Ðề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An môn Toán Bảng B

Bài 4: Cho tứ diện SABC ,trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các ñiểm D,E,F.Biết rằng các mặt phẳng ABF,BCD,ACE cắt nhau tai M và ñường thẳng SM cắt mặt phẳng DÈ tại N,cắt mặt NP MP =3 p[r]

Trang 1

ð THI H C SINH GI I T NH NGH AN

MÔN TOÁN B NG B

Câu 1:

a)Tìm giá tr% c'a tham s* m ñ, phương trình sau có nghi2m

(m43)x + (2− m) + (3 − m) = 0

b) Ch<ng minh r=ng :

( sin )

3 〉〉〉〉 cosx v@i x ∈ (0;

2

π

) Câu 2:

a) Tìm GTNN và GTLN c'a

A = + 1 − 2 v@i x ∈ (0;

2

π

)

b, giEi h2 phương trình













∈

− +

=

−

=

−

) 4

; 0

(

,

1 cos sin

2 cos 2

sin

y

x

e

π

Câu 3:GiEi phương trình nghi2m nguyên

1 )]

800 160

9 3

(

8

Câu 4:

a)Trong h2 trOc 0xy cho tam giác ABC có di2n tích là 32 ði,m A(3; −2) ; B(2; −3) và trSng tâm G thuTc ñưUng thVng 3x − y − 8 = 0 Tính bán kính ñưUng tròn nTi tiYp tam giác ABC b) Cho ñưUng tròn (C) có phương trình : x2 − 2x + y2 − 4y + 4 = 0 ði,m M thuTc ñưUng thVng (d)

x − y + 3 = 0 tZ M k[ 2 tiYp tuyYn t@i C t\i hai tiYp ñi,m là A và B Ch<ng mình r=ng ñưUng thVng AB

ñi qua 1 ñi,m c* ñ%nh khi M di chuy,n trên (d )

NGH AN

CH N TUY`N QUbC GIA VÒNG 1

Bài 1:giEi h2:

2

3



 + − =



Bài 2:cho s* nguyên a,ch<ng minh r=ng phương trình: 4−7 3+( +2) 2−11 + = không th, có 0 nhifu hơn 1nghi2m nguyên

Bài 3:cho dãy s* thhc xn xác ñ%n bii: 0

1

+

=







Trang 2

MATH.VN

Ta xác ñ%nh dãy yn bii công th<c

1

=

=∑ ∀ ∈ ,tìm công th<c tkng quát c'a dãy yn Bài 4:cho các s* nguyên dương a,b,c khác 0 thla mãn:

 + + ∈





 + + ∈



Ch<ng minh:

Bài 5:Trong mnt phVng tSa ñT oxy cho 9 ñi,m có tSa ñT là các s* nguyên,trong ñó không có 3 ñi,m nào thVng hang.Ch<ng minh r=ng ton t\i ít nhát 1 tam giác có 3 ñpnh là 3 trong 9 ñi,m trên có diqn tích

là 1 s* chrn

Bài 6:Cho 2 ñưUng tròn (O) và (O’) tiYp xúc trong t\i ñi,m K,(O’) n=m trong (O).ði[m A N=m trên (O) sao cho 3 ñi,m A,O,O’ không thVng hang.Các tiYp tuyYn AD và AE c'a (O’) cxt (O) lyn lhot t\i B

và C(D,E là các tiYp ñi,m).ðưUng thVng AO’ cxt (O) t\i F.Ch<ng minh r=ng các ñưUng thVng

BC,DE,FK ñong quy

Bài 7:cho ≥2, ∈ Kí hi2u ={1, 2, , },t|p con B c'a A ñư}c gSi là 1 t|p t*t nYu B khác r~ng và trung bình cTng c'a các phyn t• c'a B là 1 s* nguyên,GSi Tn là s* các t|p t*t c'a A.Ch<ng minh r=ng

Tn – n là 1 s* chrn

NGH AN

CH N TUY`N QUbC GIA VÒNG 2 Bài 1:giEi phương trình:16 3−24 2+12 − =3 3

Bài 2:Tìm t•t cE các s* nguyên a,b,c thla mãn ñifu ki2n 1<a<b<c và abc chia hYt cho (a41)(b41)(c41) Bài 3:cho a,b,c,x,y,z là các s* thhc thay ñki thla mãn: ( + ) −( + ) = 6

Tìm GTNN c'a:

Bài 4:Tìm tát các các hàm : → sao cho:

( + os(2009y))=f(x)+2009cos(f(y)), x,y∀ ∈

Bài 5: cho tam giác ABC thay ñki,gSi H là trhc tâm ,O là tâm ñưUng tròn ngo\i tiYp và R là bán kính ñưUng tròn ngo\i tiYp tam giác ABC.Xác ñ%nh GTNN c'a s* K sao cho <

Bài 6:Cho ABCD là t< giác nTi tiYp.M và N là các ñi,m lyn lư}t thay ñki trên các c\nh AB và CD sao cho = ði,m P thay ñki trên ño\n thVng MN sao cho = Ch<ng minh r=ng tp s* di2n tích c'a 2 tam giác PAD và PBC không phO thuTc vào v% trí c'a M và N

Bài 7:GSi S là t|p h}p các s* nguyên dương ñong thUi thla mãn 2 ñifu ki2n sau:

1.Ton t\i 2 phàn t• x,y thuSc S sao cho (x,y)=1

2.V@i b•t kì a,b thuTc S thì tkng c'a a và b cũng thuTc S

GSi T là t|p h}p tát cE các s* nguyên duơng khong thuTc S.Ch<ng minh r=ng s* phyn t• c'a T là h•u h\n và không nhl hơn ( ), trong ñó ( ) là tkng các phàn t• c'a t|p T(nYu = thì ( ) =0) φ

S‰ GIÁO DŠC VÀ ðÀO TŒO KỲ THI H C SINH GI I T NH KHbI NGH AN 12 THPT 200442005

Bài 1: a) Tìm giá tr% m ñ, phương trình sau có nghi2m: 2+ + −1 2− + = 1

b) GiEi phương trình: 2003 +2005 =4006 + 2

Trang 3

Bài 2: a) Tìm giá tr% l@n nh•t và giá tr% nhl nh•t c'a hàm s*: ( ) 1 os8x

6 2 os4x

+

= + b) Tìm m ñ, ton t\i cnp s* (x,y) không ñong thUi b=ng o và thla mãn phương trình:

2 2

Bài 3:Tìm t•t cEc các ña th<c p(x) thla mãn: ( ) (1) 1[P(x+1)+P(x41)], x

2

Bài 4: a) cho a,b,c,d là 4 s* thhc thla mãn ñifu ki2n: 2+ 2 =1, + = ,ch<ng minh r=ng; 3

9 6 2 4

+

b) Trong mnt phVng Oxy cho hS ñưUng tròn (Cm):

2+ 2−2( −1) −( +6)+ +10, ≠ 0

Ch<ng minh r=ng: các ñưUng tròn (Cm) luôn luôn tiYp xúc v@i nhau tai mTt ñi[m c* ñ%nh khi m thay ñki

Bài 1: cho phương trình: 2+ +12 + −1 36 0=

a) Ch<ng minh r=ng phương trình có nghi2m s* trên (0,10)

b) Tìm nghi2m nguyên c'a phương trình trên

Bài 2: a) Xác ñ%nh s* ño c'a góc A trong tam giác ABC,biYt r=ng tkng các nghich ñEo s* ño c'a 2 c\nh AB,AC b=ng ngh%ch ñEo s* ño ñưUng phân giác c'a góc xen giŽa 2 c\nh •y

b) GiEi phương trình: inxSin2xSin3x+CosxCos2xCos3x=1

Bài 3:V@i giá tr% nào c'a m thì s* nghi2m c'a phương trình:

15 −2(6 +1) −3 +2 = không nhifu hơn s* nghi2m c'a phương 0

trình:(3 −1) 122 +2 3+6 =(36 −9) 28 −0, 25

Bài 4: a) Tìm giá tr% nhl nh•t c'a

2−( −1) + 2

b) Trong h2 trOc tSa ñT cho ñi,m M(2,4).Xét các tam giác có mTt c\nh vuông góc v@i Oy và hai ñpnh n=m trên parabol =3 2; ∈[41,1] nh|n M là trung ñi,m c'a mTt trong 2 c\nh cSn l\i.Xác ñ%nh tam giác có di2n tích l@n nh•t.Tính di2n tích •y

Bài 1: a) GiEi h2 phươmng trình:

2 2

2

2 1



 b) Ch<ng minh r=ng v@i mSi s* nguyên a phương trình:

4−2001 3+(2000+ ) 2−1999 + = không th, có 2 nghi2m nguyên 0

2

−

b) Cho x và y là hai s* dương thay ñki có tkng b=ng 1,m là mTt s* dương cho trư@c.Tìm giá tr%

bé nh•t c'a tkng: = 21 2+

+

Trang 4

MATH.VN

Bài 3:cho dãy s*{ }xác ñ%nh như sau:

1 1

1

1 2 +

=





+

 Ch<ng minh r=ng dãy s* { } không tuyn hoàn

Bài 4: Cho t< di2n SABC ,trên các c\nh SA,SB,SC lyn lư}t l•y các ñi,m D,E,F.BiYt r=ng các mnt phVng (ABF),(BCD),(ACE) cxt nhau tai M và ñưUng thVng SM cxt mnt phVng (DÈ) t\i N,cxt mnt phVng (ABC) t\i P.Ch<ng minh: =3

Bài 5: Cho hình hTp 1 1 1 1có t•t cE các c\nh ñfu b=ng nhau và b=ng 1.Các góc phVng i ñpnh c'a góc tam di2n ñpnh A t\o bii 3 mnt c'a hình hTp ñfu b=ng nhau

a) Tính s* ño các góc phVng i ñpnh c'a góc tam di2n ñpnh A nói trên

b) MTt mnt phVng cxt các c\nh AB,AD,AA1 tương <ng t\i M.N.P và cxt AC1 t\i Q.Ch<ng

Ch<ng minh r=ng: 2−4 ≥ 0

b) Hãy xác ñ%nh t•t cE các hàm liên tOc : → thla mãn ñVng th<c : ( )2 + ( )= 2+

Bài 2: a) Cho n,m là nhŽng s* th nhiên không nhl hơn 2,hãy tìm t•t cE các nghi2m nguyên c'a phương

b) Hãy xác ñ%nh m ñ, phương trình:sin4 + +(1 s inx)4= m có nghi2m

Bài 3:Trong mnt phVng cho 2001 ñi,m và trong 3 ñi,m b•t kỳ ñE cho bao giU cũng tìm ñư}c 2 ñi,m có khoEng cách giũa chúng nhl hơn 4.Ch<ng minh r=ng ton t\i mTt hònh tròn có bán kính b=ng 4 ch<a không ít hơn 1001 ñi,m

Bài 4: a) Cho hS ñưUng cong (Cm) có phương trình:

2 2

( + ) 2(2− +1) +2 + + = ,m là tham s* 1 0

Ch<ng tl r=ng (Cm) là ñưUng tròn v@i mSi m khác không.Tìm t|p h}p tâm các ñưUng tròn ñó

b) Trong mnt phVng tSa ñT Oxy cho ñi[m (3,1).Tìm phương trình ñưUng thVng ñi qua M và cxt hai n•a trOc Ox,Oy tương <ng t\i A và B sao cho tkng (OA + OB) có giá tr% bé nh•t

Bài 1: Cho hàm s*

1

=

+ a) Tìmα ñ, hàm s* có chc ñ\i – chc ti,u và ycñ + yct = 46

b) Tìmα ñ, ycñ.yct > 0

Bài 2: a) ch<ng minh r=ng∀ − ≤ ≤ ta có:: 1 1 42≤ 41− +41+ ≤ 2

c) Tìm các giá tr% c'a k ñ, phương trình sau có nghi2m:sin4 + os4 = 2 os 42

Trang 5

Bài 3: a) Cho dãy { }xác ñ%nh như sau: 0

1

2

+

=





 Tìm s* h\ng tkng quát

b) Cho a,b,c là ñT dài 3 c\nh c'a mTt tam giác.Xét các s* x,y,z thla mãn

2

π + + = Tìm giá tr% l@n nh•t c'a bi,u th<c: ( , , )=s inx sin+ +sin

Bài 4: a) MTt mnt phVng Oxy cho ñi,m A (44,0),B(4,0).ði,m M di ñTng trong mnt phVng sao cho tam giác MAB có tích c'a tang hai góc ∠ , b=ng 1

4.Ch<ng minh r=ng M luôn ch\y trên 1 elip (E) c* ñ%nh

b) Cho tam giác ABC.m là mTt ñi,m di ñTng trên c\nh CB.h\ MN,MQ tương <ng vuông góc và song song v@i AB( ∈ , ∈ ).GSi P là hình chiYu c'a Q trên AB và I là tâm hình chŽ nh|t

MNPQ.Tìm qu“ tích c'a I khi M ch\y trên CB

Bài 1: a) Cho ≤ ,ch<ng minh r=ng 3−3 ≤ − + ,ñVng th<c xEy ra khi nào? 3 3 4

b) Ch<ng minh r=ng phương trình 3+2 3−4 3= không có nghi2m nguyên , ,0 ≠ 0

Bài 2: a) Tìm các ñi,m trong[0, ]π ,t\i ñó hàm s* ( ) s inx+sin 2 sin 3

ti,u

b) Ch<ng minh r=ng h2 phương trình:

2 3 2







có mTt nghi2m duy nh•t

Bài 3: Tren mnt phVng v@i h2 trOc tSa ñT vuông góc Oxy cho hS ñưUng tròn ( C ): 2+ 2−2α = và 0

hS ñưUng thVng ( ) : ax+ay4a =0α ( là tham s*,α là h=ng s* dương)

a) Ch<ng minh r=ng ñưUng thVng (D) luôn ñi qua tâm c'a ñưUng tròn ( C ) và luôn ñi qua ñi,m c* ñ%nh

b) Tìm qu“ tích giao ñi,m c'a (D) và ( C )

Bài 4:xác ñ%nh giá tr% c'a m ñ, 2 h2 sau tương ñương:

2 2

3 3

os(x4y)=1

2 ,

+





Bài 1: a) Tìm hàm s* ( ) ax= 3+ 2+ + , ≠ ,biYt0 ( 1) ( 3) ( ),

(3) 6



 b) Xác ñ%nh a,b ñ, hàm s*: ( ) ( 2 ) , 0

−



= 

Bài 2: a) Cho dãy s* có = − +4 8 3−0,5 2+4 , ∈ *,tìm s* h\ng l@n nh•t c'a dãy s* ñE cho b)Cho các s* thhc a,b,c và s* nguyên dương n thla mãn: 5 ( +2) 6(+ + ) 0=

Ch<ng minh phương trình:asinn + osn + s inx+c=0 luôn có nghi2m trong khoEng (0, )

2 π

Trang 6

MATH.VN

Bài 3: a) Nh|n d\ng tam giác ABC biYt r=ng:

b) Có 120 quE cyu như nhau xYp sát nhau vZa ñyy mTt hình chop tam giác ñfu có tát cE các c\nh b=ng nhau( m~i quE cyu i l@p trên tiYp xúc ñúng v@i 3 quE cyu l@p dư@i).Hli có bao nhiêu quE xYp i ñáy hình chóp

Bài 4: Trong h2 tSa ñT trhc chu•n Oxy

a) Cho 3 ñi,m A(1;3),B(7;0),C(2;5).Tìm phương trình ñưUng tròn có bán kính nhl nh•t ch<a bên trong honc trên nó cE ba ñi,m ñE cho

b) Cho elip có phương trình:

2 2

2+ 2 =1, > > 0 Hai ñi,m M,N di ñTng trên elip sao cho góc MON b=ng 900.Ch<ng minh MN luôn tiYp xúc v@i mTt ñưUng tròn c* ñ%nh và tìm giá tr% l@n nh•t và bé nh•t c'a di2n tích tam giác MON

ð THI SINH VIÊN GI I ðHXD HÀ N—I

GI I TÍCH Bài 1: Cho dãy s* thhc{ }∞1

= ,biYt

1

7 +

> ≥





+



,tìm lim

→∞

Bài 2:Cho hàm s* ( ) liên tOc trên[2;+ )∞ ,khE vi trên khoEng (2;+∞ và thla mãn ñifu )

ki2n

(2) 1

2

=







2 '( ) = − Bài 3:Cho hàm s* ( ) khE vi trên R.Gpa thiYt r=ng ton t\i các s* thhc < < < , − = − sao cho∫ ( ) =∫ ( ) Ch<ng minh r=ng ton t\i 0∈ ñ, '( ) 00 =

Bài 4:Cho hàm s* ( ) có ñ\o hàm liên tOc trên ño\n[a,b],a<b,f(a)=0 Ch<ng minh r=ng:

[ ]

( ax f(x) ) ≤( − )∫ ' ( ) , ∈ ,

Bài 5:Cho chu~i s* dương hTi tO

1

∞

=

∑ ,ch<ng tl r=ng dãy s*{ }ñơn ñi2u giEm thì lim 0

→∞ = ðŒI Sb

Bài 1:GiEi phương trình trên trưUng s* ph<c:( +1)9− = Ch<ng minh r=ng: 1 0

sin sin sin

Bài 2:A,B∈w ( )n là hai ma tr|n vuông c•p n thla mãn − =2 Ch›NG minh r=ng det B = 0 Bài 3: A,B∈w ( )n là hai ma tr|n ñ*i x<ng c•p n.Ch<ng minh r=ng nYu mSi tr% rieng c'a A và mSi tr% riêng c'a B ñfu dương thì các giá tr% riêng c'a A + B cũng dương

Bài 4:Cho ma tr|n = 2 6

 .Tìm a,b biYt u = (3,1) và v = (2,1) là hai véc tơ riêng c'a A

Bài 5: Cho A,B là 2 ma tr|n vuông c•p n,biYt A + B = I và ( )+ ( )≤ Ch<ng minh

2 2





=



H—I TOÁN H C VI T NAM B— GIÁO DŠC VÀ ðÀO TŒO

OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN TOÀN QUbC NĂM 2008

ð THI:MÔN GI I TÍCH

Trang 7

Bài 1: cho dãy s*{ }ñư}c xác ñ%nh như sau:

1 2

2 1

+ +

=







.Tính 2008

Bài 2:Tính

2008 2008 2008

2009

lim

→∞

Bài 3:Gpa s• hàm s* ( ) liên tOc trên[0,π], (0)= ( ) 0π = và thla mãn ñifu

ki2n '( ) 1,< ∀ ∈(0,π)

Ch<ng minh r=ng:

i)∃ ∈(0,π)sao cho '( ) t anf(c)=

2

Bài 4:Cho hàm s* ( ) liên tOc trên [ ]0,1 và thla mãn ñifu ki2n: ( ) yf(x) 1, x,y+ ≤ ∀ ∈[ ]0,1

Ch<ng minh r=ng:

1

0

( )

4

π

≤

∫

Bài 5:Gpa s• ( ) là hàm s* liên tOc trên[ ]0,1 v@i (0) 0, (1) 1= = và khE vi trong( )0,1 Ch<ng minh r=ng v@i mSiα∈( )0,1 luôn ton t\i 1, 2∈( )0,1 sao cho:

α −α

Bài 6:Cho hàm s* ( )! có ''( ) 0,! > ∀ ∈ Gpa s• hàm s* ( ) xác ñ%nh và liên tOc trên R và thla

0

'(0)

2

!

π

>





∫

Ch<ng minh r=ng ton t\i ∈[0,π] sao cho ( )=!( )

ð THI:MÔN GI I TÍCH

Bài 1:Gpa s• dãy s*{ }ñư}c xác ñ%nh theo công th<c: 1 2

1 2

1



Bài 2:Cho hàm s* : 0,1 → có ñ\o hàm c•p hai liên tOc và ''( ) 0[ ] > trên[ ]0,1 Ch<ng minh

r=ng:

2

2∫ ( ) ≥3∫ ( ) − (0)

Bài 3:Tìm t•t cE các hàm s*: : → thla mãn các ñifu ki2n: ( ) 4 2009 ,



 Bài 4:Gpa s• ( ), ( )! là các hàm s* liên tOc trên R và thla mãn ñifu ki2n: ( ( ))! ≡!( ( )),∀ ∈ Ch<ng minh r=ng nYu phương trình ( )=!( )không có nghi2m thhc thì phương

trình ( ( ))=! !( ( ))cũng không có nghi2m thhc

Bài 5:Cho hai dãy s*{ }và{ }xác ñ%nh theo công th<c:

1 1

2 1

3

, 2,3,

+



 = =









Trang 8

MATH.VN

Ch<ng minh r=ng: ∈( )2,3 , =2,3, và lim 0

→∞ = Bài 6:Thí sinh làm mTt trong hai câu sau:

a) Cho ( ) là ña th<c b|c n v@i h2 s* thhc.Ch<ng minh r=ng phương trình 2 = ( )có không quá n + 1 nghi2m thhc

b) Cho ( ) − và ( ) − 3 là nhŽng hàm s* ñơn ñi2u tăng trên R.Ch<ng minh r=ng hàm

( )

2

− cũng là hàm ñơn ñi2u tăng trên R

ð THI:ðŒI Sb

Bài 1:Cho x,y,z là các s* thhc thla mãn ñVng th<c sau: 2 2 2

3 3 3

0 2 0

+ + =





 + + =

 Ch<ng tl r=ng v@i mSi s* th nhiên n ta luôn có 2 + 1+ 2 + 1+ 2 + 1= 0

Bài 2:Ton t\i hay không mTt ma tr|n thhc A vuông c•p 2 sao cho: 2010 2008 2010

−

Bài 3:Cho A,B,C là các ma tr|n vuông c•p n sao cho C giao hoàn v@i A và B, 2= (E là ma tr|n ñơn "

a) Ch<ng minh r=ng AB = BA

Bài 4:Tính 2009,trong ñó:

−

Bài 5:Tìm t•t cE các ma tr|n vuông A c•p n ( ≥2) sao cho v@i mSi ma tr|n vuông B c•p n,ta ñfu

có det( + ) det= +det

BÀI 6:Thí sinh chSn mTt trong hai câu sau:

a) GiEi h2 phương trình:

1 2 3 4 5 6







b) Ưng v@i m~i ña th<c P(x) v@i h2 s* thhc và có nhifu hơn mTt nghi2m thhc,gSi d(P) là khoEng cách nhl nh•t giŽa hai nghi2m thhc b•t kỳ c'a nó.Gpa s• các ña th<c v@i h2 s* thhc P(x) và P(x) + P’(x) ñfu có b|c k(k>1) và có k nghi2m thhc phân bi2t.Ch<ng minh r=ng d(P +

P’)≥ ( )

ð THI CH N ð—I TUY`N OLYMPIC TOÁN H C SINH VIÊN TOÀN QUbC

ðHXD HÀ N—I MÔN:GI I TÍCH

Trang 9

Bài 1: Tìm s*α sao cho dãy s*{ } ñư}c xác ñ%nh bii 1

1

2 1

2

α

+

 =







hTi tO

Khi ñó tính lim

→∞

Bài 2:Cho hai hàm s* ( ), ( )! xác ñ%nh và liên tOc trên ño\n[ ], ,khE vi trên khoEng( , )

và ( )= ( ) 0= Ch<ng minh r=ng phương trình: '( ) ( )! + '( ) 0= có nghi2m trên[ ],

Bài 3:Cho hàm s* ( ) liên tOc trên[ ]0,1 thla mãn ñifu ki2n (0)= (1).Ch<ng minh r=ng ton

t\i ∈[ ]0,1 sao cho ( ) ( 1)

4

Bài 4: v@i m~i ∈ * ñnt

1

0

# =∫

Ch<ng minh r=ng{ }# là mTt dãy giEm.Hãy tìm m*i liên h2 giŽa# +1 và # Tính lim #

→+∞

Bài 5:Tìm tát cE các hàm liên tOc : → thla mãn các ñièu

= −





MÔN:ðŒI Sb

Bài 1:Cho A là mTt ma tr|n c•p 2 xác ñ%nh bii: 3 1

1 1

2008

Bài 2:Cho A là mTt ma tr|n vuông c•p n thla mãn 3= ,trong ñó # là ma tr|n ñơn v% c•p n #

Bài 3: Cho A,B là hai ma tr|n vuông c•p n sao cho AB = BA,giE thiYt thêm r=ng

2008 2009

#







a) Tìm t•t cE các giá tr% riêng c'a A và B

b) Ch<ng minh r=ng AB,A + B là các ma tr|n khE ngh%ch

Bài 4: Cho V và W là hai không gian véc tơ hŽu h\n chifu trên trưUng s* thhc R.Gpa s• U là mTt

không gian con c'a W, :$ →%là mTt ánh x\ tuyYn tính.ðnt = − 1( ).Ch<ng minh r=ng:

dim +dim% ≥dim$ +dim

Bài 5:Cho A là mTt ma tr|n ñ*i x<ng xác ñ%nh dương cõ 2008.Gpa s• y = (1,2,…,2008)∈ 2008

tính

1

lim

+

Bài 6: Cho là mTt không gian các ma tr|n vuông c•p n và cho [x]là không gian véc tơ các ña th<c theo 2 biYn s*,b|c k.MTt ánh x\ : → [x] ñư}c coi là b•t biYn nYu ( − 1 )= ( ) v@i mSi ma tr|n khE ngh%ch ∈ Gpa s• r=ng X là mTt ma tr|n cho trư@c,kí hi2u:

1

( ) det( & λ# &) λ ( )& λ − ( )& λ ( )&

−

a) ( )& là ña th<c thuyn nh•t b|c k t<c là ( )& = ( ),& ∀ ∈

b) ( )& là ánh x\ b•t biYn

Bài 7: Cho ( ) và ( ) là các ña th<c v@i h2 s* ph<c có b|c khác 0.Gpa s• v@iω∈ thla

mãn ( ) 0ω = thì ñfu suy ra ( ) 0ω = và ngư}c l\i.ðong thUi nYuω∈ thla mãn ( ) 1ω = thì suy

ra ( ) 1ω = và ngư}c l\i.Ch<ng minh r=ng ( )≡ ( )

TRƯ£NG ðŒI H C BÁCH KHOA HÀ N—I

ð THI TUY`N CH N H K¤ SƯ TÀI NĂNG VÀ CH¥T LƯ¦NG CAO NĂM 1999

Trang 10

MATH.VN

Bài 1:KhEo sát sh biYn thiên c'a hàm s* ( ) xác ñ%nh trên toàn R,ñư}c cho như





Bài 2:Tìm các s* thhc a,b,c thla mãn −2 +3 −16 0= sao cho bi,u

th<c =2 2+2 2+2 2−4 −4 −4 +15 ñ\t giá tr% nhl nh•t

Bài 3:Ch<ng minh r=ng phương trình: osx+b.sin2x+c.cos3x=x có nghi2m trên[−π π, ],∀ , , ∈ Bài 4:Tìm hàm s* ( ) xác ñ%nh và liên tOc trên[ ]0,1 ,biYt r=ng0≤ ( ) 1,≤ ∀ ∈[ ]0,1 và

[ ]

Bài 1: cho dãy s*{ } xác ñ%nh như sau:

1

0

>



ñYn mTt gi@i h\n l và tính l

Bài 2:Ch<ng minh r=ng nYu ( ) là hàm s* xác ñ%nh trên R, thla mãn ñifu

ki2n ( )1 − ( )2 ≤ 1− 23,∀ 1, 2∈ thì ( ) là hàm h=ng

Bài 3: ( ) là mTt hàm s* xác ñ%nh và liên tOc t\i mSi ≠ ,l•y giá tr% không âm,thla mãn ñifu 0 ki2n:

0

( )≤ ∫ ( ) ,∀ ≥0,trong ñó k là mTt h=ng s* dương.Ch<ng minh r=ng: ( ) 0,= ∀ ≥ 0

G}i ý:xét sh biYn thiên c'a hàm s*

0

( )= − ∫ ( ) trên(0, +∞ )

Bài 4: Hàm s* ( ) thla mãn ñifu ki2n ''( ) 0,≥ ∀ ∈ Ch<ng minh

r=ng: [tx+(14t)y] tf(x)+(14t)f(y), x,y R, t≤ ∀ ∈ ∀ ∈( )0,1

Bài 5: Cho các s* thhc 1, , , khác nhau tZng ñôi mTt.Ch<ng minh r=ng: 2

1 + 2 + + = ∀ ∈ khi và chp khi 0, 1= 2 = = .

= + Xét dãy s*{ } xác ñ%nh bii 0

1

+

=







a) Ch<ng minh r=ng phương trình ( ) = có mTt nghi2m duy nh•t 1,1

2

α∈ 

  b) Ch<ng minh r=ng 1,1 ,

+

c) Ch<ng minh r=ng '( ) tăng trên 1,1

2

 .Suy ra ton t\i mTt s* ∈( )0,1 sao

d) Ch<ng minh r=ng lim α

→∞ = Bài 2: V@i hai s* x,y thuTc R ta ñnt ( , )

1

−

= + − ,ch<ng minh r=ng v@i ba s* x,y,z thuTc R ta luôn có: ( , )≤ ( , )+ ( , )

Bài 3: Cho hàm s* ( ) có ''( ) và a < b,ch<ng minh r=ng:

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	230,34 KB