đổi vai trò của ẩn và tham số để giải PT

ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN VÀ THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Trần Văn ĐoànTrường THCS Nghĩa Đồng – Nghĩa Hưng- Nam định Phương trình bậc cao có chứa tham sô ùthường là khó.. Để giải quyết lo

ĐỔI VAI TRÒ CỦA ẨN VÀ THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Trần Văn Đoàn

(Trường THCS Nghĩa Đồng – Nghĩa Hưng- Nam định)

Phương trình bậc cao có chứa tham sô ùthường là khó Để giải quyết loại phương trình này ta tìm cách hạ bậc của phương trình, đưa về dạng phương trình quen thuộc như phương trình bậc hai… , bằng cách đặt ẩn phụ,hoặc đưa về phương trình tích… Trong bài viết này tôi giới thiệu cùng bạn đọc tham khảo việc đổi vai trò của ẩn và tham số để giải quyết phương trình bậc cao.Sau đây là một số ví dụ minh hoạ

Bài 1: Cho phương trình:

∆ ′ = 9x2 – 4(– x4 – x3 + 2x2 ) = 9x2 + 4x4 + 4x3 – 8x2

= x2 (2x + 1)2 ≥ 0

=>

22

2 2 2

x x a

x x a

1 2 0

1 8 0

a a

phương trình (1) có nghiệm

Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

a3 x4 + 2a2 x2 + x + a + 1 = 0 (1)

Giải:

Nhận xét : Ta thấy tham số a có bậc cao nhất là 3 , nên nếu đổi vai

trò của ẩn và tham số ngay thì cũng chưa đưa được về phương trình bậc hai

Cách giải như sau:

+)Với a = 0 phương trình (1) luôn có nghiệm x = -1

+)Với a ≠ 0 , nhân hai vế của phương trình với a ta

=>

2 2

′∆ = − ≥



 ′∆ = − ≥



⇔

5 2 1 2

a a

Xem phương trình (*) là phương trình bậc hai với ẩn số là a , có biệt số:

∆ ′ = (x2 - 5x – 1)2 - (x4 – 10x3 + 22x2 + 12x)

= x4 + 25x2 + 1 – 10x3 – 2x2 + 10x – x4 + 10x3 – 22x2 – 12x

4

22

1 (2 1) 2

1 (2 1) 1 2

x

a x

x

x x a

x x

⇔

4 6

10 6 2

x x

– 6x2 + 4x + 2a = 0

⇔ a2 – 2(x2 – 1 )a + x4 - 6x2 + 4x = 0

Coi đây là phương trình bậc hai theo a , có biệt số:

( 1) (2 1) ( 1) (2 1)

8x + 3 = 0 ⇔ 1

2 3 2

x x

. a < - 3 : Phương trình đã cho vô nghiệm

. – 3 ≤ a < - 1 : Phương trình đã cho có nghiệm : x

Bài 1: Giải phương trình : x4 - 2

2 x2 - x + 2 -

2 = 0

Bài 2: Giải phương trình : 8x2- 8x + 3 = (2x – 1) 8 6 3 x x 2 − +

Bài 3 : Giải phương trình: x3 – 2ax2 + (a2 + 1)x – 2a + 2 = 0 ( a là tham số)Bài 4: Giải phương trình : x =

Bài 5: Tìm m để phương trình : x = m + 1 -

1

m x + − có nghiệm

Bài 6: Tìm m để phương trình : x2 + 1 = (3 2 ) 2 2 − + + − mx x m 2 2 có nghiệm