Đề và đáp án HSG 9

Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB.. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E.. Tia Cx vuông gốc với tia CE cắt tia AB tại F.. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.. Khi đ

đề thi học sinh giỏi lớp 9

Môn toán

Thời gian làm bài 150 phút

-Câu 1:

Tính giá trị biểu thức:  3 2 2007

2 8

 x x A

5 6 14 5

38 5 17 3













x

Câu 2:

Cho hàm số y = mx2 + (m + 3)x + 1 – 6m (1)

Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ xOy, đồ thị của hàm số (1) đã cho luôn

luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m

Câu 3:

Chứng minh bất đẳng thức:

1 1 2007 3

1 2007

3

1 3

2007

1 2

2007

1 1

2007

1























Câu 4:

Gọi hai nghiệm x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai:

x2 + (m2 +5)x– 1 = 0 với m Z 

a Tính tổng 6

2

6

1 x

x  theo m

b Tìm các giá trị của m để sao cho 6

2

6

1 x

x  chia hết cho 3

Câu 5:

Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia

DA tại E Tia Cx vuông gốc với tia CE cắt tia AB tại F Gọi M là trung điểm của

đoạn thẳng EF

1 Chứng minh rằng :

a ACE BCM và EAC MBC

b Khi điểm N chạy trên cạnh AB nhng không trùng với A,B thì trung điểm M

của đoạn EF luôn chạy trên một đờng thẳng cố định

2 Xác định vị trí của N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần

diện tích hình vuông ABCD

Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9

đề I

Câu 1:

Biến đổi tử số:

 

3

2 2

17 5 38 17 5 38

Biến đổi mẫu số:

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

 

3 5 3 5

5 3 5

5 6 14 5

2



















Vậy

3

1

thay vào biểu thức A ta có:

2007 2007 2

2

2007 2

3

3 2

3

8 3 1

2 3

1 8 3

1 3



































































A

Vậy A=32007

Gọi A (x0; y0) là điểm nào đó mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua mọi giá trị của m

Vậy x0; y0 phải thoả mãn với mọi m:

(*) 1 3 )

6 (

:

6 1 3

0 0 0

2 0

0

2 0 0





















x y m x

x Hay

m x

m mx y

Phơng trình (*) đúng với mọi m nên phải có :

) 2 ( 0 1 3

) 1 ( 0 6

0 0 0

2 0













x y

x x

Phơng trình (1) có 2 nghiệm x0=2 ; x0=-3

Thay x0 = 2 vào (2) ta có y0=7; thay x0=-3 vào (2) ta có y0= -8

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn luôn đi qua hai điểm

A(2;7) và B(-3;-8)

Câu 3: Chứng minh bất đẳng thức:

1 1 2007 3

1 2007

3

1 3

2007

1 2

2007

1 1

2007

1























Đặt n=2007 ta cần chứng minh:

1 3

1

3

1 3

1 2

1 1

1























n n n

n n

Viết :

1

1 2

1 3

1 1 3

1



















n n

n n

Cộng (1) với (2) đợc

       3 1 1 (3)

1 2

3

1

3 2

1 1

3 1

1 1

2

2

1 1 3

2 4 2

3

2 4

3 2

2 4 1

3

1

2

4

1

1 1 3

1 2

1 3

1

3

1 2

1 1

3

1 1

1

2

















































































































































n n n

n n

n n

n

n

n n

n n

n

n n

n

n n

n

n

n n

n n n

n n

n

P

Mỗi mẫu số trong các số hạng của(3) có dạng:

(n + k)(3n – k + 2)=(2n + 1)2- (n – k + 1)2< (2n + 1)2 với 1 ≤ k ≤ 2n + 1

Tổng của (3) có 2n + 1 số hạng nên

1 2 ).

1 2 ( 2







n

n n

P

Câu 4

Đặt a=m2 + 5, ta có phơng trình:

x2 + ax – 1 = 0 với aZ theo định lý Vi ét : x1 + x2 =-a, với aZ và x1.x2 =-1

Biến đổi       4 ( 1 )

2 2 1

4 1

2 2

2 1 3 2 2 3 2 1

6 2

6

1 x x x x x x x x x

từ   2 2 2

2 1

2 2 1

2 2

2

1 x x x  x x a 

x

và   3 2  2 22 3

1

2 1 2 2 2

2 1

4 2 2 1

4

1  x x x x x  x x a  

x

Thay vào (1) đợc:

0,25 điểm 0,25 điểm

0,5 điểm 0,75 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

   2  3  

a Thay a = m2 + 5 vào (2) ta đợc:

6 6  2 2 3  2 2

x x  m      m   

b Từ (2)ta có: 6 3  2 23 3 ( 3 )

2

6

x

Ta chứng minh rằng: 3 3 3



đặt b = 3t + r với r = 0,1,2 thì b3 = 27t3 + 27t2 r + 9tr 2 + r3 nghĩa là

t b r











vậy (3) xẫy ra khi 2 2 2 1 3 3 2 1 3









a

hay  m2  5 2  1 3    m2  6   m2  4 3    m m2 2  1 3   (4)

đặt m = 3t + rvới r= 0,1,2 thì (4) xẫy ra  m = 3t

Vậy x16  x26  3  m  3

Câu 5:

1.Hai điểm A và C cùng nhìn EF dới 1 góc vuông nên A,C dều nằm trên đờng tròn

tâm M, đờng kính EF

Từ đó FEC FAC  45 0và các góc ECM, MCF, CFM đều bằng 450

Suy ra: CE = CF từ đó ACE  450  ECB BCM

Hơn nữa EAC1350 MBC. Suy ra EAC MBC

2 Đặt BN = x với 0 < x < a thì AN=a – x  0 từ đó AEN BCN

x

a x

x a a AE BN

AN BC

AE













2

(1)

Từ CD = CB, CE = CF và DCE 450  ACE 450BCM  BCF

Suy ra CDE  CBF do đó BF = DE = DA + AE =

x

a a x

a

a 2   2 (2)

Ta có AF = AB + BF =

x

a

a 2 (3)

Từ (1), (2), (3) tính đợc : SACFE= SCBF + SACB + SFAE =ẵ(a2 + AE.AF +CB.BF)

= 2

3 4 3 2

2 2

2 2

1

x

x a a x

a a x

a a x

a











































0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Để SACFE = 3SABCD cần giải phơng trình 2

2

3 4

3

x a a





hay 6a2 x2 - a3x – a4 = 0 <=> 6x2 - ax – a2 = 0

Giải phơng trình này đợc :

3

;

2 2

1

a x a

x    (loại) vậy

2

a

BN 

0,25 điểm