Câu I (4 điểm) 1. Giải phương trình: 2. Giải hệ phương trình: Câu II (2 điểm) Giả sử lần lượt là số đo các góc của tứ giác lồi bất kì. 1. Chứng minh rằng . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Câu III (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho . Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm ; đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm M. Biết rằng và . Tính các góc của tam giác ABC. Câu V (1 điểm) Cho hàm số thỏa mãn điều kiện với mọi . Chứng minh rằng với mọi .
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4 điểm)
1 Giải phương trình: ( 3 1 cos+ ) 2x+( 3 1 sin cos− ) x x+sinx−cosx− 3 0=
2 Giải hệ phương trình: ( )
2 2
2 2
2 1
2 3 1 , ,
1
xy yz zx
+ + =
¡
Câu II (2 điểm)
Giả sử A B C D, , , lần lượt là số đo các góc DAB ABC BCD CDA· ,· ,· ,· của tứ giác lồi ABCD
bất kì
1 Chứng minh rằng sin sin sin 3sin
3
A B C
A+ B+ C≤ + +
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sin sin sin sin
3
A
P= − + B+ C+ D.
Câu III (1 điểm)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một
số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết
cho 9
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm A B C1, ,1 1 Đường thẳng AA1 cắt đường thẳng CC1 tại điểm
I ; đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC tại điểm N; đường thẳng BB1 cắt đường thẳng
1 1
A C tại điểm P Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 Đường thẳng OP
cắt đường thẳng BC tại điểm M Biết rằng BM =MN và BAC· =2·ABC Tính các góc của
tam giác ABC.
Câu V (1 điểm)
Cho hàm số f : 0;( +∞ →) (0;+∞) thỏa mãn điều kiện ( )3 1 ( )2 2
2
f x ≥ f f x + x
với mọi 0
x> Chứng minh rằng f x( ) ≥x với mọi x>0
-Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………SBD: ………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT chuyên)
Đáp án gồm 4 trang
I
4điểm I.1 (2 điểm)
2
3 1 cos 3 1 sin cos sin cos 3 0
3 cos 1 3 sin cos cos sin cos sin cos 0
3 sin 3 sin cos cos sin cos sin cos 0
3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0 sin cos 3 sin cos 1 0
1
3 sin cos 1
sin
6 2
x
x
π π
0,5
4
4
6 6
2
6 6
π
π
¢
0,5
I.2 (2 điểm)
+) Nếu x= 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm 0,25
+) Nếu x≠0 ta đặt y ax z bx= ; = thay vào hệ ta được 0,25 ( )
2 2
2 2
2
1 2 1
1 2 1
a a b a
a a ab b
x a ab b
0,5
Trang 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
1 2
2 3 1 0
a b
= −
= ±
⇔ + − + + = ⇔ + − + = ⇔ = −
− + =
+) Nếu 1
1
a b
= −
= ±
+) Nếu 2
1 1
1 2
1
2 3 1 0
2 0
a b
b
=
= −
= −
⇔
=
thay a b=11
= −
vào (1) không thỏa mãn, thay
1 2 0
a
b
=
=
vào (1) ta có x= ± 2 Do đó nghiệm của hệ là
( ; ; ) 2; 1 ;0 , 2; 1 ;0
x y z = − −
0,25
II
2điểm II.1 (1 điểm)
Nhận xét Nếu 0 ,0 ;
2
x y
< < < thì sin sin 2sin cos 2sin
Dấu bằng xảy ra khi x= y 0,25
Sử dụng nhận xét trên ta có
4 sin sin sin sin 2sin 2sin
4
A B A B C
A B C
+ +
0,5
sin sin sin 3sin
3
A B C
A+ B+ C≤ + +
Dấu bằng xảy ra khi A B C= = 0,25
II.2 (1 điểm)
3
B C D
t= + +
ta có 2 3 ; 2 1( )
Khi đó theo phần II.1 ta có
t
P≤ − π − + t= − t+ t
0,25
Trang 4Khi đó 3 2 5 2 ( 2 2 )
sin cos 7
P≤ − + t+ t =
÷ ÷
0,25
Đẳng thức xảy ra khi cos 3 ; sin 5 2( )
t= − t = Vậy maxP= 7 ⇔ = = =B C D t A, =2π −3t (với t xác định bởi (1) và (2))
0,25
III
1điểm
+) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau thì chữ
số đầu tiên có 9 cách chọn và có 7
9
A cho 7 vị trí còn lại Vậy ( ) 7
9 9
n A = A
0,25
+) Giả sử B={0;1; 2; ;9} ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 9M nên số có chín
chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một
khác nhau của các tập B\ 0; 9 ; \ 1; 8 ; \ 2; 7 ; \ 3; 6 ; \ 4; 5{ } B { } B { } B { } B { } nên số các số
loại này là 8 7
8 4.7 7
Vậy xác suất cần tìm là
7 9
4.7 1
A
IV
2điểm * Dễ thấy ·
0
1 90
IPC = , do đó O là trung điểm của IC 1 0,5
Do đó · ·
1
CIA =BAC, mà · 1 (· · )
1 2
2
Cùng với ·BAC =2·ABC ta được ·BAC =·ACB=72 ;0 ·ABC=360
M
O
I
N
P
A1
B1
C1
C
0,5
Trang 51điểm f x(3 )≥ f 12 f(2 )x +2 (1)x
Từ (1) suy ra ( ) 1 2 2 ( ) 2 , 0
f x ≥ f f + ⇒ f x > ∀ >x
ữ
ữ
0,25
Khi đú
Xột dóy ( ) an , (n=1,2,…) được xỏc định như sau: 1 2
3
a = và 2
1
0,25
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n ∈ Ơ* luụn cú
( ) n
f x >a x với x > 0 (3) Thật vậy, khi n= 1 thỡ theo (2), ta cú ngay (3)
Giả sử mệnh đề (3) đỳng với n k= Khi đú
1
2 2
+
+
Vậy (3) đỳng với n k= +1
0,25
Tiếp theo ta chứng minh lima n =1 Thật vậy, ta thấy ngay an < ∀ ∈ 1 n Ơ* Do đú:
1
1 ( 1)( 2) 0 3
a + −a = a − a − > , suy ra dóy ( ) an tăng ngặt
Dóy ( ) an tăng và bị chặn trờn nờn hội tụ Đặt lima n =l thỡ 1 2 2
l = l + với l ≤ 1, suy ra l = 1 Vậy lima n =1.Do đó từ (3) suy ra f x ( ) ≥ xvới mọi x > 0 (đpcm)
0,25