Tiết 22 hàm số liên tục

Hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm , liên tục một phía, liên tục một khoảng, một đoạn, hàm số gián đoạn.. Biết vận dụng các kiến thức đã học để làm bài toán về xét tính liên tụ

2

Hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm , liên tục một phía, liên tục một khoảng, một đoạn, hàm số gián đoạn

Biết vận dụng các kiến thức đã học để làm bài toán về xét tính liên tục của hàm số

1

2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

4

Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 2 (Giải tích toán học), NXB GD Việt Nam, 2009

1

2

3

5

Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, tập 2( Phép tính giải tích một biến số), NXB GD, 2005

Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 2 NXB GD, 2004

Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 2 , NXB Thống Kê 2007

Nguyễn Xuân Liêm ,Giải tích tập I, NXB GD ,2010

Tiết 22: Hàm số liên tục

hàm số một biến số

4.4.1 Liên tục tại một điểm

Giả sử hàm số f(x) xác định tại và trong lân cận của .x0 x0

Hàm số f(x) gọi là liên tục tại nếu x0

lim ( ) ( )

x x f x f x

Khi đó điểm gọi là điểm liên tục của hàm số f(x).x0

Nhận xét: Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm mà nó xác định

hàm số một biến số

Tiết 22: Hàm số liên tục

4.4.Hàm số liên tục

4.4.2 Liên tục một phía

Liên tục phải: Nếu thì f(x) gọi là liên tục phải tại lim ( ) ( ) 0

o

x x+ f x f x

Liên tục trái: lim ( ) ( ) 0

o

x x− f x f x

Nếu thì f(x) gọi là liên tục trái tại x0

Nhận xét :

Hàm số f(x) liên tục tại khi và chỉ khi x0 lim ( ) lim ( ) ( )0

x x f x x x f x f x

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số

sin

khi x 0 ( )

0 khi x=0

x x

f x



= 



4.4.2 Liên tục một phía

Ví dụ 2: Xác định a để hàm số liên tục trên miền xác định của nó:







≤ +

<

=

x

x

f

0 khi 2x a

0 x

khi

2e )

(

x

1)

2

1 cos3

khi x 0 ( )

a khi x 0

x

−



= 



2)

hàm số một biến số

Tiết 22: Hàm số liên tục

4.4.Hàm số liên tục

4.4.3 Liên tục trên một khoảng, đoạn

Ký hiệu: f x( ) ∈ C( ,a b )

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trong (a, b)

và liên tục trái tại a, liên tục phải tại b

Ký hiệu: f (x) ∈ C[a , b ]

f(b) 0

f(a)

x

y

Ý nghĩa hình học

Hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a, b) nếu f(x) liên tục tại

mọi x ∈ ( , ) a b

4.4.4 Các phép tính về hàm liên tục

Định lý 1: Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục tại điểm thì x0

[ f x( ) ± g x( ) ;] [ f x g x( ) ( ) ;] ( )

( )

f x

g x

 

 

  với g x( ) 0;0 ≠ cũng liên tục tại x0

Định lý 2: (Sự liên tục của hàm số kép)

Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại và hàm liên tục tại

(với ) thì hàm liên tục tại y0 = f x ( )0 z = ϕ x ( )0y z = ϕ x ( )0y y0

hàm số một biến số

Tiết 22: Hàm số liên tục

4.4.Hàm số liên tục

4.4.5 Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn

a) Tính chất 1: (Tính bị chặn)

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) bị chặn trên [a, b]

Tức là: ∃ M > ∀ ∈ 0 : x [ ]a b, : ( )f x < M

b) Tính chất 2:

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [a, b]

Tức là: ∃ x x1, 2 ∈[ ]a b f x, : ( ) min ( ); ( )1 = [a,b] f x f x2 = m[a,b]ax ( )f x

c) Tính chất 3:

Nếu f(x) liên tục trên [a, b], f(a) ≠ f(b) và k là một số nằm giữa f(a) và f(b).Khi đó tồn tại ít nhất một số c thuộc (a, b) sao cho f(c)= k

4.4.5 Các tính chất của hàm liên tục trên một đoạn

f(b) 0

f(a)

x

y

c

Ví dụ 3 :

a) Cho hàm số f x ( ) = − − + x x2 5

Chứng minh rằng : ∃ ∈c [1 ;2] sao cho f c ( ) 2 =

b) Cho phương trình x5 − + = 3 x 1 0

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trên đoạn [0,1]

Hệ quả: : Nếu

và f(a).f(b) < 0 khi đó tồn tại 1

điểm sao cho f(c)=0

[ , ].

( ) a b

( , )

c ∈ a b

hàm số một biến số

Tiết 22: Hàm số liên tục

4.4.Hàm số liên tục

4.4.6 Điểm gián đoạn của hàm số

a) Điểm gián đoạn

Ví dụ :

x

x

2) Chứng minh

2

khi x 1

5 khi x 1

−





gián đoạn tại x=1

Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm nếu f(x) không liên tục tại Khi đó điểm gọi là điểm gián đoạn của hàm số.x0 x0 x0

4.4.6 Điểm gián đoạn của hàm số

b) Các trường hợp gián đoạn.

Điểm là điểm gián đoạn của f(x) nếu thuộc một trong các

trường hợp sau:0

x

- Hàm số f(x) không xác định tại x0

-( ) ( )

0

x x − f x x x + f x f x

-c) Phân loại điểm gián đoạn.

Giả sử điểm là điểm gián đoạn của hàm số f(x).x0

Điểm gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàm số f(x) nếu tồn tại giới

hạn trái và giới hạn phải hữu hạn của hàm số f(x) tại 0

x

0

x

Các điểm gián đoạn của hàm số không phải là điểm gián đoạn

loại 1 thì gọi là điểm gián đoạn loại 2.

hàm số một biến số

Tiết 22: Hàm số liên tục

4.4.Hàm số liên tục

4.4.6 Điểm gián đoạn của hàm số

Ví dụ: Xét tính liên tục và phân loại điểm gián đoạn của hàm số:









=

≠

=

0 x

khi 1

0 x

khi

sin )

x x

f

1)

1 sin khi x 0 ( )

0 khi x 0

x



= 



2)







≤

<

≤

≤

=

2 x

1 khi

x

-2

1 0

khi

x )

(

x f

3)

2

Hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, liên tục một phía, liên tục một khoảng, một đoạn và định nghĩa điểm gián đoạn Biết xét tính liên tục của hàm số

Làm các bài tập từ 12 -16 ( trang 115- học liệu [6] tập 2)

3 Chuẩn bị phần kiến thức về đạo hàm và vi phân của hàm một biến