Dấu bằng xảy ra khi nào?. EC ta có EC ED = EB EA và Góc E chung nên tam giác EDA c Ta có M là trực tâm của tam giác ECB.. Vậy điểm I xác định hay SOMI là không đổi... Giáo viên ra đề: L
Trang 1Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 2009–
Môn: Toán – lớp 8.
Thời gian làm bài 120 phút
………
Câu 1: (2,5 điểm)
Cho A =
9 6
6 11 3
2
2
+
−
+
−
x x
x x
a Tìm giá trị của x để A = 0
b Tìm x ∈ Z để A nhận giá trị nguyên
Câu 2: (3,5 điểm)
a Chứng minh rằng ∀a, b, x, y thì (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu bằng xảy
ra khi nào?
b Cho 2x2 + 3y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2x+3y
c Cho 0 < a, b, c < 2 Tìm a, b, c biết: a(2 - b) = 1; b(2 - c) = 1; c(2 - a) = 1
Câu 3: (3,0 điểm)
Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E Chứng minh:
a EB.ED = EA.EC
b Góc ADE = 450
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho điểm M ở trong góc x0y Một đờng thẳng d đi qua điểm M cắt 0x và 0y tại A
và B (A≠ 0; B≠ 0) Chứng minh:
MB
MA S
S0 0
1
tam giác)
……….Hết……….
Trang 2Đáp án và biểu điểm
câu 1
) 2 3 )(
3 (
−
−
−
x
x x
Điều kiện để A xác định là x≠ 3
Để A = 0 thì (x - 3)(3x - 2) = 0 hay x – 3 = 0 hoặc 3x – 2 = 0
Vậy x = 3 hoặc x =
3
2
đối chiếu với điều kiện A xác định thì x = 3 (loại)
x =
3
2
(thỏa mạn) Vậy x =
3
2
thì A = 0
1,0
0.5
3
2 3
−
−
x
x
= 3 +
3
7
−
x
Vì x∈Znên x – 3 ∈Z
Vậy để A∈Z thì x – 3 = (7)
−
=
−
=
−
−
=
−
=
−
7 3
7 3
1 3
1 3
x
x
x
x
Vậy x = 4; x = 2; x = 10; x = -4
0.5
0.5
Câu 2
a
(ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2)
⇔ a2x2 + b2y2 + 2axby ≤ a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2
⇔ a2y2 – 2 axby + b2x2 ≥ 0 ⇔ (ay – bx)2 ≥0 ∀a, x, b, y
Dấu = xảy ra khi: ay = bx hay
a
x
=
b y
1,0
0,5
b (2x + 3y)2 = ( 2 2x + 3 3y)2 ≤ ( 22 + 32) [( 2x)2 + ( 3y)2
]
(áp dụng kết quả câu a)
Hay (2x + 3 y)2 ≤ 5(2x2 + 3y2) = 5
Vậy giá trị lớn nhất của 2x + 3y là 5 khi x = y =
5 1
Giá trị nhỏ nhất của 2x + 3y là - 5 khi x = y = - 15
0.75
0.25
Hay a(2 – a)b(2 – b)c(2 – c) = 1 (vì 0 < a, b, c < 2 nên các thừa số trên
đều dơng)
Theo BĐT Cosi ta có:
a +(2 – a) ≥ 2 a( 2 −a) hay a(2- a) ≤ 1
Tơng tự b(2 - b) ≤ 1
c(2 - c) ≤ 1
⇒ a(2 – b)b(2 – c)c(2 – a) ≤1 để dấu bằng xảy ra thì:
a = 2 – a; b = 2 – b; c = 2 – c
Hay a = b = c =1
1,0
Trang 3Câu 3
giác vuông có chung góc E)
M
A B
D
E
1,0
b
Từ EB ED= EA EC ta có
EC
ED
=
EB
EA
và Góc E chung nên tam giác EDA
c
Ta có M là trực tâm của tam giác ECB
Tơng tự câu a ta có: BD BE = BH BC
CA CE = CH CB
1,0
Câu 4
A
I M
O
B y
Kẻ MI// OB (I ∈OA) Vậy điểm I xác định hay SOMI là không đổi
Ta có
OAB
OMB
S
S
=
BA
BM
mà
BA
BM
=
OA
OI
(do IM//OB) mà
OA
OI
=
MOA
MOI
S S
1,0
Trang 4nên ta có
OAB
OMB
S
S
=
MOA
MOI
S
S
hay
OMA OMB
OMA OMB
S S
S S
+
.
= SOMI
OMA
OMB
OMA
OMB
S
S
S
S
.
+
=
OMI S
1
⇒
OMA S
1
+
OMB S
1
=
OMI S
1
(không đổi)
Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa
Giáo viên ra đề: Lê Văn Tuấn Trờng THCS Bạch Liêu