đề và đáp án HSG lớp 10 ( cực hay !)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN - LỚP 10

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (3điểm)

Giải phương trình:

2

Bài 2: (3,5điểm)

Giải hệ phương trình:

4





Bài 3: (3,5điểm)

Cho a và b là hai số thực dương , m là số tự nhiên.

Chứng minh:

1

m



Bài 4: (3điểm)

Tìm m để phương trình:x2  mx m 2 30 có hai nghiệm x x1, 2 là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 2

Bài 5: (3,5điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A , gọi l là đường phân giác trong của góc A.

Chứng minh:

2bc

l





Bài 6: (3,5điểm)

Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(4;6) cắt trục Ox , Oy theo

thứ tự tại Aa;0 , B0;b (với a > 0 , b > 0) và sao cho diện tích tam giác OAB bé nhất.

………Hết………

ĐÁP ÁN

Bài1: Giải phương trình

*Đưa pt về:

2x  3x 3 2 2x  3x2 0

*Đặt : t 2x2 3x2,t o

*Đưa pt về:t2 2 1 0t 

3đ

05 05 05 05

*Nên:

1



Bài 4: Định m

075

3đ

*Giải được: t 1

*Giải được:

1 1, 2

*Kết luận

Bài2: Giải hệ phương trình

*Điều kiện: x0,y 0

*Đặt: S x y P,  x y.  xy

*Theo đề: S = 4

*Nên: x + y = 16 – 2P

*Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

(x+y)2 2xy 2xy8 2

*Hay: 16 2 P2 2P2  2P8 2

 2P2 32P128 8 2 2P

 P2 32P128 8  P

8

P





 



 P4

*Nên x; y là nghiệm của pt:

X2  4X   4 0 X1X2  2

*Kết luận:Nghiệm của hệ:

4 4

x y











Bài 3:Chứng minh bđt

* a > 0,b > 0 nên 1 0,1 0

*Áp dụng bđt Cosi :

*Hay:

* Áp dụng bđt Cosi cho 2 số 0, 0

05 05

35đ

025 025 025 025 025 05 025 05 025 025 05

3đ

05

075 05

05

3,5đ

05

*Điều kiện:

0

0

S

 





 



2

3 0 0

m m



 



2 2

4 3 0

m m m



 

  3m2

*Theo Pitago và giả thiết: x12x22 4

2

2

2 2

m m

*Kết luận:Không có giá trị nào của m để

1, 2

x x

Là hai cạnh góc vuông của một tam giác

có cạnh huyền là 2

Bài 5: Chứng minh

*Ta có:

1 2

ABC

sin 45

ABD

sin 45

ACD

S ABC S ABDS ACD

*Nên:

bc cl bl

2 2 2

bc l

b c

 



*Kết luận

05

05

05

05 025

025 025 025 025

025

3,5đ

05 05

05 05 05 05 05

Ta có: 2

b a

a b 

Bài 6:Viết phương trình đường thẳng d

*Ta có pt AB có dạng: 1

a b 

*M4;6 AB 4 6 1

a b

*Mà :

2

a b  ab (Theo Cosi)

*Nên:

*Do đó: dt OAB 48

*Dấu “ = “ xảy ra khi:

2

a b

*Suy ra:

8 8( ai)

a











*Nên: a 8 b12

*Diện tích tam giác OAB bé nhất là 48 khi :

a8,b12

*Vậy pt AB là: 8 12 1

025 025

05 025 05

025 025 05 025