Tiet 58 ham so lien tuc

TT GDTX- HN Thanh S¬n.

TT GDTX- HN Thanh S¬n

Hệ thống kiến thức về hàm số liên

tục 1) Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) xác định trên

khoảng K

) x ( f )

x ( f

x

x→ 0 =

f(x) liên tục tại x 0 ∈ K ⇔

2) Hàm số liên tục trên một khoảng

*) Định nghĩa:

- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) đ ợc gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy*) Định lý 1:

Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số l ợng giác liên tục trên tập xác định của chúng

*) Định lý 2:

Tổng, hiệu, tích, th ơng ( với mẫu khác 0) của những hàm

số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó

3) Chøng minh ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã

nghiÖm

*) §Þnh lý:

f(x) liªn tôc trªn

[a ;b]

f(a).f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a;

b):

f(c) = 0

Ph ¬ng tr×nh f(x) = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc kho¶ng (a; b)

Bµi tËp hµm sè liªn tôc

f(x) liªn tôc

t¹i mét

®iÓm

f(x) liªn tôc

trªn mét kho¶ng

f(x) = 0

cã nghiÖm

Vấn đề 1:

Xét tính liên tục của hàm số tại

điểm x0

*)Ph ơng

pháp:

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

 Xỏc định TXĐ D, kiểm tra x Xỏc định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D.

 Tớnh Tớnh f(x0) và

 So sỏnh f(x0) và R ồi đi đến kết luận

0

lim ( )

x x f x

→

0

lim ( )

x x f x

→

Bài 1

(SGK-140)

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số

3

0

Bài giải Tập xác định của hàm

3

x = ∈ R

3 (3) 3 2.3 1

3 3

→ + − = + 33 2.3 1 − = 32





 lim ( )3 (3)

x f x f

→

Vậy hàm

số

3

0

f x = x + x − liên tục x =

tại

*)Bài 2 (141):

Cho hàm số:

g(x)

=

2

x x

−

− nếu x ≠

2

5 nếu x =

2

a, Xét tính liên tục của hàm số g(x) tại

điểm x0 = 2

Bài

giải:

TXĐ: R

g (2)

Kết

luận:

Hàm số đã cho không liên tục tại điểm

x0= 2

2

ớ lim ( )

x

T nh g x

3 2

8 lim

2

x

x x

→

−

2

=

5

= 12

=

> lim ( )x→2 g x ≠ g(2)

=

*)Ph ơng

pháp:

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

b, Trong biểu thức trên cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x0 = 2

b, hàm số liên tục tại 0

2

x

→

=> g(2) = 12 => Thay số 5 bằng số 12 thì

 Xỏc định TXĐ D, kiểm tra xXỏc định TXĐ D, kiểm tra x0 thuộc D.

 Tớnh Tớnh f(x 0 ) và

So sỏnh f(x 0 ) và Rồi đi đến kết luận

0

lim ( )

x x f x

→

0

lim ( )

x x f x

→

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên

một khoảng

*)Ph ơng

phápáp dụng định lý :

1, 2:

các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,

hàm số l ợng

giác, liên tục trên tập xác định của chúng

Cho hàm

số

2

1 ( )

6

x

f x

x x

+

=

+ −

Với mỗi hàm số, hãy

xác định các khoảng

trên đó hàm số liên

tục

a, Hàm số

6 ( 2)( 3)

có tập xác

định là:

( ; 3) ( 3; 2) (2; )

x ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞

=> hàm số f(x) liên tục trên các khoảng

( −∞ − ∪ − ; 3) ( 3; 2) (2; ∪ +∞ )

Bài 4 (SGK-141)

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

Vấn đề

3

Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm

*)Ph ơng

pháp

Sử dụng định

lý 3

f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a;

b): f(c) = 0

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Ví dụ áp

dụng Cho ph ơng trình: x3 - 3 x

+ 1 = 0

Bài

giải:

Chứng minh rằng ph ơng trình có nghiệm ∈ ( 1; 2 )

Hàm số f(x) liên tục trên R ⇒ hàm số f(x) liên tục trên

đoạn [1 ;2] f(1)

=

f(2)

=

3 ⇒ f(1).f(2) = - 3

< 0

⇒ ∃ x0 ∈ ( 1; 2) : f(x0) = 0

Kết

luận:

ph ơng trình có nghiệm ∈ ( 1; 2 )

-1

f(x)= x3 - 3 x + 1

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

Bài 6b,

(SGK-141)

Vấn đề

3

Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệmSử dụng định

lý 3

f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a;

b): f(c) = 0

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc

khoảng (a; b)

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

*)Ph ơng

pháp

Chứng minh rằng ph ơng trình

cosx=x có nghiệm

Giải: Ta có: cosx = x <=> cosx – x =

0

Đặt f(x) = cosx – x Khi

đó

f π = π π− = − <π

f −π = −π + = >π π





 =>f ( ) ( 2 f 2 ) 0

2 2

Vậy ph ơng trình có

2 2

π π

−

Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục

2 2

π π

 − 

Bài 6a

(SGK-141)

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

Chứng minh rằng ph ơng trình

Giải:

3

2 x − 6 x + = 1 0 Có ít nhất hai nghiệm

Đặt f(x)

=

3

2 x − 6 x + = 1 0

[ ] 0;1

Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục

f(-2)

= -9 <

0

f(0) = 1 <

0





 ⇒ − f ( 2) (0) 0 f < ⇒ ∃ ∈ − x0 ( 2;0 : ( ) 0 ) f x0 =

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc

khoảng (-2; 0)

f(0)

f(1) -3 <

0

(0) (1) 0

⇒ < ⇒ ∃ ∈ x0 ( ) 0;1 : ( ) 0 f x0 =

Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc

khoảng (0; 1)

1 <

0

=







Xét

đoạn: [ − 2;0]

Xét

đoạn: [ ] 0;1

=

Vậy ph ơng trình đã cho có ít nhất hai nghiệm

BµI tËp

§3 hµm sè liªn tôc

XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè t¹i mét ®iÓm

XÐt tÝnh liªn tôc cña hµm sè trªn mét kho¶ng

Chøng minh ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm trªn kho¶ng

Bµi tËp vÒ nhµ:

Bµi sè: 3, 5, 6(SGK-Trang 141)

Bµi sè: 6, 7, 8 (SBT -Trang 118)

Cho các hàm số f(x) ch a xác định tại x = 0

Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại x = 0 ?

b) Ta

có:

Vậy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục tại x = 0

Bài giải:

-2

Vậy: có thể gán f(0 ) = - 2 thì hàm số f(x) liên tục tại

x = 0

x

x 2

x )

x ( f ) a

x

x 2

x )

x ( f )

a) Ta có:

Bài toán:

=

lim

0

) 2 x

(

x lim

0 x

=

−

x 2

x lim 2

0

lim

0 x

=

lim

0

2 0

x 2

x

) 2 x

(

x

2

x lim

0

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

Bài số 3 ( tr137 ): Cho

f(x) =

Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3

= 4a ⇔

ax2 nếu x

≤ 2

3 nếu x >

2

( a là hằng

số )

Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

Khi x < 2: f(x) = ax2 nên hàm số liên tục.Khi x > 2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục

Khi x = 2:

Bài

giải:

( ) x lim ax 4 a f ( ) 2 f

2 x 2

→

→

( ) x lim 3 3 f

Lim

2 x 2

→

→

4

3

a =

Vậy

4

3

a = thì f(x) liên tục với

mọi x

Khi đó f( x) =

nếu x ≤ 2

2

x 4

3

nếu x > 2

3

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục

f( x)

=

nếu x ≤ 2

2

x 4

3

nếu x > 2

3

Vẽ đồ thị hàm

số

3

3/4

2 1

-1

y

O

Tiết 92 : Luyện tập về hàm số liên tục