Đường phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại D... + Giả sử bđt dã cho đúng với mọi cặp số thực x, y không âm... Lấy A, đối xứng với A qua BD thì A, thuộc BC.. Ký hiệu Sn là tập hợp cách x
Trang 1UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011 Mụn thi: Toỏn
Thời gian làm bài: 180 phỳt (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 08 tháng 10 năm 2010
==========
Câu 1 (4 điểm)
Tìm số thực k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau thoả mãn với mọi cặp số thực x, y không âm:
y x k y x y
x
− +
+
≤
+
2 2
4
10
10
Câu 2 (3 điểm)
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau:
x2 + 2.y2 + 3.z2 = 4 2010
Câu 3 (5 điểm)
Cho hàm số f R: →R thoả mãn f x( + = 1) f x( ) 6, + ∀ ∈x R
Hãy tính: limx→+∞ f x ( ).
Câu 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A Đường phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại D Biết rằng
BC = BD + AD, hãy tính góc A
Câu 5 (4 điểm)
Cho ba loại bi xanh, đỏ, vàng Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng 7 viên bi (có thể không đủ ba loại) sao cho không có hai viên bi xanh và đỏ cạnh nhau?
=========== Hết ===========
Họ và tờn thớ sinh : ……….Số bỏo danh :…………
(Đề thi này có 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Mụn thi: Toỏn
Ngày thi: 08 tháng 10 năm 2010
==========
Câu 1
+) Giả sử bđt dã cho đúng với mọi cặp số thực x, y không âm
2
1 2
1
k
k ≥ − = (1 điểm)
_ Dễ thấy bđt đúng khi x không âm và y = 0
y
x
(*) 0 ) 1 ( 2
1
2
1
0
4
4
≤
−
−
+
−
+ t k t
t
2
1 2
1
0
4
4
−
−
+
− + t k t
1 ) 2
1 ( 2
4
4
3
− +
t t
Từ t ≥ 1suy ra f,(t) < 0
0 )
1
(
)
2
1
4 −
=
k (3 điểm) Câu 2
+) Gọi (x0; y0; z0) là 1 nghiệm của pt
Với số tự nhiên n, đặt xn = 2xn+1, yn = 2yn+1, zn = 2zn+1
0 2 0 3 0 2 2
Do đó x0 và z0 cùng chẵn hoặc cùng lẻ, dẫn đến (x02 + 3.z02) chia hết cho 4, rồi 2y02 chia
hết cho 4, suy ra 2y02 chia hết cho 8, suy ra (x02 + 3.z02) chia hết cho 8, do đó x0, z0 cùng
chẵn
Như vậy x0, y0, z0 phải cùng chẵn
, ,
x y z N
∈
Bằng cách suy luận như trên, dẫn đến xn, yn, zn cùng chẵn ∀n∈N,n≤ 1339
Suy ra:
) 2
; 2
; 2 ( , ) 0
; 0
; 2 ( )
;
; ( (1;1;1) , (2;0;0) )
z
; y
; (x 4 3
2
,
2009 2009 2009 2
2009
2 2009
2
2009
2009 2009
2009
= +
+
∈
z y x z
y
x
N z
y
x
+) Dễ thấy (x;y;z) = ( 2 2010 ; 0 ; 0 ), ( 2 2009 ; 2 2009 ; 2 2009 )thoả mãn pt đã cho
Vậy đó là nghiệm cần tìm
( 3 điểm)
Trang 3D
C
E
A ’ B
F
Câu 3
+) Từ giả thiết suy ra f(x) không âm với mọi x thực
+) Xét x0 thực bất kỳ
Với mỗi n tự nhiên, đặt un = f(x0 + n) Khi đó
+
−
=
−
+
= +
+
) 2 (
) 2 )( 3 ( ) 1 (
6 2 2 1 1 n n n n n n u u u u u u - Nếu u0 > 3 thì, bằng quy nạp: từ (1) suy ra un > 3 từ (2) suy ra 3 < un+1 < un với mọi n tự nhiên Do đó tồn tại lim(un) = L và L= L+ 6 ⇒L= 3
- Nếu 0 < u0 < 3 3 thì, bằng quy nạp: từ (1) suy ra un < 3 từ (2) suy ra 3 > un+1 > un với mọi n tự nhiên Do đó tồn tại lim(un) = L và L= L+ 6 ⇒L= 3 Tóm lại, luôn có lim(un) = 3 Vậy limx→+∞ f(x) = 3
( 5 điểm) Câu 4 Cách 1 Lấy A, đối xứng với A qua BD thì A, thuộc BC Trên BC đặt BE = BD thì EC = AD (1) Kẻ DF song song với BC, F thuộc AB Ta có tam giác BFD cân tại F; FD = FB = DC (2)
Lại có: ∠ADF = ∠ECD ( 3 )
Từ (1), (2), (3) suy ra ∆AADF = ∆ECD⇒ ∠CED= ∠DAF = ∠DA,B Hai tam giác DA,E, BDE cùng cân và có chung góc BED nên 2 3 B D = ∠ . Vì , , , 0 60 CDA ADB A DB A DB ∠ = ∠ = ∠ ⇒ ∠ = Suy ra: , , 60 0 40 0 100 0 2 = ⇒ = ⇒ = + = ∠ = ∠ = ∠CDA ADB A DB B B B A
( 4 điểm) Cách 2
Ap dụng định lý sin cho các tam giác ABD và ABC và đặt B = 2t ta thu được:
Sin4t = sin5t
Câu 5
Ký hiệu Sn là tập hợp cách xếp n bi thành hàng và thoả mãn đề bài; Xn, Dn, Vn là tập hợp cac cách xếp n bi thoả mãn đề bài mà viên bi cuối có màu xanh, đỏ, vàng tương ứng
Ta có:
S n = X n +Y n +V n
Trang 4Từ mỗi cách xếp thuộc Xn+1 ta bỏ viên bi cuối sẽ được cách xếp thuộc Xn hoặc Vn; và
X n+1 = X n +V n
Tương tự:
D n+1 = D n +V n ; V n+1 = X n +Y n +V n = S n
Suy ra:
S n+1 = 2 (X n +Y n +V n) +V n = 2S n + S n−1 (*)
Ta có: S1 = 3; S2 = 7 (S2 ={XX XV DD DV VX VD VV, , , , , , })
áp dụng (*) ta có S3 = 17 ; S4 = 41 ;S5 = 99, S6 = 239, S7 = 577
( 4 điểm)