố

Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m... Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.[r]

Dạng 8 VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG

Dạng 13 Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của

N h ´ om

L A TEXPhần I

ĐẠI SỐ

N h ´ om

L A TEX

=

q(√

5 + 1)2 −

q(√

2

Åq(√

3 + 1)2−

q(√

ú Lời giải

3 − 1)

√3(√

3 + 1)

2√3

√

9 · 23

=

√2(√

2 − 1)

3√23

√5

√

√5

√

√5

√

√5

5

√5)(√

5 − 2)(√

5 − 2)(√

√5(√

5 + 1)(√

√

5 − 154

N h ´ om

L A TEX

√3

√3

1 +»4 + 2√

3

√3

1 −»4 − 2√

3

ú Lời giải

√3

1 +»4 + 2√

3

√3

1 −»4 − 2√

3

√3

1 +»3 + 2 · 1 ·√

3 + 1

√3

1 −»3 − 2 · 1 ·√

3 + 1

√3

1 +»(√

√3

1 −»(√

3 − 1)2

√3

N h ´ om

L A TEX

√3

»

7 + 4√

3

ú Lời giải

√3

»

√3

√3

3 − 4)(2√

3 − 1)

Ã(√

= √12

q(√

3 − 1)2− √1

2

q(√

3 + 1)2

= √12



å

=Ä1 + 2√

a + aä·

Ç1

aå2

ú Lời giải

x)3− 1

!:

√

x − x

å(với x > 0; x 6= 1 )

x + 1) (√

−2 (√x + 1)(√

x + 1) (√

√

x − 5(√

√

√x

x − 1) (√

(√

x − 1)2(√

x − 1)(√

x + 2 với x ≥ 0 và x 6= 4.

ú Lời giải

x + 2) (√

2 (√

x + 2)(√

x − 2) (√

x + 2)

å

√

a + 1

å: a + 1

Ç1

√

x − 1

å.√1

√

x + 1

å(x√

x + x) với x > 0

ú Lời giải

a − 1 − √1

a

å:

a + 1) (√

a − 1)(√

a − 2) (√

a − 1)å

x − 2)(√

7(√

x − 2)(√

x + 1) − (√

x − 1) − 3(√

x − 1)(√

x + 1)(√

4 − x

å:

åvới x > 0, x 6= 1, x 6= 4 Rútgọn biểu thức P

4 − x

å:

x + 2)

√x

x·

√x(√

√

a − 1− √1

a

å:

√a

√a

√

a + 2(√

a + 2)(√

a − 2)· a − 4

3√a

2√a

x − 9

å:

x − 9

å:

√

x − 5.

√x

√

x − 5.

x − 5 < 0 ⇔

√

x − 5 < 0 ⇔ 0 ≤ x < 25

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có Q < 0 ⇔ 0 < x < 25, x 6= 9

Vậy giá trị của x cần tìm là x ∈ (0; 25) \ {9}



Ç2

ú Lời giải

Với x > 0, x 6= 4, biểu thức có nghĩa Ta có

A =

Ç2

x − 2)

√

x + 3(√

x − 2)(2√

x + 1) · 5

√x(√

2√

√2x − 2

x − 2)(√

√

√2

a − 5

åvới a ≥ 0, a 6= 25

√

a − 5å

=

Ç

3 +

√a(√

a

åvới a ≥ 0, a 6= 1

√

a + 2

åvới a ≥ 0, a 6= 1 (trình bày rõ cácbước biến đổi)

√

a + 2å

=

Ç

1 +

√a(√

x + 2)(√

x − 2) · (√x + 2) =

√x

√

√x

x − 2(√

x + 3)(√

√

x − 3(√

x + 3)(√

x − 3)

ô(√

x − 3) =

√

x + 1 − (√

x − 3)(√

Ç(√

√x

x − 4

√x

=

√x(√

x + 2)(√

x + 2)(√

√x

3 + 1)

2√3

√x(√

x − 6)

=

√x(√

x − 12) + 6.6

6√x(√

x + 36

6√x(√

x)

√x

√x(√

x(√

x + 1))

√x

√

x − 1

=

√x(√

x − 1)

√x(√

√

x − 2

= (

√x

√x(√

x(√

x + 2))

√x

x + 2).

√x

x + 1)2 −

√

x − 2(√

x + 1)(√

x − 1)

å

√

x + 1

√x

=

Ç(√

x + 2)(√

x − 1)(√

x + 1)2(√

x − 1)

å

√

x + 1

√x

√x(√

x − 2)(√

x + 2)

√x)(√

x + 2) − (2√

x − 1)(√

x + 4(√

x + 2)(√

√

x − 2)(√

x + 2)(√

√

x + 6(√

x + 2)(√

x − 2)

å:

x + 2)(√

x − 2)

å:

x + 1)

√x(√

å: 2(

√

x .

√

x + 12(√

a + 1)(√

a − 1)

x + 3)å

x + 3)

x + 1) ·

√x

x = 1.



N h ´ om

L A TEX

=

√x(√

x + 3)(√

x − 3)(√

2√

x − 24(√

x − 3)(√

x + 3)

=

√x(√

x − 3) + 8(√

x − 3)(√

a + 1)2

4√a

ôvới (a > 0, a 6= 1)

3√

a + 5(a − 1)(√

a − 1)

ô(a + 2√

a + 1) − 4√

a

4√a

√

a + 4(√

x − 3

åvới x > 0; x 6= 9

N h ´ om

L A TEX

√x

√x(√

a − 4)(√

a + 4)

√a(√

a − 4)(√

a + 4)

=

√a(√

a − 4)(√

a − 4)(√

a + 4)

N h ´ om

L A TEX

=

√a

√a

√

=

√a(√

x + 2)

=

√x(√

x + 1)(√

x + 2)

√x(√

a2 − 1 − 1

a

!với 0 < a < 1

a





1 Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C.

a − 4) (√

a + 4)

√a(√

a − 4) (√

a + 4)

=

√a

N h ´ om

L A TEX

√x

a + 5(√

√

a + 4(√

a − 1)2 · (

√

a − 1)2

4√a

√

x − x

å Ävới x > 0; x 6= 1ä Rútgọn biểu thức Q Với giá trị nào của x thì Q = −1

√

x)å

A =

√

x − 11(√

x + 1) (√

√x

x + 1)2 −

√

x − 2(√

ú Lời giải

Ta có:

A =

Ç2

x − 2) (2√

√x

N h ´ om

L A TEX

√x

√

x − 1Vậy A =

A =

√

x − 11(√

x + 1) (√

√x

x + 1)2 −

√

x − 2(√

xä

√x(√

x − 2) (2√

√x

x + 4) (√

x − 1)

√x

√

x + 4

√x

√

√16x − 7

a − 9

å:

a − 9

å:

√a

(√

a − 2)2− (√a − 3) (√

a + 3) − 9 + a(√

a − 3) (√

a + 3) :

(√

a − 2)2(√

x − 2) (x + 2√

(√

x + 1)2(√

√

x − 2) + 3√

x − 3(√

x − 2) (√

3x − 9(√

P =

Ça

b

å Ç1

bå2

ba

b

å Ç1

bå2

ba

Ç

a2+ b2+ abab

å Ç

a − babå2

å

1bå

3 + b3(a + b)3(ab)3 + 3(a

2+ b2)(a + b)4(ab)2 + 6(a + b)

(a + b)5(ab)

3+ b3(a + b)3 +3(a

2+ b2)(a + b)4 + 6(a + b)

2+ b2 + 2ab)2

4(a + b)4 = 1

(a − b)3 Ä√

bä3

− b√b + 2a√

aÄ√

bä Äa +√

√aÄ√

N h ´ om

L A TEX

minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z

P = x

s(1 + y2)(1 + z2)

Ã(1 + z2)(1 + x2)

s(1 + x2)(1 + y2)

ú Lời giải

P = x

s(1 + y2)(1 + z2)

Ã(1 + z2)(1 + x2)

s(1 + x2)(1 + y2)

Ã(xy + yz + zx + y2)(xy + yz + zx + z2)

xy + yz + zx + x2

= x

Ã(y + z)(y + x)(y + z)(z + x)

Vậy

x

s(1 + y2)(1 + z2)

Tương tự, ta có

y

Ã(1 + z2)(1 + x2)

s(1 + x2)(1 + y2)

2,b) B =

√x

√

3 − 1

!,b) B =

√

ab − b

!.Äa√

√a

√

√

a ·√ab

√

b = b − a (a > 0, b > 0, a 6= b).

å:

√

a (√

a − 1)

å:

√

a + 1(√

a − 1.b) A < 0 ⇔

√

x − 2

å: √x − 9

√

x − 2

å: √x − 9

x − 2) (√

√x

√

x − 2

å: (

å Ç

a

1 − aå2(với a ≥ 0 và a 6= 1)

√a

a

å(với a > 0, a 6= 1)

a

åvới a ≥ 0, a 6= 1

√x

x − 2) (√

x + 2)

√x(√

x − 2) (√

x + 2)

√x

Ç1

Ç1

√

2

x − 1å

x − 1(√

x − 1) (√

2(√

x − 1) (√

x + 1)ô

x − √1

x

å:

a − 1

å, với a > 0, a 6= 1

x

å, với 0 ≤ x 6= 1

Ç1

x + 1

å:

√x

x + 1

å:

√x

√x

√x) (√

x + 1)

√

x ·√x

√

5 + 1

!

a

å:

√

a (√

a + 1)

å:

√

a − 1(√

åvới a > 0 và a 6= 9

1 Rút gọn biểu thức P

2 Tìm các giá trị của a để P > 1

2.

ú Lời giải

√

a − 3(√

√

a (√

a − 3)(√

7 + 1)2+

q(√

a + 1

å:

Ç1

√

√a

a√

a + a + 1

åvới a ≥ 0, a 6= 1 Rútgọn biểu thức A

ú Lời giải

Ta có

√a

ñ1

√

√a

√a(a + 1) + (a + 1)

√

√a(√

a + 1)(a + 1)(√

a − 1)2

√

a + 1)(a + 1)(√

5ä2+

… Ä

5ä2

2 Giải phương trình x2+ 2x − 24 = 0

N h ´ om

L A TEX

√a

a + 3)(√

a − 3)

√a(√

a − 3) + (√

a + 1)(√

a + 3) − 7√

a − 3(√

a + 3)(√

a − 3)

√a(√

a + 3)(√

3√a(√

a − 3)(√

a + 3)(√

3√a

√

a + 3.

√a

√

a + 3.

2 P < 1 ⇔ 3

√a

x3 − 1)

√x(√

åvới x 6= 1 và x > 0.

1 Định nghĩa 1 Hàm số bậc nhất được định nghĩa như sau

 Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a và b là các số thựccho trước và a 6= 0

 Khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lện thuậngiữa y và x

2 Tính chất 1 Hàm số bậc nhất có các tính chất sau

 Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x ∈ R

 Trên tập số thực, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0

3 Đồ thị hàm số y = ax + b với a 6= 0

 Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và cắt

a.

 a gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

 Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm

 Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ là A

Ç

−b

a; 0

åvàB(0; b)

Chú ý 1 Đường thẳng đi qua M (m; 0) song song với trục tung có phương trình là x−m = 0,đường thẳng đi qua N (0; n) song song với trục hoành có phương trình y − n = 0

5 Kiến thức bổ sung

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2) thì AB = »(x2− x1)2+ (y2− y1)2

(d3) đi qua (A vuông góc với (d1).

3 Khi (d1) ∥ (d2) Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2)

với M, N lần lượt là giao điểm của (d1) với các trục tọa độ Ox, Oy

8 ;

238

å.Vậy độ dài đoạn thẳng AB là AB =

25

å2+

Ç23

å2

√2

Cho y = 0 ⇒ x = −2 ⇒ M (−2; 0)

Nếu tam giác OM N không vuông cân tại O ta có thể tính OH theo

hệ thức lượng trong tam giác vuông là

 Tìm các giao điểm M, N của d với các trục tọa độ

 Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam

giác vuông OM N (công thức (∗)) để tính OH

1 Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua

2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất

3 Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giácOAB cân

2;

12

å

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d) Ta có: OH ≤ OI suy ra OH lớn nhấtbằng OI khi và chỉ khi H ≡ I ⇔ OI ⊥ (d)

Đường thẳng qua O có phương trình: y = ax

s Ç12

å2+

Ç12

å2

=

√2

Suy ra hệ số góc của đường thẳng (d) phải bằng 1 hoặc −1 và đường thẳng (d) không đi quagốc O

1 − mm

,đường thẳng (d) cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên

m − 13m − 2

Điều kiện để tam giác OAB cân là OA = OB

⇔

1 − mm

...

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016)

ú Lời giải

1 Giả sử mặt phẳng tọa độ, độ dài đoạn thẳng tính

theo đơn vị mét Do khoảng cách hai... bề

lồi xuống dưới, có trục đối xứng Oy qua điểm

Parabol Biết khoảng cách hai chân cổng m khoảng cách từ đỉnh cổng tới châncổng 2√

5 m (bỏ qua độ dày cổng)

1 Trong mặt... quan hoành, tung khoảng cách (Cơ bản)

A(2; 4)

2 Vẽ đồ thị hàm số cho

3 Tìm điểm Parabol có tung độ 16

5 Tìm điểm Parabol (khác gốc tọa độ) cách hai trục tọa độ

ú