Xét dấu nhị thức bậc nhất: Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a... Ứng dụng của dấu nhị thức bậc nhất a.. Giải bất phương trình tích hoặc bất phương trìn
Trang 1BÀI TẬP: DẤU CỦA NHỊ THƯC BẬC NHẤT
1 Định nghĩa:
Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a
) 0
≠
2 Xét dấu nhị thức bậc nhất:
Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a
x −∞
a b
− +∞ f(x) trá i dấu a 0 cùng dấu a
* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3
Giải
Đặt f(x)=0 2x+3= 0 x = 2
3
−
x −∞
2 3
− +∞ f(x) 0 +
* Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x)
Giải
Đặt x-2=0 x= 2
5-3x= 0 3
5
=
x
lập bảng xét dấu:
x −∞ 5 3 2 +∞ x-2 - - 0 +
53x + 0
A 0 + 0
Vậy A < 0
)
; 2 ( ) 3
5
;
∈
x
; A > 0
) 2
; 3
5 (
∈
x
; A= 0 ⇔ x=2; 5/3
Trang 2Nhận xét về dấu của các biểu thức trong ví dụ 1 và ví dụ 2
) 3 )(
1 2 (
−
−
−
x
x x
3 Ứng dụng của dấu nhị thức bậc nhất
a Giải bất phương trình tích hoặc bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đó Sau đó kết hợp với chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm của bất phương trình đó (phần nào không lấy thì gạch bỏ)
Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau
a)
1 2
4
3 >
−
−
x
x
b) x+ < −x
−
2
3 1 3 4
Giải
a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
1 2 4 3 > − − x x 0 2 2 2 0 1 2 4 3 > − − ⇔ > − − − x x x x đặt 2x-2 = 0 x=1 x-2 = 0 x = 2 xét dấu biểu thức f(x)= 2 2 2 − − x x vậy S= ) ; 2 ( ) 1 ; (−∞ ∪ +∞
b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho x+ < −x − 2 3 1 3 4 0 2 3 1 3 4 < − − + − x x
0 ) 2 )( 1 3 ( 11 5 < − + − − x x x x −∞ 1 2 +∞
2x-2 - 0 + +
x-2 - - 0 +
f(x) + 0 - // +
Trang 3Xét dấu biểu thức f(x)=
) 2 )(
1 3 (
11 5
x x
x
− +
−
−
Đặt -5x-11 = 0 x = 5
11
−
2 0
2
3
1 0
1 3
=
⇔
=
−
−
=
⇔
= +
x x
x x
Vậy S = ) 2 ; 3 1 ( ) 15 11 ; (−∞ − ∪ − c Giải Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1 Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2 Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải * Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối > ≥ < ⇔ > − < > ≥ ⇔ > − < ⇔ > • < > ⇔ < − < < ≥ ⇔ < < − ⇔ < • < + − ⇔ < ⇔ < • 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ) )( ( B A B B B A A B A A B A B A B A B A B B A A B A A B A B B A B A B A B A B A Ví dụ 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = 3 (1) Giải Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4 x −∞
5 11 −
3 1 − 2 +∞
-5x-11 + 0 - - -
3x+1 - - 0 + +
2-x + + + 0 -
f(x) - 0 + // - // +
Trang 4x −∞ 1 2 +∞ x-1 - 0 + +
2x-4 - - 0 +
nhìn vào bảng xét dấu ta có:
* nếu x
) 1
; (−∞
∈
thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3
-3x = -2 x = 3
2 (nhận)
* nếu x
) 2
; 1
[
∈
thì (1) x-1-(2x-4) = 3
x = 0
) 2
; 1 [
∉ (loại)
* nếu x
)
; 2
∈
thì (1) x-1+2x-4 = 3
3x=8 x =3
8 (nhận)
Vậy S =
3
8
; 3 2
Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau:
a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x
Trang 5BÀI TẬP VỀ NHÀ: DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
* TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Giải và biện luận phương trình bậc nhất dạng ax + b >0ax > -b (1)
Biện luận:
+ Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b
- nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm
- nếu b≤
0 thì bất phương trình vô nghiệm
+ Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x > a
b
−
+ Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm x a
b
−
<
Kết luận
2 Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a≠
0)
x
-∞ -b/a +∞ f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất
Trang 6( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k);
) )(
(
) ) (
)(
(
m kx h gx
f ex d cx b ax
+ +
+ +
+
…) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu
* Các bước xét dấu biểu thức :
B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất
B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu
B4 : Tổng hợp => kết luận
3 Giải bất phương trình bậc nhất
B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x) ≥
0 hoặc f(x) ≤
0
B2 : Xét dấu biểu thức f(x)
B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm
4 Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng
(2) pt Baát
(1) pt Baát
(I)
B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1
B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2
B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1
∩
S2
* Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối
>
≥
<
⇔
>
−
<
>
≥
⇔
>
−
<
⇔
>
•
<
>
⇔
<
−
<
<
≥
⇔
<
<
−
⇔
<
•
<
+
−
⇔
<
⇔
<
•
2 2
2 2
2 2
0 0 0
0
0 0
0
0 ) )(
(
B A B B
B A A
B A A B
A
B A
B
A
B A B B A A
B A A B A B
B
A
B A B A B A
B
A
a. f(x)= (2x−1)(x+3)
b. f(x)= 4x2 −1
c. f(x)=
d. f(x)=
( 1)( 2)
x
+
e. f(x)=
2x 1− x 2
f. f(x)= (−3x−3)(x+2)(x+3)
Trang 7g. f(x)= (4x−1)(x+2)(3x−5)(−2x+7)
h. N= −x3+7x−6
O= x3+x2−5x+3 P=x2−x−2 2 Q=
R=
2
2
S=
2
2
−
T=
2
1
x
+ − + +
2
2 2
) b)
) d) 1
a
c
e) (- x + 3) 7 (x – 2)(3 -2x) > 0 f) (x + 3)8 (2x – 3)(3 - 4x) > 0
2
2 ( 2)
a
b
≤
<
2 2
4
c
d x
+ <
− + <
−
2
3
2 2
1 2
e x
x x
x
>
− + ≥ −
−
a)
x
− + >
− +
b)
− > +
c)
3 1 2
− < −
d)
x
x
2
− >
−
e)
x x
2 − ≥ −
−
1 2≤ 1
− <
h)
x
2
1 2+ ≥ −
−
i)
− < +
2)
3)
x − x− − =
4)
3
1− = + +x 1 x x
5)
6)
1 4− x ≥2x+1
Trang 87)
8)
2x+ > −5 7 4x
9)
2 2
4 1 2
x x
+ +
10)
2
2
1 4
x
−
11)
1 0 3
x
x − + >
−
12)
2
2 3
x
−
≥
13)
2
2
x
+ −
≥
14)
2
2
2 1
x
x
≤ −
15)
2
2
1 5
≥ + −
16)
2 x − − =x 3 3
17)
2 2
x x
− + +
= +
18)
x ≤ x− + −x
19)
x− − + <x
20)
2
2
1 2
≥ + −
21)
x− − >x x+ x
22)
2 2
x x
x x
− −
≥
−
23)
x+ + − =x
24)
x+ ≤ − +x x
25)
− <
1 2 3
4 /
; 6 2 6 3 4
/
; 1 2 4 5 /
; 4 7 5 2 /
; 0 2 1 /
2
2 2
2
≥ + +
−
−
<
− +
−
−
>
−
−
≥ +
<
−
−
x x
x x e x
x x x d
x x c
x x
b x
x
a
a) |x+1|+|x−1|=4 b)
( 1)( 2) 2
x
− >
c) |5+x|+|x−3|=8 d) |x2−5x+6|=x2−5x+6 e) |2x−1|= x+2 f) |x+2|+|x−1|=5
2
2 1
x
+
k) |x−2|>2x−3 l) |x+1|≤ |x|−x+2
a) mx+ 9 > 3x + m2 b) 2mx+1≥ x+4m2
d) x(m2−1) < m4−1 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x−1)
Trang 91 3
2 / 4
2 2 3 /
; 2 5
/
; 2 3 13 1 /
; 5 24 /
; 2
18
/
2 2
2
2
+
<
−
−
−
−
≥ +
−
−
>
−
>
−
−
−
≥
−
<
+
x x
x f
x x
x e x
x
d
x x c
x x
b x
x
a