Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.. Họ và tên thí sinh:.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề này có 01 trang)
KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019
Ngày thi: 18/10/2018 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (6,0 điểm).
a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x y 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2
2
x xy y P
x xy y
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y x x mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số un biết u và 1 2 un1 2 un 5, n *.
b) Cho dãy số vn thỏa mãn 1 1 ,
2018
1 2018n
n
n
v v
v
Chứng minh n * rằng vn1 vn, n *.
Bài 3 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
.
Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB AC và hai đường cao BE CF cắt ,
nhau tại H Các đường tròn O1 , O2 cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với
BC tại , B C Gọi D là giao điểm thứ hai của O1 và O2
a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ;
b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy.
- HẾT
-Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 3HƯỚNG DẪN CHẤM
a
Ta có
2 2
1 , 1
t t P
t t
với
1 2
x t y
Xét hàm số
2 2
1 ( )
1
t t
f t
t t
với
1 2
t
Tính được
2
2 2
( 1)
t f
t t
( ) 0
1
1 2
f t
t t
Bảng biến thiên
Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng
1
3 và không có giá trị lớn nhất
0,5 0,5 1,0 0,5 0,5
b
Tập xác định D
2 ' 3 6 3
y x x m
Yêu cầu bài toán Phương trình ' 0y có hai nghiệm phân biệt
1, 2
x x thỏa mãn y x y x 1 2 0
Phương trình y có hai nghiệm phân biệt 10 m (*)0
Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là
1; 1, 2; 2
A x y B x y
Ta có 1 2 1
3 3
x
y y m x
Do đó y1 y x 1 2m1x1
y2 y x 2 2m1x2
y x y x m x x
x x1 2 0 m 0 m 0
Kết hợp với điều kiện (*) ta có m thỏa mãn bài toán 0
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25
a ta có n *, u n12u n 5 u n1 5 2u n5
Đặt w n u n5, n *.
Khi đó w n1 2 ,w n n *
Do đó w n là cấp số nhân có w1u1 công bội 5 7, q 2
Suy ra 1 n 1 7.2 ,n 1 *
n
w w q n
Vậy u n 7.2n1 5, n *.
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
b
Chứng minh được v n 0, n *.
Khi đó
*
1 2108 2 2018 2018
n
0,5 1,0
Trang 4Mặt khác, ta có n *,
2
3
1 2018
0
1 2018 1 2018 1 2018
1,0
4,0
Điều kiện xy 0
Ta có x2 1 x0, nên x y 0 không thỏa mãn (2) Do đó
0
y Suy ra x không thỏa mãn (1).0
Nếu x y, cùng âm thì (1) vô lí Do đó x y, cùng dương
Suy ra 2 2
2
1
x
2 2
1 1 1
1 y y 1 y
(3) Xét hàm số f t( )t t2 trên khoảng 1 t 0; .
Ta có
2 2
2
1
t
t
Suy ra f t( ) đồng biến trên 0;
Do đó (3) f 1 f y 1 y xy 1
Thay xy 1 vào phương trình (1) ta được
2 x y 1 x y x1 y1 0 x y 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y ; 1;1
0,25 0,5 0,25
0,5 0,25 0,5 0,5 0,5
0,5 0,25
a Gọi I là giao điểm của AD và BC
Ta có IB2 IA ID IC. 2.
Suy ra IB IC .
Do đó I là trung điểm của BC Hay đường thẳng . AD đi qua trung
điểm I của BC .
0,25 0,75 0,25 0,25
b
Chứng minh được BHC BDC . Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp. 1,0
1,0
A
E
F H D
I K
Trang 5Chứng minh AFHD nội tiếp
Chứng minh EF BC HD, , đồng qui
1,5
