Tiet 49 gioi han cua day so

Chương IV: GIỚI HẠN

§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Giáo viên

Bài giảng tại lớp …………

TiÕt 49, 50, 51 vµ 52

I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

 Câu hỏi 1 > Cho dãy số ( un ) với

 a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

 b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:

 Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100;

u2008; … đến 0

 Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n trở nên rất lớn ?

n

un = 1

, 2008

1 , ,

100

1 , ,

10

1 , , 5

1 , 4

1 , 3

1 , 2

1 ,

1

Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao

nhiêu thì khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?

 Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì

khoảng cách này tiến dần đến 0,

hay ta nói rằng un dần đến 0.

 Ta ký hiệu: un 0

 ĐỊNH NGHĨA 1 : ( SGK )

 VÝ dô 1 : Cho d·y sè (un) víi

 Chøng minh r»ng

( )

2

1

n u

n n

−

=

0

+∞

ĐỊNH NGHĨA 2 (SGK)

 Ví dụ 2: Cho dãy số ( un) với

 Chứng minh rằng

 Một vài giới hạn đặc biệt:

Víi k lµ sè nguyªn d ¬ng vµ /q/<1, c -

const

2 3

1

6

+

−

=

n

n

un

2 2

3

1

6

+

−

+∞

n

n

c c

c

q b

n n

a

n

n n

k n

n

=

=

=

=

+∞

→

+∞

→

+∞

→ +∞

→

lim )

0 lim

)

0

1 lim

; 0

1 lim )

II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

 ĐINH LÝ 1 :

a

a b

a

b a

b a

v a

=

≥

=

≥

≠

= +

= +

−

=

− +

+

= +

+

=

=

n n

n n

u lim

vµ

0 a

thi u

lim

vµ n

mäi víi

u NÕu

b)

) 0 b

Õu

lim(

/

lim

µ lim

Õu

0

N

( v

u lim

/

)

lim(

/

) lim(

/

)

: thi b

v a N

)

n n

n n

n n

n n

.v u

v u

b a

v u

u

Các ví dụ:

 Ví dụ 3 :

 Tìm

 Lgiải: Chia cả tử

và mẫu cho n2

thì:

2

2

1

3 lim

n

n

n

+

−

1 1

1 3

1

3

2 2

2

+

−

= +

−

n

n n

n n

Làm thế nào để tìm đ ợc

giới hạn này ?

Em hãy cho biết kết quả tìm đ ợc của mình?

3 1

3 1

1 lim

1 3 lim 1

1 1

v 3

2











 +











 −

= +

−

=











 +

=













n

n n

n

2

2

3n lim n

Nê

n

1 lim

à n

1 -3 lim có

Ta

C¸c vÝ dô :

 VÝ dô 4:

n

n

2 1

4

1 lim

2

− +

Cã thÓ t×m ® îc giíi h¹n mµ kh«ng ph¶i dïng phÐp chia hay kh«ng? NÕu ® îc, H·y tr×nh bµy lêi

gi¶i ?

1 2

2 2

1

4

1 lim

2 1

4

1 lim

2

2

−

=

−

=

−

+

=











 −

+

= +

n n

n n

n

n

2n

-1

4n

1 lim

cã

Bài tập vận dụng

 Bài tập 1 : Biết dãy số (un) thoả mãn:

Chứng minh rằng : lim un = 1

Lời giải :

Do đó |W n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý

kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)

Mặt khác theo giả thiết

Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0 Vậy lim un = 1

( đpcm)

* N n

; ∀ ∈

<

− 1 13

n

un

0

1 lim ,

1

.

1 1

2

2

=

=

−

=

=

−

=

n u

n u

n

n

n n

n n

limw v

cã

Ta

w

vµ v

Æt

§

(2) w

vn = un − 1 ≤ n ≤ wn

Bài tập 2: Tìm n n

n n

2 4

4 5

3 lim

+ +

Hướng dẫn học ở nhà:

 1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và

định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn

 2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc

các công thức của định lý về giới hạn hữu hạn

 3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b,

d ) trang 121.

III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

 1) Kh¸i niÖm:

,

2

1 , , 8

1 , 4

1

2 1

: sau sè

cÊp vÒ

xÐt nhËn

u nª H·y

*/ D·y sè lµ mét cÊp sè nh©n V× sao?

*/ C«ng béi lµ q = 1/ 2, q < 1

*/ D·y sè lµ cÊp sè nh©n v« h¹n

CÊp sè nh©n lïi v« h¹n lµ cÊp sè nh©n v« h¹n

cã c«ng béi q víi / q / < 1

III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

,

3

1 , ,

27

1 ,

9

1 ,

1

−











−

−

n

3

1

1,-Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?

Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó?

Hóy nờu cụng thức tớnh tổng Sn của cấp số nhõn lựi vụ hạn biết u1 và Cụng bội q, với /q/ < 1

Tỡm giới hạn của tổng Sn khi n —> +∞ ?

Lêi gi¶i:

0

1 1

1 lim

1 1

*

1

1

1 1

1

1 1

1 2

1

=

−

=





















−

−

−

=









−

−

−

=

−

−

= +

+ +

=

n

n

n n

limq

limS

S : d¹ng vÒ

ViÕt

S ã

Do

q

u q

q

u q

u ra

Suy

q q

u q

u

q

q

u u

u u

n n

n n

c Ta

q

u u

u

−

= +

+ +

+

=

1

2 1

Tæng S

C¸c vÝ dô :

 VÝ dô 5: TÝnh tæng cña c¸c cÊp sè

nh©n lïi v« h¹n (un), sau:

n

3

1

=

n

u Víi

2

1

, 8

1 , 4

1 , 2

1 , 1

1

+











−

+ +

−

−

−

n

Víi 2/

§¸p sè: S = 1/ 2 §¸p sè: S = 2/ 3

IV/ Giíi h¹n v« cùc

 C©u hái 3 : Cho d·y sè tù nhiªn un= n

 1/ H·y kÓ mét vµi sè h¹ng u2008 ?

 2/ Cho un lµ mét sè tù nhiªn bÊt kú, cã thÓ chØ ra ® îc nh÷ng sè lín h¬n un kh«ng?

 3/ H·y nªu nhËn xÐt vÒ d·y sè võa xÐt?

Kho¶ng c¸ch gi÷a 0 vµ un nh thÕ nµo khi n

—> +∞ ?

§Þnh nghÜa vÒ giíi h¹n v« cùc: ( SGK )

KÝ hiÖu: limun= +∞ hay un—>+∞ khi n—>+∞

Limun =-∞ hay un—>-∞ khi n—>+∞

NhËn xÐt: limun=+∞ <=> lim(-un) = -∞

2/ Một vài giới hạn đặc biệt:

 2.1) Lim nk = +∞ với k nguyên d ơng

 2.2) Lim qn = +∞ nếu q>1

 Ví dụ 7:

 Ví dụ 8:

n

n

n.3

5

2n lim

: sau hạn

giới

ra suy nào

thế Làm

lim3

và n

5 2

lim hạn

giới các

Tính

+











 +

( - n2 + 5 n − 2 )

lim Tính

Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng

vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.

3/ §Þnh lý:

§Þnh lý 2 :

+∞

=

>

= +∞

=

+∞

=

∀

=

>

=

= +∞

=

=

n

v a

c

a b

a

n n

n n

n

n n

n

n n

n

limu thi

limv

vµ limu

NÕu

v

u

lim

thi n

víi limv

vµ limu

NÕu

v

u lim thi

limv

vµ limu

NÕu

a)

0 )

0 0

)

0

Hướng dẫn học ở nhà:

 1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và

định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn, v à định nghĩa về giới hạn vô cực

 2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc

các công thức của định lý về giới hạn hữu hạn, gi ới hạn vô cực.

 3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122.

 4/ L àm bài tập trong sách bài tập gồm

bài 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14