Câu 30 [Q467578771] Cho hàm số Tính và xét tính liên tục của hàm số tại điểm HƯỚNG DẪN hàm số liên tục tại điểm Câu 2 Có Vậy hàm số liên tục tại điểm Câu 3 Có Vậy hàm số liên tục tại đi
Trang 1Câu 1 [Q151383163] Hàm số sau đây có liên tục tại điểm hay không? Tại sao?
Câu 2 [Q899393884] Tìm để hàm số liên tục tại điểm
Câu 3 [Q588756766] Tìm để hàm số liên tục tại điểm
Câu 4 [Q553009000] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Câu 5 [Q700606502] Chứng minh rằng nếu hàm số liên tục tại điểm hàm số gián đoạn tại điểm thì hàm số gián đoạn tại điểm
Câu 6 [Q856067069] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Câu 10 [Q501611164] Hàm số có liên tục tại điểm hay không? Tại sao?
a) Hàm số liên tục tại điểm
b) Hàm số có đạo hàm tại điểm
c) Đạo hàm của hàm số không liên tục tại điểm
Câu 13 [Q775415610] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
THI ONLINE - HÀM SỐ LIÊN TỤC
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (https://www.vted.vn/)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh: Trường:
x = 0 f(x) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
, x ≠ 0
− , x = 0
4x2− x sin 6x − sin 3x
1 3
m, x = 0
1 − cos 2x
m, x = 0
ex− x − 1
f(x) =⎧⎨⎩x2 sin ; x ≠ 0
0; x = 0
1
f(x) =⎧⎨
⎪
; x ≠ 0 1; x = 0
sin x
⎪
; x ≠ 0 2019a − 1; x = 0
(1 − cos ax)(e3x− e5x)
f(x) = {arctan(x − 2) sin ; x ≠ 2
0; x = 2
1
a; x = 0
ln(1 + x) − ln(1 − x)
x (−1; 1)
f(x) =⎧⎨⎩sin ; x ≠ 0
0; x = 0
1
a, b ∈ R f(x) =⎧⎨
⎪
ax + b; x > 1 2; x = 1
ax2− bx + 3; x < 1
R
f(x) =⎧⎨⎩x2 cos ; x ≠ 0
1 x
x = 0
x = 0
x = 0
f(x) = { x2; x ≤ 1
ax + 2; x > 1 x = 1.
Trang 2Câu 14 [Q053433103] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Câu 15 [Q013922609] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Câu 16 [Q555401565] Hãy chỉ ra 1 ví dụ mà các hàm số đều gián đoạn tại điểm mà hàm số
liên tục tại điểm
Câu 17 [Q626161027] Hãy chỉ ra 1 ví dụ mà các hàm số đều gián đoạn tại điểm mà hàm số
cũng gián đoạn tại điểm
Câu 18 [Q907206171] Xét tính liên tục của hàm số trên
Câu 19 [Q291339036] Xét tính liên tục của hàm số
Câu 20 [Q896706989] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Câu 21 [Q405504148] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Câu 22 [Q090602209] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Câu 23 [Q060208002] Tìm số thực để hàm số liên tục tại điểm
Câu 28 [Q260431663] Cho hàm số Tìm để hàm số liên tục tại điểm
Câu 29 [Q538790581] Cho hàm số Chứng minh rằng hàm số liên tục nhưng
không có đạo hàm tại điểm
f(x) =
⎧
⎨
⎪
; x ≠ 1 a; x = 1
x2− 4x + 3
f(x) =⎧⎨⎩ ; x ≠ 0
8; x = 0
1 − cos 4x
f(x) =⎧⎨
⎩a; x = 2; x ≠ 2
2x− 4
f(x) =⎧⎨cos ; |x| ≤ 1
|x − 1| ; |x| > 1 .
πx 2
f(x) =⎧⎨⎩ ; x ≠ 0
0; x = 0
arctan x
f(x) =⎧⎨
⎪
; x ≠ 2 1; x = 2
3x− 9
f(x) =⎧⎨
⎪
; x ≠ 0 0; x = 0
ln(2 − cos23x)
⎪
; x ≠ 0 1; x = 0
ln(ax2+ x + 1) − x
a, b ∈ R f(x) =⎧⎨
⎪
; x ≠ 0 0; x = 0
e2x− 1 + ax + bx2
a, b ∈ R f(x) =⎧⎨
⎪
; x ≠ 0 0; x = 0
ln(1 + 3x) + ax + bx2
⎪
; x ∈ [−1; 1]∖{0}
0; x = 0
arcsin x + ax + bx2
x2
[−1; 1]
⎪
; x ≠ 0 0; x = 0
ex+ sin x − 1 + ax + bx2
x2
x = 0
f(x) =⎧⎨⎩xa sin ; x ≠ 0
0; x = 0 , (a ∈ R).
1
f(x) =⎧⎨(e3x− 1) sin ; x ≠ 0
1 3x
x = 0
Trang 3Câu 30 [Q467578771] Cho hàm số Tính và xét tính liên tục của hàm số
tại điểm
HƯỚNG DẪN
hàm số liên tục tại điểm
Câu 2 Có
Vậy hàm số liên tục tại điểm
Câu 3 Có
Vậy hàm số liên tục tại điểm
Câu 5 Giả sử ngược lại liên tục tại điểm Khi đó:
Mặt khác
Suy ra hàm số liên tục tại điểm , điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh
gián đoạn tại điểm
Hàm số liên tục tại điểm
tại điểm
Vì
Xét tại điểm có:
f(x) =⎧⎨⎩ln(1 + x2) cos ; x ≠ 0
1
f′(x) x = 0
sin 6x − sin 3x
8x − 1
6 cos 6x − 3 cos 3x
−1
6 − 3 13
x = 0
limx→0 f(x) = limx→0 1 − cos 2x = limx→0 = limx→0 2( )2 = 2
x2
2sin2x
x2
sin x x
x = 0 ⇔ f(0) = limx→0 f(x) ⇔ m = 2
ycbt ⇔ f(0) = limx→0 f(x) ⇔ m = limx→0 ex−x−1x2 = limx→0 =
e x −1 2x 12
f(0) = 0 limx→0 f(x) = limx→0 x2 sin = 0x1
0 ≤ ∣∣x2 sin ∣∣ = xx1 2∣∣sin ∣∣ ≤ x1x 2 → 0 (x → 0) ⇒ limx→0 x2 sin = 0.x1
x = 0
f(x) + g(x) x0 limx→x0 (f(x) + g(x)) = f(x0) + g(x0)
lim
x→x 0g(x) = limx→x0((f(x) + g(x)) − f(x)) = limx→x0(f(x) + g(x)) − limx→x0f(x)
= limx→x0(f(x) + g(x)) = f(x0) + g(x0) − f(x0) = g(x0)
f(0) = 1; limx→0+ f(x) = limx→0+ sin xx = 1; limx→0− f(x) = limx→0− sin x−x = −1 ⇒ limx→0+ f(x) ≠ limx→0− f(x) ⇒ f(x)
x = 0
f(0) = 2019a − 1
lim
x→0f(x) = limx→0 = limx→0
= limx→0( )
2
(1−cos ax)(e 3x −e 5x )
x 5 +x 3
2sin 2 ( )(eax2 3x −e 5x )
x 5 +x 3
a 2
2
sin( )ax2
ax 2
e 3x −e 5x
x 3 +x a
2
3x −e 5x
x 3 +x a
2
2 3e
3x −5e 5x 3x 2 +1
x = 0 ⇔ f(0) = limx→0 f(x) ⇔ −a2= 2019a − 1 ⇔ a = 2019±√20192 2+4 f(2) = 0; limx→2 f(x) = limx→2 arctan(x − 2) sin 1 = 0 ⇒ f(2) = limx→2 f(x) ⇒ f(x)
x−2
x = 2
0 ≤ ∣∣arctan(x − 2) sin x−21 ∣∣ ≤ |arctan(x − 2)| → 0(x → 2) ⇒ limx→2 arctan(x − 2) sin x−21 = 0
x ∈ (−1; 1)∖{0} ⇒ f(x) = ln(1+x)−ln(1−x)x (−1; 1)∖{0}
x = 0
f(0) = a; limx→0 f(x) = limx→0 ln(1+x)−ln(1−x)x = limx→0 ln(1+x)x + limx→0 ln(1−x)−x = 1 + 1 = 2
Trang 4Câu 11 Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng
Có
Câu 13 Có
Hàm số liên tục tại điểm
Nếu hàm số gián đoạn tại điểm
điểm
Câu 15 Có
Vì vậy hàm số liên tục tại điểm
Xét
Câu 22 Có
Vì vậy hàm số gián đoạn tại điểm
Câu 23 Ta cần tìm điều kiện để
Có
Vậy
Câu 24 Ta cần tìm điều kiện để:
Theo giả thiết có:
Suy ra
Khi đó:
Vậy
(1; +∞); (−∞; 1)
f(1) = 2; limx→1 + f(x) = limx→1 +(ax + b) = a + b; limx→1 − f(x) = limx→1 −(ax2− bx + 3) = a − b + 3
R ⇔ f(1) = limx→1+ f(x) = limx→1− f(x) ⇔ a + b = a − b + 3 = 2 ⇔ (a; b) = ( ; ) 12 32
f(1) = 1; limx→1+ f(x) = limx→1+ x2= 1; limx→1− f(x) = limx→1−(ax + 2) = a + 2
x = 1 ⇔ f(1) = limx→1+ f(x) = limx→1− f(x) ⇔ a + 2 = 1 ⇔ a = −1
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
lim
x→1 +f(x) = limx→1+ = limx→1+(x − 3) = −2
lim
x→1 −f(x) = limx→1− = limx→1−−(x − 3) = 2 ⇒ limx→1 +f(x) ≠ lim
x→1 −f(x)
x 2 −4x+3 (x−1)
x 2 −4x+3
−(x−1)
x = 1
limx→0 f(x) = limx→0 1−cos 4xx sin x = limx→0 2sinx sin x22x = 8 limx→0 (sin 2x2x )2 sin xx = 8 = f(0)
x = 0
x ≠ 2 ⇒ f(x) = 2x−2x−4 R∖{2}
limx→2 f(x) = limx→2 2x−2x−4 = limx→2 2x1ln 2 = 4 ln 2
lim
= 9 limx→0 ( )2 ( )2 cos2x = 9.1.1.1.1 = 9 ≠ f(0) = 0
ln(2−cos 2 3x) tan 2 x
ln(1+sin 2 3x) tan 2 x
ln(1+sin 2 3x) sin 2 3x
sin 2 3x tan 2 x ln(1+sin 2 3x)
sin 2 3x
sin 3x 3x sin xx
x = 0
limx→0 f(x) = f(0) = 1 ⇔ limx→0 ln(ax2+x+1)−xx2 = 1
limx→0 ln(ax2+x+1)−xx2 = limx→0 −1 = limx→0 = limx→0 =
2ax+1 ax2+x+1 2x
(2a−1)x−ax 2 2x(ax 2 +x+1)
2a−1−ax 2(ax 2 +x+1)
2a−1 2
= 1 ⇔ a =
2a−1
limx→0 e2x−1+ax+bxx2 2 = 0
0 = limx→0 x; 0 = limx→0 e2x−1+ax+bxx2 2
0 = limx→0 x.e2x−1+ax+bxx2 2 = limx→0 ( + a + bx) = a + 2 limx→0 = a + 2 ⇒ a = −2
e 2x −1
2x −1 2x
0 = limx→0 e2x−1−2x+bxx2 2 = limx→0 (e2x−1−2xx2 + b) = b + limx→0 e2x−1−2xx2 = b + 2 ⇒ b = −2
a = −2; b = −2
Trang 5Câu 25 Ta cần tìm điều kiện để:
Khi đó:
Vậy
vậy hàm số liên tục tại điểm
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm
Câu 30 Với
Và
Để xét tính liên tục của hàm số tại điểm
Xét giới hạn:
+) Chọn dãy
+) Chọn dãy
Do đó không tồn tại, vì vậy hàm số không liên tục tại điểm
limx→0 ln(1+3x)+ax+bxx2 2 = 0
limx→0 x = 0; limx→0 ln(1+3x)+ax+bxx2 2 = 0
0 = limx→0 x ln(1+3x)+ax+bxx2 2 = limx→0 (ln(1+3x)x + a + bx) = a + limx→0 ln(1+3x)x = a + 3 ⇔ a = −3
limx→0 ln(1+3x)−3x+bxx2 2 = 0 ⇔ b + limx→0 = 0 ⇔ b − = 0 ⇔ b =
ln(1+3x)−3x
x 2
9
a = −3; b = 92
0 ≤ ∣∣(e3x− 1) sin 3x1 ∣∣ ≤ ∣∣e3x− 1∣∣ → 0 ⇒ limx→0 f(x) = limx→0(e3x− 1) sin 3x1 = 0 = f(0)
x = 0
limx→0 f(x)−f(0)x−0 = limx→0 (e3x−1).sin3x1 = 3 limx→0 sin = 3 limx→0 sin
x
(e 3x −1)
xn = 3n2π1 → 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin 3x1n = limn→∞ sin(n2π) = 0
yn = 1 → 0 (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin = limn→∞ sin(n2π + ) = 1
3(n2π+ )π2
1
x = 0
x ≠ 0 ⇒ f′(x) = 1+x2x2cos + sin ln(1 + x1 2)
x x12 1
x
limx→0 f(x)−f(0)x−0 = limx→0 ln(1+x2) cos −0x1 = limx→0 x cos = 1.0 = 0 ⇒ f′(0) = 0
x−0
ln(1+x 2 )
x 2
1 x
f′(x) x = 0
limx→0 f′(x) = limx→0 (1+x2x2cos + sin ln(1 + x1 2))
x x12 1
x
xn = 2nπ1 → 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f′(xn) = 0
yn= π+2nπ1 → 0 (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f′(yn) = 1
2