Độ dài của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2;p) luận văn thạc sỹ toán học

Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL2;p Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày nhóm tuyến tính đặcbiệt xạ ảnh trên trường hữu hạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỤC LỤC

MỤC LỤC ……….…… ……… 1

LỜI NÓI ĐẦU ………2

Chương 1 Biểu diễn nửa nhóm……… 4

1.1 Nửa nhóm tự do Vị nhóm tự do ……… …4

1.2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm……….………12

Chương 2 Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2, p)……… … 18

2.1 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trên trường hữu hạn PSL(n,p)…….18

2.2 Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm PSL(2,p)……22

KẾT LUẬN ……… …………31

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….……32

Cho trước một quan hệ nửa nhóm (r,s)   Trong đó r = a1a2…am và

s = b1b2…bn với ai  A và bi  B, khi đó độ dài của (r,s) sẽ là m + n và được

kí hiệu bởi |(r,s)| Độ dài của biểu diễn nửa nhóm <A|R> sẽ là |<r,s>|, với

(r,s) 

Giả sử G là một nhóm, khi đó trước hết G là một nửa nhóm nên ta có thểxét các biểu diễn nửa nhóm <A|> của G Nếu G là nhóm hữu hạn, ta có thểchọn A và  hữu hạn và khi đó biểu diễn G = <A|> của G là biểu diễn

hữu hạn Nhờ tính chất đặc biệt của G (G là một nhóm và G hữu hạn ) có thể

tìm được các biểu diễn của G một cách tường minh

Bài toán tìm biểu diễn nửa nhóm hữu hạn <A|> của nhóm hữu hạn G

đã được một số tác giả nghiên cứu

Mục đích của luận văn là dựa trên bài báo ”On the minimal length ofsemigroup presentation ) của hai tác giả C.M.Campbell và P.P.Campell đăngtrên tạp chí Novi Sad.J.Math năm 2004 (xem [7]) để tìm hiểu độ dài cực tiểucủa biểu diễn nửa nhóm của nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2, p)

Luận văn gồm hai chương:

Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các kiến thức liên quan đến nửanhóm tự do, vị nhóm tự do và biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm để làm

cơ sở cho việc trình bày chương sau

Chương 2 Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2;p)

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày nhóm tuyến tính đặcbiệt xạ ảnh trên trường hữu hạn PSL(n, p) sau đó chúng tôi xét đến độ dài cựctiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm PSL(2;p)

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Quốc Hán,người đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa đào tạo sauĐại học, các thầy, cô giáo trong Khoa và Bộ môn Đại số đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót, chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ cácthầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN NỬA NHÓM

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lýthuyết nửa nhóm và vị nhóm có sử dụng trong luận văn

1.1 Nửa nhóm tự do.Vị nhóm tự do

Tiết này trình bày nửa nhóm tự do và vị nhóm tự do

1.1.1 Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm Một tập con X của S được

gọi là sinh ra S một cách tự do nếu S = <X>S và mỗi ánh xạ o:X  P (trong

đó P là nửa nhóm bất kì) có thể mở rộng thành một đồng cấu

o:S Psao cho  X  o

Khi đó ta nói rằng  là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ o

Nếu S được sinh ra tự do bởi một tập nào đó thì S được gọi là nửa nhóm tự

do.

1.1.2 Ví dụ

1 (N*, +) là nửa nhóm tự do với x = {1} là tập sinh tự do của nó.

Nếu o:X  P là một ánh xạ, thì ta định nghĩa : N*  P bởi (n) = 0(1)n.Khi đó  X  ovà  là đồng cấu, vì :

(m+n) = 0(1)m+n = 0(1)m 0(1)n = (m) (n)

2 (N*, ) không phải là nửa nhóm tự do.

Thật vậy : Giả sử X  N*, chọn P = (N*,+) và giả sử 0 (n) = n , nX.Nếu  : (N*, ) P là một đồng cấu thì 0(n) = 0(1.n) = (1) + (n) và do

đó (1) = 0(P) Như vậy  không phải là mở rộng của 0

1.1.3 Định lí. Nếu S được sinh ra tự do bởi X và o:X  P là một ánh xạ,

thì  0 có một mở rộng đồng cấu duy nhất  :S S  P.

Chứng minh.Theo định nghĩa, mỗi 0 có một mở rộng

Giả sử  : S  P và  : S  P là các mở rộng đồng cấu của 0 Khi đó vớimọi xS, x = x1x2….xn với các phần tử xi  X nào đó, vì X sinh ra S Thế thì

(x) = (x1) (x2)…(xn) = 0(x1) 0(x2)…0(xn) = (x1) (x2)…(xn) =

(x1x2…xn) = (x) và do đó  =  

1.1.4 Định lí. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa nhóm các từ A + với một bảng chữ cái A + nào đó.

Chứng minh Giả sử S được sinh ra tự do bởi tập con X  S và A là một bảng

chữ cái với |A| = |X| Khi đó tồn tại song ánh o:A X Vì A sinh ra A+ mộtcách tự do nên tồn tại một mở rộng toàn cấu  : A S

  Đó là một đồng cấu vì 1

  và  là những đồngcấu Hơn nữa, với mỗi xX, (x) =   (  1(x)) = 1

i) Nếu S được sinh ra tự do bởi một tập con X thì S A

 và |A| = |X|

ii) Nếu S và R là các nửa nhóm được sinh tự do tương ứng bởi X và Y sao cho

|X| = |Y| thì S R

1.1.6 Hệ quả. Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ước.

Chứng minh Suy ra từ luật giản ước có trong A+ 

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi – Dubreil –Jacotin về nửa nhóm tự do dựa trên sự nhân tử hóa các phấn tử của nó

Giả sử X  S Chúng ta nói rằng x = x1x2…xn là một sự phân tích thành

nhân tử x trên X nếu mỗi xi  X, i = 1,2,…, n Nếu X sinh ra S thì mỗi phần

tử x  S có một nhân tử hóa trên X Nói chung sự phân tích đó không duynhất, nghĩa là có thể xảy ra x1x2….xn = y1y2…yn với xi  X , yj  X và xk yk

nào đó

1.1.7 Định lí. Một nửa nhóm S được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi

phần tử x thuộc S có sự nhân tử hóa duy nhất trên X.

Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lí 1.1.7 được

thỏa mãn với nửa nhóm A+

Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho |A| = |X| và 0: X  A là một songánh Giả thiết rằng X sinh ra S

Giả sử x = x1x2…xn = y1y2…ym là hai sự nhân tử hóa x trên X và  là mởrộng đồng cấu của 0 thì (x) = 0(x1) 0(x2)…0(xn) = 0(y1) 0(y2)… 0(ym)

là hai sự nhân tử hóa của (x) trên A Vì A+ thỏa mãn khẳng định của định lí,nên ta phải có 0(xi) = 0(yi) với i = 1, 2,….,n (và m = n)

Vì 0 là song ánh nên xi = yi, với i = 1, 2,…, n Và như vậy S thỏa mãn khẳngđịnh của Định lí 1.1.7

Giả sử S thỏa mãn điều kiện duy nhất kí hiệu 1

tử hóa khác nhau trên X : trái giả thiết) Vậy  là một song ánh và do đó làmột đẳng cấu 

1.1.8 Định nghĩa. Đối với mỗi nửa nhóm S, tập con

B(S) = S\S2 = {xS| y z S x,  : yz } được gọi là cơ sở của S.

Từ định nghĩa suy ra rằng mỗi phần tử xS nằm trong B(S) nếu và chỉ nếu

x không biểu diễn được thành tích của hai phần tử tùy ý thuộc S

Kết quả sau đây thuộc về Lévi – Dubreil – Jacotin

1.1.9 Định lí. Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu B(S) sinh ra S một

cách tự do.

Chứng minh Đặt X = B(S) Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là nửa

nhóm tự do theo Định nghĩa 1.1 Giả sử S là nửa nhóm tự do Ta chứng minh

X sinh ra S một cách tự do.Trước hết, ta chú ý rằng X là tập con của S không

có ước nào thuộc S, thế thì X  và X sinh ra S.Thật vậy, giả sử a = bc trong

đó b,c X hoặc a = xyz…hoặc quá trình đó sẽ kết thúc và ta thu được biểudiễn của a dưới dạng tích các phần tử thuộc X hoặc với mọi số n lớn tùy ý sẽtồn tại các phần tử a1,a2…an S sao cho a = a1a2…an Nếu a = a1a2…an thì

a1,a1a2, a1a2a3,…,a1a2…an-1 là các ước bên trái của a, chúng đều khác nhau cả

vì trong nửa nhóm tự do có luật giản ước và không có lũy đẳng Vì n có thểlớn tùy ý nên mâu thuẫn với Định lí 1.1.4 và định nghĩa nửa nhóm các từ Vậy

X sinh ra S

Giả sử x1x2…xn = y1y2…ym trong đó xi, yj  X đặt x2…xn = x và y2…ym =

y thì x1x = y1y nên hoặc x1 = y1 hoặc x1,y1 có ước Khả năng thứ hai khôngxảy ra theo định nghĩa của X Bây giờ tương tự thu được x2 = y2 và tiếp tụcquá trình đó không quá max{n, m} bước, ta đi tới n = m và xi = yi với i=1,2,…

n Như vậy mỗi phần tử thuộc S biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạngtích các phần tử thuộc X Do đó S được sinh ra tự do bởi X 

1.1.10 Ví dụ

1.Giả sử A = {a, b, c} là một bảng chữ cái Các từ ab, bab, ba sinh ra một nửa

nhóm con của nửa nhóm các từ A+ Nửa nhóm S = ab ba bab, , A không tự do,

vì phần tử w = babab có hai cách nhân tử hóa khác nhau trong S:

1.1.11 Định nghĩa Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do được sinh tự do

bởi một tập con X với 1  X nếu X {1} là một tập sinh của M và mỗi ánh

xạ o:X  P (trong đó P là một vị nhóm) mở rộng được thành một đồng cấu

vị nhóm duy nhất : M  P, nghĩa là  X  o và  (1 ) 1M  P

1.1.12 Định lí. Nếu S là một nửa nhóm tự do thì S 1 là vị nhóm tự do và ngược lại

1.1.13 Hệ quả. Vị nhóm từ A * là một vị nhóm tự do với mọi bảng chữ cái A.

1.1.14 Định lí. Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M\{1} là

nửa nhóm tự do.

Chứng minh Đối với điều kiện ngược lại, tập con M\{1} là nửa nhóm con của

M Điều đó được thỏa mãn,vì nếu không 1M sẽ có hai cách nhân tử hóa khácnhau Phần còn lại của khẳng định trong định lí được suy ra từ định nghĩa1.1.11 

Ngoài những kết quả tương tự như nửa nhóm tự do, ta còn có một số kếtquả khác sau đây

1.1.15 Định lí

i) Một vị nhóm M được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi x  M\{1} có một

sự nhân tử hóa duy nhất trên X.

ii) Mỗi vị nhóm tự do là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các từ A * với bảng chữa cái A chọn thích hợp.

iii) Một vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với một vị nhóm các từ A *

với bảng chữ cái A nào đó.

1.1.16 Định nghĩa. Đối với mỗi tập con X  A* của các từ chúng ta kíhiệu X X A

 là một từ thì ta viết w* thay cho {w}*

Giả sử u,v A+ Thế thì u được gọi là một nhân tử của v nếu v = w1uw2 vớicác từ w1, w2 nào đó thuộc A*; u được gọi là tiền tố (hậu tố) của v nếu v u w

(hay tương ứng v w.u) với w A

 nào đó

Độ dài |w| của từ w  A* là số chữ cái có trong w; nếu w = a1,a2,…aa với

i

a A thì w n Độ dài của từ rỗng được qui ước bằng không

1.1.17 Bổ đề. Nếu u 1 u 2 = v 1 v 2 trong A * thì hoặc u 1 là tiền tố của v 1 hoặc v 1

là tiền tố của u 1 , nghĩa là tồn tại một từ w  A * sao cho u 1 = v 1 w hoặc v 1 =

u 1 w.

Trước hết ta chứng minh một tiêu chuẩn khác đối với tính tự do của vị nhómcon của vị nhóm các từ Đối với một vị nhóm con M của A* chúng ta sẽ sửdụng kí hiệu M+ = M\{1} Khi đó M+ là một nửa nhóm con của A+, vì từ rỗngkhông thể là tích của hai từ khác từ rỗng Cơ sở của M, B(M) = M+\M2

+ là cơ

sở của nửa nhóm M+ Nhớ rằng đơn vị (từ rỗng) là đơn vị của chính vị nhóm

con M Cơ sở của vị nhóm tự do được gọi là mã.

Một vị nhóm con của vị nhóm các từ A*không nhất thiết tự do

1.1.18 Bổ đề. Đối với mọi vị nhóm con M của A * cơ sở B(M) là tập sinh tối tiểu duy nhất của M (xét như một vị nhóm), nghĩa là nếu N là một tập con sinh ra M thì B(M)  N.

Chứng minh Để chứng tỏ rằng B(M) sinh ra M, ta giả thiết rằng trái lại có

một từ w  M không biểu diễn được thành tích các từ thuộc B(M) Giả thiếtrằng w là từ ngắn nhất sao cho w  M+ nhưng w B M( ) 

 Vì w B(M)  nêntồn tại hai từ u, v M sao cho w = u.v Vì u, v ngắn hơn w nên từ cách xácđịnh của w, có u, v  B(M)+ Nhưng khi đó uv  B(M)+, hay w  B(M)+:mâu thuẩn

Giả sử N là một tập con sinh ra M Khi đó với mọi u  B(M) ,u  N*= Mnhưng u không phải là tích của hai hay nhiều hơn hai từ thuộc M nên u  N

Do đó B(M)  N 

Kết quả sau đây thuộc về M P Schutzenberger (1955)

1.1.19 Định lí. Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ A + Thế thì

M tự do nếu và chỉ nếu :S u, v , uw, wv  M  w M.

Chứng minh Giả sử M tự do, wA* là một từ nào đó có u,v  M sao cho uw,

wv  M Giả sử u = u1…uk, uw = v1…vt, wv = uk+1…uk+r và v = vt+1…vt+s,trong mọi ui, vj  X, với X = B(M) Khi đó uwv = u1…ukuk+1…uk+r = v1…

vtvt+1 vt+s Vì M được sinh tự do bởi X nên k + r = t + s, ui = vi với i = 1, 2,…

k + r Từ đó w = uk+1…ut vì (k t ) nên wM

Giả sử điều kiện trên có hiệu lực đối với M Giả sử tồn tại một từ có hai sựnhân tử hóa khác nhau trên X : u1u2….un = v1v2…vm (ui; vj  X ) Có thể giảthiết rằng u1v1, vì nếu ngược lại ta có u2….un = v2…vm, thế thì hoặc u1 làmột tiền tố của v1 hoặc v1 là một tiền tố của u1 Giả sử rằng v1 = u1w (trong

trường hợp khác lập luận được tiến hành tương tự do tính đối xứng) Khi đó

v1w M và u2u3….un = wv2v3…vm (do A* có luật giản ước) Theo giả thiết w

 M nhưng điều đó mâu thuẫn vì v1 = u1w B(M).Vậy M tự do 

1.1.20.Định lí. Giả sử {M i /iI} là một họ các vị nhóm con tự do của A * Khi

được kí hiệu là F(X) Nói riêng X*  F(X)* vì X* là một vị nhóm con và X F(X)*

1.1.21 Định lí khuyết. Giả sử X  A * là một tập con hữu hạn các từ, và F(X) là bao tự do của nó Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X không phải là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó) thì |F(x)|  |X| -1.

Chứng minh Vì X  F(x)* nên mỗi từ u  X* được viết một cách duy nhấtdưới dạng u = w1w2…wk với wi  F(x) Giả sử : X F(X) là một song ánhsao cho (u) = w1, nếu u  w1.F(x)* Giả thiết rằng X* không tự do, khi đótồn tại một từ w  X* có hai cách nhân tử hóa trên X : w = u1u2…un = v1v2…

vm (ui; vj  X ), trong đó u1v1 (nếu u1 = v1 thì có một từ ngắn hơn u2…un vớihai cách nhân tử hóa khác nhau trên X) Thế thì (u1) = (v1) và như vậy không phải là đơn ánh (Nếu (u1)  (v1) thì từ w sẽ có hai cách nhân tửhóa khác nhau trên F(X), mâu thuẫn với F(X)* là vị nhóm con tự do)

Bây giờ ta chỉ ra rằng  là toàn ánh, giả sử ngược lại rằng tồn tại một từ w

 F(X) sao cho  (u)  w, với tất cả u  X Giả sử Y = (f(x)\ {w }) w* Khi đó X  Y* thế thì Y* tự do, vì nếu u1u2…un = v1v2…vr (ui; vj Y) trong

= tm và m = r Nhưng khi đó ui = vi với mọi i và do đó Y* tự do

Ta có X  Y* nhưng Y*  F(X)*, mâu thuẫn với tính cực tiểu của F(X) với

tư cách là cơ sở bé nhất của vị nhóm tự do chứa X Điều đó kéo theo  là toànánh Vì  không phải là đơn ánh nên | F(X) |  | (X) |  | X |, do đó

| F(X) |  |X| - 1 

1.1.22 Định nghĩa. i) Một từ w  A+ được gọi là nguyên thủy nếu nó

không phải là lũy thừa của một từ khác, nghĩa là nếu w = uk thì k = 1, và u =w

ii) Hai từ u,v A+ được gọi là liên hợp với nhau, nếu tồn tại các từ w1,w2  A*

mã, vì có hai sự nhân tử hóa khác nhau trên X Theo Định lí khuyết có | F(x) |

 | X | và do đó F(x) = {z} với một từ z  A* nào đó, nhưng điều đó có nghĩa

là u, v  Z* và do đó v = zs, u = zr Nếu u, v nguyên thủy thì r = s = 1 và u = v

1.1.24 Hệ quả. Hai từ u, v  A * giao hoán được với nhau nếu và chỉ nếu chúng là lũy thừa của cùng một từ.

Chứng minh Vì uv = vu nên X = {u, v} không phải là một mã và do đó

| F(x) | |X| = 2 nên theo chứng minh Hệ quả 1.1.23 ta có u và v là lũy thừacủa một từ z chung nào đó

1.2 Biểu diễn nửa nhóm Biểu diễn vị nhóm

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm Khi đó tồn tại một toàn cấu

 : A+  S với một nửa nhóm các từ A+ nào đó Thế thì SAk er( ) Khi đó

 được gọi là một biểu diễn đồng cấu của S

Các chữ cái trong A được gọi là các kí hiệu sinh của S, và nếu (u,v)  ker() thì u = v được gọi là một hệ thức hay đẳng thức trong S.

Như vậy,

Một biểu diễn của S gồm các kí hiệu sinh A = {a1, a2…} và các hệ thức

 = {ui = vi / iI}, và viết S = a a1 , , / 2 u i v i I i(  ) hay S = A nếu ker()

là tương đẳng nhỏ nhất của A+ chứa các hệ thức {(ui, vi) | iI}

Nói riêng (ui) = (vi) đối với tất cả các ui = vi trong 

Tập hợp  các hệ thức được giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa là nếu u =

v trong  thì v = u cũng được thỏa mãn

Cần nhớ rằng các từ w  A+ không phải là các phần tử của S nhưng đượcánh xạ vào S Chúng ta nói rằng một từ w  A+ biểu diễn phần tử (w) của S.Cùng một phần tử của S có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau(bởi các từ khác nhau) Nếu (u) = (v) thì hai từ u, v biểu diễn cùng mộtphần tử của S

Giả sử S = A là một biểu diễn Ta chỉ ra rằng có một hệ thức u = v(nghĩa là (u) = (v) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy u = u1u2u3…, uk = u các

từ sao cho ui+1 nhận được từ ui bằng cách thay thế nhân tử ui bởi vi đối với ui =

vi nào đó trong 

Chính xác hơn, ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ một từ u nếu

u  w1u’w2 và v  w1v’w2 với u’ = v’ nào đó trong .

Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v (vì  đốixứng) và (u) = (w1) (u’) (w2) = (w1) (v’) (w2) = (v), nên u = v làmột hệ thức trong S

Từ v được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một dãy hữu hạn u  u1, u2,…,

uk = v sao cho với mọi j = 1,2,…,k-1; uj+1 là dẫn xuất trực tiếp từ uj Thế thìnếu v được dẫn xuất từ u thì sẽ có (u) = (v), vì (u) = (u1) = (u2) =…=

(uk-1) (uk) = (v) và do đó u = v là một hệ thức trong S Nó có thể viếtthành

u  u1 = u2 = …= uk  v

1.2.2 Định lí. Giả sử S = A là một biểu diễn, với  đối xứng.Thế thì

C = {(u,v) / u = v hay v được dẫn xuất từ u} Do đó u = v trong S nếu và chỉ nếu v được dẫn xuất từ u.

Chứng minh Kí hiệu  là quan hệ xác định bởi uv nếu và chỉ nếu u = vhoặc v được dẫn xuất từ u

Rõ ràng i   nên  phản xạ Vì  đối xứng nếu  đối xứng Tính bắccầu của  là hiển nhiên Vậy  là quan hệ tương đương

Nếu w  A+ và v được dẫn xuất từ u thì wv cũng được dẫn xuất từ wu và

vw được xuất từ uw Vậy  là một tương đẳng

Giả sử  là một tương đẳng sao cho   Giả thiết rằng v được dẫnxuất trực tiếp bởi u : u = w1u’w2 , v = w1u’w2 và u’ = v’ trong 

Vì   nên (u’,v’)   Vì  là một tương đẳng nên (w1u’w2, w1u’w2)

 hay (v,u)   Do đó nhờ tính bắc cầu của  và , có    và như vậy 

là tương đẳng nhỏ nhất chứa , nghĩa là C =  

1.2.3 Định lí. Giả sử A là một bảng chữ cái và  A + x A + là một quan

hệ đối xứng Thế thì nửa nhóm S = A C

 có biểu diễn

S = A u v|  với mọi ( , )u v R

Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau.

1.2.4 Ví dụ 1. Xét biểu diễn nửa nhóm sau:

S =  a,b |aa = ab,ba = aab,bbb = aba >

Trong biểu diễn này ta có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định

S có một đẳng thức baabbaa = bbaaba, vì

u1 = baabbaa = b aab baa = b ba baa = u2

và u2 = bbabaa = bba ba.a = bba aba a = bbaaab

Cũng như vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = baa = bab trong S, và do đó aaab = bab trong S

2 Một biểu diễn của các nửa nhóm các từ có tập hệ xác định là tập rỗng:

A+ = A 

Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm ) đều có biểu diễn

Thật vậy, S = <A|ker()> là một biểu diễn, trong đó  : A+ S là toàn cấubiểu diễn.Tuy nhiên nói chung biểu diễn này rất phức tạp Chúng ta sẽ quan

tâm nhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn

S = A , trong đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và  là một tập hữu hạncác hệ thức

Ở trên ta đã nói tất cả các vị nhóm đều có một biểu diễn ( Với tư cách làmột nửa nhóm) Tuy nhiên sẽ tiện lợi hơn nếu sử dụng các biểu diễn vị nhóm

mà đối với các biểu diễn ấy có ưu thế của phần tử đơn vị

1.2.5 Định nghĩa. M = a a1 , , | 2 u i v i I i(  ) là một biểu diễn vị nhóm nếu

ui, vi  A+, trong đó A = {a1,a2,…} là một bảng chữ cái Trong biểu diễn vịnhóm chúng ta có thể giả thiết có các hệ thức dạng u = 1, nghĩa là từ u có thể

bị xóa từ một từ khác hay bổ sung vào một vị trí nào đó giữa hai chữ cái

1.2.6 Ví dụ 1 Giả sử A = <a, b|ab = ba> là một biểu diễn của vị nhóm M.Thế thì M A C

 trong đó A = {a,b} và  = {ab = ba} Có một toàn cấu

 : A*  M và M được sinh ra bởi các phần tử x = (a) và y = (b) Vị nhóm

M giao hoán, vì hệ thức ab = ba cho phép ta thay đổi vị trí của a và b Nếu cácphần tử thuộc tập sinh của M giao hoán được với nhau thì M giao hoán Do

đó (a) (b) = (ab) = (ba) = (a)(b) hay xy = yx Hơn nữa, mỗi phần

tử

z  M có một dạng chuẩn

Giả sử z = z1.z2…zn với zi = (ai) (ai = a hoặc ai = b, thì z = (a1) (a2) …

(an) = (a1,a2…an) = (akbm) =(a) k (b) m = xnym với m,k nào đó, (m0,k0) Dó đó vị nhóm M là một vị nhóm giao hoán tự do, và có thể chỉ rađược rằng mỗi vị nhóm giao hoán được sinh bởi hai phần tử là ảnh toàn cấucủa M

2 Biểu diễn vị nhóm M = < a, b|aba = 1> xác định một nhóm Thực ra,

nhóm này đẳng cấu với (Z,+).

Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu diễn trên thì M A C



 , trong

đó A = {a,b} và  = {aba = 1} và giả sử  : A* M là toàn cấu tương ứng.Thế thì M được sinh ra bởi các phần tử x = (a) và y = (b), hơn nữa ab = ba.aba = aba.ba và do đó xy = yx Điều đó kéo theo M là một vị nhóm giao hoán

Do đó mỗi phần tử z  M có dạng z = (ambn) với m 0, n 0 nào đó Hơn

nữa a.ba =1 và ba.a = ab.a = 1 nên ba là nghịch đảo của a, tương tự a2 lànghịch đảo của b, b = (a,a)-1 Điều đó có nghĩa là tất cả các phần tử của M đều

có dạng z = (ak) với k  Z Thế thì  : M  (Z,+) xác định bởi (a) = -1 và

(b) = 2 là một đẳng cấu

3 Xác định hai ánh xạ , : N  N xác định bởi

( ) 0 0

1 0

khi n n

Vị nhóm bixyclic có rất nhiều biểu diễn nửa nhóm Chúng ta quan tâm đếnbiểu diễn sau sau:

B = < a, b/aba = aab, a = aab,bab = abb, b = abb >

1.2.7 Định lí (Định lí Evans) Giả sử S là một nửa nhóm được sinh bởi một

tập đếm được Thế thì S có thể nhúng được vào một nửa nhóm được sinh bởi hai phần tử