Chương 2. Nửa nhóm – Nhóm

) Taäp soá töï nhieân ∠ vôùi pheùp toaùn coäng thoâng thöôøng laø moät nöûa nhoùm giao oät vò hoùm giao hoaùn. ) laø moät öûa nhoùm giao hoaùn. Moät nöûa nhoùm coù phaàn töû ñôn vò ñö[r]

) Tập số tự nhiên ∠ với phép toán cộng thông thường là một nửa nhóm giao

ột vị hóm giao hoán

) là một ửa nhóm giao hoán

) Tập P(X) các tập con của X cùng với phép toán ∪ ( hoặc

gọi là nửa nhóm Một nửa nhóm có phần tử đơn vị được gọi là vị nhóm Mo

nhóm là giao hoán nếu phép toán trên nó có tính giao h

4) Tập M(X) các ánh xạ từ X vào X với phép tóan hợp các ánh xạ là một vị

nhóm không giao hoán

1.2 Tích của n phần tử trong nửa nhóm

• Trong nửa nhóm (X • ) tích của n phần tử a ủa X được xác định

ằng qui nạp như sau:

a1 • a2 • a3 = (a1 a2) 3

a1 • a2 • … • an–1 • a

• Tích của n phần tử a1, a2, , an còn được kí hiệu là ∏n ai

= Nếu nửa nhóm (X,+) 1

iđược viết theo lối cộng thì ta viết dấu tổng thay vì dấu tích:

i

a = a1 + a2 + … + an–1 n = (a1 + a n–1) + an

Giả sử a1, a2, …, an là n phần tử bất kì của nửa nhóm (X, •) Khi đó

•am)•(am+1• …•an–1)] • an (tính kết hợp)

(X, •) là nửa nhóm nên khẳng định đúng với n = 3 Giả sử khẳng định đúng cho k

phần tử ,với 3 ≤ k ≤ n –1, ta phải chứng minh khẳng định đúng với n phần t

phần tử Xét tích x = (a1• … • ai) • (a i+1• … • a

x = (a1• …• a )•(am+1• …• an) (giả thiết qui nạp)

= [(a1• …

= (a1• …•am • am+1• …• an–1) • an (giả thiết qui nạp)

= a1 • a2 • … • an–1 • an (định nghĩa của tích nhiều phần tử )

Từ đó khẳng định đúng với n phần tử

• Trong nửa nhóm (X • ) ta gọi tích của n phần tử đều bằng a là lũy thừa n

phần tư

am an = am + n và (am)n = am n

1.4 Định lí

Trong một nửa nhóm giao hoán (X, •) tích a1• a2 • … • an–1 • an khôn

ào thứ tự các nhân tử g phụ thuộc

2

v

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh định lí trên bằng phương pháp qui nạp theo n Vì

(X, •) là nửa nhóm giao hoán nên khẳng định đúng với n = 2 Giả sử khẳng định

đúng cho k phần tử ,với ≤ k ≤ n –1, ta pha chứng minh khẳng định đúng với n

phần tử Ta sẽ chỉ ra (với là hoán vị bất kì của 1, 2, …, n )

a

ûi

ếu an = a thì ta có thể viết vế phải của đẳng thức trên như sau nhờ định lí 1.3

o hoán) = (a …a ) [(a … a )an]

−

do định lí 1.3) = (a …a … a )an ( theo giả thiết qui nạp) = (a1.a2 … an–1).an = a1.a2 … an–1.an

(do an = aσ(k) và tính gia (1) (k 1) (k 1) (n)

( do tính kết hợp) = [(aσ(1) …aσ(k )(a … a )]a

n

)

1 σ ( k + 1 ) σ ( n ) )

1 (

σ σ ( k − 1 )aσ(k+1) σ(n)(

2 Nhóm

2.1 Định nghĩa

Vị nhóm (X, *) được gọi là một nhóm nếu mỗi phần tử của X đều tồn tại phần tử

ngh á (X, *) được gọi là một nhóm nếu :

hữu tỉ khác 0, kí hiệu Θ , với phép nhân thông thường là một nhóm Tập c

ực và số phức 3, ∀ với phép cộng thông thường là các nhóm Tập các số thực và

th

số phức khác 0, kí hiệu 3 , ∀ , với phép nhân thông thường là các nhóm

) Tập hợp các số phức có modul bằng 1 với phép nhân thông thường là một

2

nhóm

) Tập hợp gồm hai số 1 , –1 với phép nhân là một nhóm Tập hợp gồm bốn

3

số 1, –1, i, – i với phép nhân là một nhóm

4) Với X ≠ ∅, tập S(X) các song ánh từ X vào X là một nhóm dưới phép toán

p các ánh xạ Nhóm na được go là nhóm các hoán vị của tập X

h

) Cho {(X , •)}i∈I là một họ các nhóm Đặt X = ∏

∈I i i

X = {(xi : xi Xi } là

h Descartes của họ {Xi} Với (xi và (yi là hai phần tử của X, ta xác

ịnh tích của chúng bởi : (xi • (yi = (xI • yi Khi đó (X, • ) là một nhóm,

ong đó phần tử đơn vị là 1 = (1 ) và phần tử nghịch đảo của (xi là

Ta gọi X là tích Descartes hay tích trực tiếp của họ các nhóm {(Xi,

h tầm thường Một nhóm nói

có vô hạn hoặc hữu hạn phần tử Nếu X có hữu hạn phần tử thì ta nói

Các nhóm

áu phép toán trên X có tính

i h Nhóm trong ví dụ 4) là

ì bằng cách đặt:

)i∈I ∈5

)i∈I )i∈I )i∈Iđ

• Một nhóm gồm chỉ một phần tử được gọi là n óm

chung có thể

X là nhóm hữu hạn, và số phần tử của X được gọi là cấp của nhóm X

e

trong ví dụ 3) là các nhóm hữu hạn cấp hai và cấp 4 N

iao hoán thì ta nói X là nhóm g ao oán hay nhóm abel

g

nhóm không giao hoán

• Trong một nhóm nhân (X, • ) người ta có thể nói đến lũy thừa của một phần tử

ới số mũ là một số nguyên bất k

v

an =

)a(

0n0

Tính chất 1: Phần tử đơn vị của một nhóm là duy nhất

û của nhóm chỉ có duy nhất một phần tử nghịch đảo

tử a của nhóm (X, • ) có hai phần tử nghịch đảo là b

ính chất 3: Trong một nhóm luật giản ước thực hiện được với mọi phần tử, tức là

• b = a • c hoặc b • a = c • a kéo theo b = c

a b

Chứng minh:

Giả sử nhóm (X, • ) có hai phần tử đơn vị là 1 và 1* thì 1 = 1•1* = 1*

Tính chất 2: Mỗi phần tư

Chứng minh: Giả sử phần

và b* thì b = 1• b = (b*• a) • b = b* • (a • b) = b*• 1 = b*

T

từ đẳng thức a

Chứng minh: Giả sử a, b, c là các phần tử của nhóm (X, •) thỏa mãn đẳng thức

= a c Nhân bên trái hai vế của đẳng thức này với a–1, ta có

a–1(a b) = a–1(a c), hay (a–1a) b = (a–1a) c, hay 1b = 1c, tức là b = c

Tính chất 4: Trong nhóm (X,• ) ta có

1) (a b)–1 = b–1 a–1, hoặc tổng quát hơn, (a a1 2 n–1 n n n

và đặc biệt, (a ) = (a ) , trong đó n

ho (X, • ) là một nửa nhóm Khi đó ba điều sau đây là tương đương:

ần tử a, b của X, phương trình ax = b cũng như phương trình

đ t p và mọi phần tử

ya = b có nghiệm duy nhất

3) Trong X tồn tại phần tử ơn vị trái ( ương ứng: đơn vị hải)

của X đều có nghịch đảo trái( ơng ứng: nghịch đảo ph

Chứng minh:

(1 ⇒ 2) Ta thấy ngay giá trị x = a–1b là nghiệm của phương trình Đó là nghie

duy nhất vì nếu c cũng là nghiệm của phương trình, tức là ac = ax = b thì c = x

(2 ⇒ 3) Gọi e là nghiệm của phương trình ya = a Ta sẽ chỉ ra e là phần tử

đơn vị trái Thật vậy, v

p

Giả sử a là một phần tử bất kì của X, khi đó phần t

ghiệm của phương trình ya =

n

(3 ⇒ 1) Giả sử trong X tồn tại phần tử đơn vị trái e và mọi phần tử của X đều có

nghịch đảo trái Lấy một phần tử bất kì a của X gọi a–1 là nghịch đảo trái của a và

(a–1)–1 là nghịch đảo trái của a–1 Khi đó ta có

aa–1 = e(aa–1) = ((a–1)–1 a–1) (aa–1) = (a–1)–1(a–1 a)a–1 = (a–1)–1(ea–1)

= (a–1) a–1 = e

–1M

đảo phải) c

–1Vậy, e là phần tử đơn vị của X và a là phần tử ngh

ột nhóm

m

3 Nhóm con

3.1 Định nghĩa

, ät nhóm , và H là một tập con của X H được gọi là ổn định (đối

ới phép toán • trong X) nếu và chỉ nếu a • b

• Cho (X • ) là mo

v ∈ H với mọi a, b ∈ H Khi đó người ta

trên H

nếu H cùng ới phép toán cảm sinh là một nhóm

hóm con của nhóm (X, • ) thì phần tử đơn vị của X là 1X nằm ong H Thật vậy, gọi 1 là phần tử đơn vị của nhóm (H,• ) Khi đó ta có 1H • 1H

o ùc trong

cũng nói rằng, phép toán trên X cảm sinh một phép toán

• Ta nói một bộ phận ổn định H của nhóm X là một nhóm con của X

3.2 Định lí (tiêu chuẩn để nhận biết một nhóm con)

Giả sử H là một tập con khác ∅ của một nhóm (X, • ) Khi đó ba điều sau đây là

tương đương:

1) H là một nhóm con của X

2) ab ∈ H và a–1 ∈ H với mọi a, b ∈ H

H

− là phần tử nghịch đảo của a trong H va 1

X

−là nghịch đảo của a trong X Khi đó aH− 1.a = 1

H = 1X = aX a, và do luật giản ước trong nhóm ta có a 1

X

− = a 1 H

ab = a H Điều này chứng tỏ • cũng là phép toán trên H, và do phép toán

gòai ra H có phần tử đơn

− := a 1

X

− Từ đó (H,

ø 1H :=1X và phần tử a ∈ H có phần tử nghịch đảo la

) là một nhóm

• VÍ DỤ:

1

được gọi là các nhóm con tầm thường của nhóm X

2) (Θ ,+) là nhóm con của (3, +) Nhóm các số phức có modul bằng 1 là

nhóm con của nhóm nhân (∀*, • ) Nhóm ({1, –1}, •) là nhóm con của nhóm ({1,

–1, i, –i}, •)

3) Cho (G,• ) là một nhóm Khi đó Z(G) = {x ∈ G : xg = gx, với mọi g G} ∈

là một nhóm con giao hoán của nhóm G Thật vậy, với mọi a, b ∈ Z(G) và với mọi

g∈G ta có

(ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b = g(ab),

ø ag = ga suy ra a–1 (ag)a–1 = a–1 (ga)a–1

(a–1a)(ga–1) = (a–1g)(aa–1)

ga–1 = a–1g,

ùc là a–1 Z(G) Tính giao hoán của (ZG) là rõ ràng Nhóm con Z(G) được gọi là

4) Cho (9, +) là nhóm nhân các số nguyên Đặt n9 = {nk : k

n9 là một nhóm con của (9, +) Hơn nữa, mọi nho

9 với m là một số nguyên nào đó

ät vậy, n9 là nhóm con vì nx – ny = n(x – y)∈ n9 Bây giờ, gọi H là một nhóm

on bất kì của nhóm (9, +) Nếu H ={0} thì H = 09 Nếu H ≠ {0} thì tồn tại số

ấy x là ät phần tử bất kì của H Từ phép hia trong ta được x = mq + r, với 0

c

nguyên k ∈ H với k ≠ 0 Khi đó – k cũng thuộc H do H là nhóm con Như vậy,

trong H có ít nhất một số dương Gọi m là số dương nhỏ nhất trong H Ta sẽ chỉ ra

H = m9 Trước hết H ⊂ m9, thật vậy, l mo

9 ≤ r < m Nếu 0 < r < m thì từ r = x – mq ∈

c

H dẫn đến mâu thuẫn với việc m là số dương nhỏ nhất của H, vậy ta phải có r = 0

Từ đó x = mq ∈ m9 Bao hàm thức ngược lại m9 ⊂ H là rõ ràng

) Giao của một họ bất kì các nhóm con của một nhóm G cũng là một nhóm

4

con của nhóm G

Thật vậy, xét một họ bất kì {Xi}i∈I các nhóm con của (G, • ) và X là giao của

chúng Lấy hai phần tử bất kì x, y của X, khi đó x,y ∈ Xi với mọi i∈I Vì Xi là các

nhóm con nên xy–1 ∈ Xi với mọi i∈I, do đó xy–1 ∈ X Từ định lí 3.2 suy ra X là một

nhóm con của G

NHẬN XÉT: Nếu A là một tập con của nhóm G, thì A sẽ chứa trong ít nhất một

, chẳng hạn G Theo ví dụ 4) giao của tất cả các nhóm con của G

•

nhóm con của G

chứa A cũng là một nhóm con chứa A Có thể kiểm tra dễ dàng rằng đó là nhóm

con bé nhất chứa A, tức là nó chứa trong mọi nhóm con chứa A của G

3.3 Nhóm con sin bởi một tập co của

• Có một con đường tổng quát để thu được các nhóm con từ một nhóm Xét S là

một tập con khác ∅ của nhóm (G, •) Đặt:

< S > = {a 1

1

ε a 2 2

ε … a n

n

ε : ai∈ S, εi= 1, n∈ ∠} ±

Khi đó, < S > là nhóm con của G và là nhóm con bé nhất chứa S

Thật vậy, nếu x, y ∈ < S > thì rõ ràng xy–1∈ < S >, tức là < S > là một nhóm con

ủa G Gọi H là gi của tất cả các nhóm con của G chứa S Vì nhóm con H chứa

• Nếu S = {a} thì < S > gồm tất cả các phần tử có dạng an với n

mọi phần tử a ∈ S nên < S > ⊂ H Vì < S > hiển nhiên chứa S nên < S > = H

Vậy, < S > là nhóm con bé nhất của G chứa S

• < S > được gọi là nhóm con sinh bởi S Ta cũng nói rằng S tập các phần tử sinh

1) Xét nhóm cộng các số nguyên (9 , +)

2) Xét nhóm nhân các số phức ( ∀, • ) Kh đó

4

4.1 Lớp kề - Quan hệ tương đương xác định bởi một nhóm con

• Cho (G, • ) là một nhóm, H là một nhóm con của nó và a là phần tử của G Tập

ợp tất cả các phần tử ax với x

h ∈ H được gọi là lớp kề trái ( hay lớp ghép trái)

ên G ta xác định một uan hệ ~ như sau

x ~ y ⇔ x–1y

của H trong G Ta kí hiệu nó bởi aH

• Cho (G, • ) là một nhóm, H là một nhóm con của nó Tr

G sao cho x ~ y, tức là x y y) = y x ∈ H,

tức là y ~ x Vậy ~ có tính đối xứng Cuối cùng, giả sử x, y, z là ba phần tử bất kì

của G sao cho x ~ y và y ~ z, tức là x

∈

–1y, y–1z ∈ H Từ H là nhóm con suy ra (x–

1y)( y–1z) = x–1(y y–1)z = x– 1z ∈ H Vậy ~ là bắc cầu

• NHẬN XÉT:

1) Quan hệ tương đương ~ nói đến ở trên chia G thành các lớp tương đương Kí

hiệu a sẽ được dùng để chỉ lớp tương đương chứa phần tử a, khi đó

a = aH = {ax : x ∈ H}

Thật vậy, giả sử b là một phần tử bất kì thuộc lớp tương đương a, khi đó a~b, tức

là a–1b ∈ H, từ đó b = a (a–1b) ∈ aH Vậy a ⊂ aH Ngược lại, giả sử b là một

hần tử kì thuộc aH, khi đó tồn tại một phần tử x thuộc H sao cho b = ax hay x

p bất

= a–1b, tức là a–1b ∈ H Vậy a ~ b và từ đó aH ⊂ a

Từ nhận xét 1) suy ra rằng, đối với hai lớp kề bất kì aH và bH của H trong G thì

hoặc là chúng trùng nhau hoặc là chúng rời nhau

2) Lớp kề aH trùng với H khi và chỉ khi a ∈H Thật vậy, giả sử có aH = H Gọi e là

ủa G, do H là nhóm con ân e

phần tử đơn vị c ne ∈H, từ đó a = ae∈ aH = H Ngược

lại, giả sử a∈H, ta sẽ chỉ ra aH = H Vì H là nhóm con nên từ a∈H suy ra ax

với mọi x ∈ H và điều này có nghĩa là aH ⊂ H Bây giờ giả sử b là một phần tử bất ∈ H

kì của H Vì H là nhóm con nên a–1∈ H và a–1b ∈ H, từ đó b = (a a–1)b = a(a–1b)

aH Vậy H

• Hoàn toàn tương tự, ta kí hiệu Ha là lớp kề phải của H trong G, nó gồm tất cả

các phần tử xa với x ∈ H, và trùng với lớp tương đương a chứa phần tử a trong

quan hệ tương đương được xác định bởi

x ~ y ⇔ xy–1 ∈ H

Trong các phần sau, nếu không chỉ rõ, ta nói lớp kề có nghĩa là lớp kề trái

• Nếu dùng dấu + để kí hiệu phép toán trong nhóm G, thì lớp kề trái và phải của H

trong G sẽ được viết là

a + H = {a + x : x H}; H + a = {x + a : x ∈ ∈ H}

Còn các quan hệ tương đương sẽ được viết là

x ~ y ⇔ (– x )+ y ∈ H ; x ~ y ⇔ y + (– x) ∈ H )

4.2 Mệnh đề

Cho G là một nhóm, và H là một nhóm con Khi đó số các phần tử của một lớp kề

aH bằng s á cáco phần tử trong H

Chứng minh: Xét ánh xạ H → aH, x aax Ánh xạ này là một song ánh, thật vậy

rõ ràng nó là tòan ánh, hơn nữa nó là đơn ánh vì từ ax = ax' suy ra x = x' (luật giản

ước trong nhóm) Vì G hữu hạn nên H cũng hữu hạn, từ đó số phần tử của H phải

bằng số phần tử của aH

• Cho G là một nhóm, và H là một nhóm con Số các lớp kề rời nhau của tronH g

được gọi là chỉ số của H trong G Chỉ số này tất nhiên có thể là vô hạn Nếu G

ịnh lí (Lagrange)

G

là nhóm hữu hạn, thì chỉ số của một nhóm con bất kì là hữu hạn Chỉ số của một

nhóm con H trong G sẽ được kí hiệu là (G : H)

4.3 Đ

(cấp của G) = (G : H) × (cấp của H)

ø , khi đó G được phân hoạch ành (G : H) lớp, số phần tử của mỗi lớp, theo mệnh đề 5.3, bằng cấp của H

) Định lí Lagrange cũng chỉ ra rằng cấp của một nhóm con của một nhóm

) Sau đây là một ứng dụng của định lí Lagrange Giả sử G là một nhóm hữu

c cl của G sinh bởi x : H =(x) = {xk, k

Cho G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con Khi đó

hạn c p n Khi đo với mọi x G ta có = e ∈

Thật vậy, xét nhóm con y ic ∈ 9}.Vì H hữu hạn

hư c ả g hạn xk = xm (với k > m) Khi

đo = = V àn ại nh s gu d ơn l cho xl = e

û ư ca t k = xm với 0 m < k

s –1, thì ta có xk –m = e với 0 < k – m < s, nhưng điều này mâu thuẩn với giả

phần tử bất kì của H, tức là a = xk với k là một số nguyên nào đó Chia k cho s ta được k = sq + r với 0

nên tồn tại những lũy t øa u x bằng nhau, chẳn

ù, xk –m xm – m a0 = e ậy to t ững ố mũ n yên ư g sao

ïi s là s á nguye dương hỏ nh át ù h ch át ấy Ta chỉ ra rằng các phần tử x

G

x, x2, …, xs – 1 là khác nhau, và mọi phần tử cu H e bằn

ấy Tr ớc hết ùc phần ử nói ở trên là khác nhau, vì nếu x ≤

là ước của n, tức là n = sp.Từ đó xn = xsp = (xs)p = ep = e

4.4 Nhóm con chuẩn tắc

• Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu và chỉ

nếu xH = Hx với mọi x ∈ G

Có thể phát biểu định nghĩa nhóm con chuẩn tắc dưới dạng tương đương:

•

Một nhóm con H của nhóm G là chuẩn tắc khi và chỉ khi x–1a x ∈ H với mọi a ∈

H và mọi x ∈ G

Ta sẽ chỉ ra rằng hai định nghĩa nêu ở trên là tương đương Thật vậy, giả sử có xH

Hx với mọi x G Gọi a là phần tử bất kì của H, khi đó tồn tại a' H sao cho xa

= a'x, suy ra a = x–1a' x ∈ H Ngược lại, giả sử có x–1a x ∈ H với mọi a H và

ọi x G Với phần tử a bất kì thuộc H, và x ∈

m ∈ ∈ G ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai

phần tử a' và a'' ∈ H sao cho xa = a''x và ax = xa', vì khi suy ra ngay xH = Hx

ó thể thấy hai àn tử a'' cần tìm là a' = x–1a x đó

C pha a, ∈ H và a'' = (x–1)–1ax–1 = x ax–1

CHÚ Ý: Điều kiện với mọi x

∈ H

∈ X : xH = Hx không có nghĩa là với bất kì a

) Mọi nhóm con của một nhóm giao hoán đều chuẩn tắc Chẳng hạn n9 là

•

thuộc H thì phải có xa = ax mà điều kiện này chỉ có nghĩa là với mỗi a ∈ H sẽ tồn

tại a'∈ H sao cho xa = a'x

• VÍ DỤ:

1

nhóm con chuẩn tắc của nhóm ( 9 , +)

2) Tâm của nhóm G, Z(G) = {x ∈ G : gx = xg, với mọi g∈G}, là nhóm con

chuẩn tắc của G Thật vậy, với mọi x∈ G, với mọi h ∈ Z(G) ta có

x–1h x = x–1 (h x) = x–1 (x h) = (x–1 x) h = h ∈ Z(G)

3) Nếu S và T là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G thì S∩T cũng là nhóm

con chuẩn tắc của G Thật vậy, với mọi x∈ G, với m họi ∈ S ∩T, vì h ∈ S và h ∈

T nên x–1h x ∈ S và x–1h x ∈ T, từ đó x–1h x ∈ S∩T

4) Xét nhóm các phép thế S3 = {song ánh σ: {1, 2, 3} {1, 2, 3}} với phép

mà các phần tử là (ở đây, kí hiệu

lớp kề trái aH (cũng là kề phải do H là chuẩn tắc), chú ý rằng nó cũng là tập

thương đối với quan hệ tương đương đã nói trong 5.1

a sẽ xây dựng một cấu trúc nhóm trên tập G/H bằng cách xác định phép tóan

h bH = a'b'H ( do (ab)–1' b' = b (a a') b' = (b (a a') b)(b b') ∈ H ) Vậy • thực sự là một phép tóan

ø cộng thì phép tóan trên tập thương G/H sẽ được viết

b

H àn tử nghịch đảo của a + H

ø (–a) + H

và là âp thương 9 /m 9 = {

trong trên G/H Nó có tính kết hợp , phần tử đơn vị là 1GH, phần tử nghịch đảo của

aH là a–1H Khi đó (G/H, •) là một nhóm và được gọi là nhóm thương của G trên

• VÍ DỤ: Xét (9 , +) là nhóm cộng các số nguyên, (m 9 ,+) là nhóm con

chuẩn tắc do (9 ,+) giao hóan

a = a + m 9 : 0 ≤ a ≤

cùng với phép tóan (a + m9) + (b + m9) = (a + b) + m9

tạo thành nhóm thương (9 /m 9 , +), còn được kí hiệu 9m , và được gọi là nhóm các

số nguyên modulo m Phần tử đơn vị là 0 = 0 + m9, phần tử nghịch đảo của a là −a

2

1

104

3

2

210

4

3

321

0

4

4321

0

000

1

314

2

241

3

1234

5 Đồng cấu nhóm

f(a * b) = f(a) ⊥ f(b) với mọi a, b ∈ G

• Một đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu ánh xạ f tương

ùng là đơn ánh, toàn ánh, song ánh Nếu G = H thì đồng cấu f được gọi là một tự

đồn ánh được gọi là một tự đẳng cấu Trong

ường hợp f : G H là một đẳng cấu thì ta cũng nói nhóm G đẳng cấu với nhóm

ư

g cấu của G Một tự đồng cấu song

H, và viết G H

• KÍ HIỆU: Hom(G, H) = {đồng cấu f: G → H}

End(G) {tự đồng ấu f : G G}

Aut(G) = {tự đẳng cấu f : G

2) Hai nhóm (Θ, +) và (Θ*

+, •) với các phép toán nhân và cộng thôntrên tập số hữu tỉ không thể đẳng cấu với nhau Thật vậy, giả sử có một đẳng ca

f(a) = f(

sao cho 2 = 2

a+2a) = f(2a)f(a2) = [f(a2)]2, nhưng điều này dẫn đến mâu thuẫn vì không

hoán vị của tập G Với mỗi a

có số hữu tỉ nào mà bình phương của nó bằng 2

3) Cho (G, •) là một nhóm và S(G) là nhóm các

thuộc G, xét ánh xạ Ta : G → G, Ta (x) = ax

Ta thấy rằng, Ta là một song án thật vậy, nó là đơn ánh vì nếu ax = ayh, thì x = y

uật giản ước trong một nhóm); nó là toàn ánh vì với mọi x

1x) Từ đó T ∈ S(G) Người ta gọi T là phép tịnh tiến trái bởi a a a

Bây giờ xét ánh xạ a aTa từ nhóm (G, • ) đến nhóm (S(G), o) các hóan vị của

hợp G Có thể chỉ ra nó là một đơn c

a ∈

là ax = bx, th

Tên gọi của ánh xạ Ta được lấy từ hình học Euclide Đặt G = 3 = 3× 3, ta

dung G như một mặt phẳng và ãi phần tử của G là một vector Khi đó với A ∈3×

3, ánh xạ TA : G → G, TA(X) = X + A chính là phép tịnh tiến theo vector A thông

thường

4) Cho (G, +) và (H,+) là hai nhóm giao hoán Ta có thể làm Hom(G, H) trở

thành một nhóm như sau Nếu f, g ∈ Hom(G, H) ta xác định f + g : G → H là ánh

xạ được cho bởi (f + g)(x) = f(x) + g(x) với mọi x ∈ G Việc kiểm tra nó là một

nhóm là không khó, phần tử đơn vị là đồng cấu x a0, phần tử nghịch đảo của f là

đồng cấu x a– f(x)

5) Cho H là một nhóm con của nhóm G Khi đó ánh xạ i : H → G, i(x) = x

là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc

6) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi đó ánh xạ

h ùm thương G/H Thật vậy, vì ta có (xy)

yH = xH yH = (x) (y) Hơn nữa, đồng cấu này là một toàn cấu, gọi là tòan

5.2 Ảnh và nhân của đồng cấu

• Cho f : G → H là một đồng cấu từ nhóm (G, •) đến nhóm (H, •), các phần tử

đơn vị của G và H được kí hiệu lần lượt là 1

{xG

và 1H Ta sẽ gọi các tập hợp Imf = f(G) = {f(x), x ∈ G} và Kerf = f –1(1H) = ∈ G : f(x) = 1H} lần lượt là ảnh và 5.3 Các tính chất của đồng cấu nhóm

nhân của đồng cấu f

ồng cấu nhóm Hơn nữa, hợp

• Tính chất 1 Hợp của hai đồng cấu nhóm là một đ

của hai đẳng cấu là một đẳng cấu