Các bài toán dãy số thi trong Olympic P2

a, = 1 `

2 Cho dãy số {a,} với ja; = 2 VneN

Tim tat ca cdc gid tri cua n dé a, — 1 1a một số chính

phuong

Giải Xét phương trình đặc trưng : t? = 4t-1

| > ty, =2+V3

>a, = ot (2 +3)" + B(2-⁄8)

(œ.B e R)

(* =1

Hơn nữa :

ai =2

“bo 1

2a +B) +V3(a— B)=2

TTT:

2

_ (V3+1) (v3-1) |

(ay

Vi a, — 2 1a sé chinh phương nên :

63

64

(ay (8-1)

n+1 eZ

(v2)

Ta lần lượt xét các trường hợp

Xét dãy {b,), với

_ (2+ 3)" -@- vB" _ (8 +) - WB -D"

Ta lai cé6 2+ 3 1a cdc nghiém cia phuong trinh dac trung

x? =4x-1 nén {b,} thỏa :

bụ,¿ = 4by,¡ — by

b, = 0

mà Ẳ "

=> b, ¢Q vk eN*

=a, — 1; không phải là số chính phương

we GO

P 5+1 (2+3) -(2- v3) "|

thi day {C,} thoa man

G, = 4O,.¡ — Öy

>C,¢€Z, VkeN

n=0

a — 1 là số chính phương ©

n 2g em P n6 ° nguyên dương lẻ

Cho ae (93) Tìm

n

lim (cos? Ñcosœ + sin? œÑsin ot)

n+œ

Đặt :

Giải

X, = cos2 cosœ + sin? œÑsinœ,n eN

= X„ —> L khi n —>+œ

Inx,

X, 7 —> 1,khi n — +œ

0<x,<l,VneN

Để ý :

y In +3) i khi x 0

“`

n(x, - 1)

n(x, — 1) = cos°œw——————— + siỉn? œ

+> cos?alncosa+sin?alnsina ©

(vi lim n(¥x -1) = Inx (với x> 0))

n>+0

=> (x,)" > (cos a)" (sin a)"

65

(a9) Cho day sé {un} véi:

n+

u,éeN

Uns = +1n(1+u?)-1999, n>1

Chứng minh rằng dãy {u,} hội tụ

66

Giải

Ta có Í(x) = sin(1 + x?)- 1999 là hàm số khả vi trên R và f(x)

=1 “| g3 (vxeR)

Mặt khác, đặt:

mm

g(x)=x+ 1989 ~ —In(1+ x’)

= x — f(x)

thi g cing kha thi trén R va

g(x) = 1- 7 >0 (vxeR)

Hơn nữa: g(0).g(- 1999) = = = 199?) <0

Từ đó suy ra tồn tại L c (—1999,0) sao cho:

g(L)=0 ©f(L)=L

Ap dụng định ly Lagrange, ta cé ce R sao cho:

Từ đó ta được:

n-1

|u„ - L| < B ju, -L], VneN

=> lmu, =L

n>+ϩ

Cho l eN

Hãy xác định giá trị lớn nhất của G và giá trị nhỏ nhất của k

sao cho n số dương trên có a,, a, a, thì bất đẳng thức sau

đây luôn luôn đúng:

Giải

Dat: S= Sa,

i=1

a,

T = T(a,,a, ,a,) = >

¡=1 đị + 8,

(Trong đó: a,,, =a,)

n a

Ta có: T> y= =1 as

>k21

Mặt khác:

n-T=-——>—+-—>—+ +——*—+——`

= T(a,,a„;, a;) > 1

>T<n-l G<n-l1 Với x > 0, ta có:

T(1x, ,x" *) = + 5 ¬

l+x 1+x™7

lim T(1, XX") =n~-1 | x0

lim T(1, X, ,X7 7 ) =]

Nhu vay: Max G =n- 1, Min K = 1

67

2, CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC ĐỀ THỊ

OLYMPIC 30-4 LẦN VI, NĂM 2000

@) Cho dãy (tu) được xác định như sau:

n, =2000

Giải

n

Ta có: | Un =U, +—z, Vn20

n

>u> +3,Vn 20 (Do u, > 0, Vn 20)

3 3 u; >u,+3

=‡u>u +3 Vn>l u>u +8

=u, >38n+us, Vn>l (2)

Từ (1) và (2) suy ra: -

ue <ue +34 = "mm Vn>1

u, + 3n (u + 3n) n 9n

n=1 n=l

=> us <uj+3(n-1)+ yi +, vn>2 (3)

mik 96k

Mặt khác, ta có:

n 1

ŠK?<1+- + ¿y +—”

=> (Š2) < aya <2n, Vn21

k=1

= Y= < V2n, Vn >1 (5)

k=1

Tir (2), (3), (4) va (5) suy ra:

3 3 3 g+ tect Mig, 2+”, Vn>2

3

u

Vậy n>+o 7

u, =1

U; = 2 :

Uj =u, +2u,,,, neN

Dat a= lim “= Tinh a

n¬+œ u

Giải

e Với n = Ì], ta có:

uz — uu, = 4-15 = (-1

e Với n=k+N, giả sử: |

Une — U, Uyye = (-U*

e V6in=k +1, tacé

Uxs2 mm ụ¿¿ (uy + 2u; ;) ~ Uys (uy.; + 2u,.2)

= Uy yo -Uy ~ Uns = -(-1) = (-1)""

n+1

Nhu vay: ui, —u,.u,, =(-1)", Vne N

69

Để ý rằng: u, >1, VneN, nên:

(] _ Đa _ (-1)" = =

=[Se) Yaa 1 „ C1) (*)

Hơn nữa, cũng từ: u„,; =u„ +2u,;, VaneN _

=> Uj,» TU; =uU,+u,;>0,VneN

=SUua,;>Uu„y, VneN

= {u,} la dãy tăng -

Do đó, nên {u,} bi chan thi {u } hội tụ về be R

Luc dé, ti: u,,, =u, + 2u,,,, VneN

=b=0

= vô lý (vì u, >1, VneN=b>1)

=> {u,} không bị chặn trên Nhu vay {u,} tăng và không bị chặn trên, nên: lim u, = +

Cùng với (*), suy ra : a? _ 2a-1=0

ea=1+v2 (via>1)

n › f(n) thỏa

f(m +n) - f(m) - f(n) e {0,1},Vm,n eN f(n)>0,VneN

f2) = 0 < 3), 9999) = 33338

Giải

Do f(m +n) - f(m) - f(n) <{0,1}, VmneN

_ =f(m+n) = f(m) + f(n) vm,neN

_e Lấy m = n = 1, ta có: 0 = f(2) > 2f(1) ©

=f()<0

Mà f(1) >0 (do giả thiết)

=fd)=0 ~

e Lấy m =2, n = 1, ta có:

f(3)-f(2)-f£() « {0.1

0

——

1

-_ Mà f3) >0

=f(3) =1

= f(2.3) = f(3+ 3) > f(8) + f(8) = 2

Gia sử f(k3)>k (keN)

khi đó f((k + 1)3) = f(k; +3) > f(k;¿) + f(3) >k+1

Như thế ta có: f(3.n)>n, VneN

¬ em

ơn nữa, nêu £(3n) <n thi

f(3(n + 1)) = f (3n + 3) > f(3n)+f(3)>n+1

wal

Như thế ta có f(3m) >m, Vm>n

Nhung vi £(9999) = £(3.3333) = 3333

=> f (3.n) =n,Vn € {1,2, ,3333}

=> f (3.2000) = 2000

= f(3.2000)

> f (2.2000) + f(2000)

> 3.f (2000)

= f(2000) < == < 667 Mặt khác:

f (2000) > f (1998) + f (2)

> f (3.666) = 666

= f(2000) > 666 Nhưng 666 < (2000) < 667

=> f (2000) = 666 (vi f(2000) e Z)

Cho dãy số {u,} được xác định bởi:

| u, > 0,u, > 0

1 Unie = (u„ ~ u2 } > Vn € N

Giải

+ Bằng quy nạp, ta có:u >0, VneN

+ Une = (u, we \ |

> Inu,,, = ai Uns +ầm u, Dat: V, =Inu,, Vn 20 |

72

x—x, =(-1) ~ , Wn>1

(1+x) (1+x,)(1+x;¡) (1+ x„)

(1+x)" (52)

=> |x-x,|<

(khi n —> +0)

V5 -1

=> limx, =x=

n> +00 2

@5) Cho dãy ly,) được xác định như sau:

i

yi 2

1 Yo-t

=—-=8' n2>2

Yn 2 2

a Chứng minh rằng: -3 <9, 55, Wn >2

b Tim limy,

Giai

= 1: 1 _ 1 ci

>-ley,<t

8.” 9

-n=k>2: " Giả sử -—<y,<— g *Ê?

-n=k+ 1: Ta có: y ° J k+l -1_¥e 2 2

179

In i sả]

gJ*Ê2

Vay: ~ 9 <¥n So? Vn>l |

b Gọi y là nghiệm phương trình: y= 2 27 a <1 55

Ta có:

Ö-1_y _1_ y

y T2 2a g2

Y-Yn= an yˆ(y +y,)(y +2) (y +y„¡), Vn>

Cụ thể, ta có y = /ð ~1 Khi đó

ly + ya| <|y|+|ờa|

<8~1+2 <1, Vn>l

1

=ly-#ya|* Vn>1

= limy, = y =V2-1

Cho dãy số dương {u,} thỏa: lim Bow q>0

n->+œ u

n

Chứng minh rằng: lim yu, =q

Giải

Do lim “41 = q >0

n>+0 Y

n Nên Ve e(0,q), tôn tại NÑ eN sao cho

Un

Vn 2N thiq-e—* <qte, Vp'20

np'-1

Cho p’ = 1, 2, p(peN), ta có:

u„„

q-e<-*#<q+e

u

+ P nh ÐeAePeoeeneedaeeeee-nn®eeeeemee

Uns 1

Nhân các bất đẳng thức này vế với vế với nhau, ta có:

(q-e)?<=*®<(q+e)"

Hạ

a (q —¢\es : 2

=> ub? (q—e)a < "2U, <u>? (q+ €)a+p

n2N, cho p > +, ta duge:

q-eslim™?u,,, <qre

ptoo

=q-£< lim “*?/uy,, <q+e£

p—+»

2

@?) a Chứng minh rằng: cosx >1-— 5° Vx 20

b Đặt S, = )'k.cos=

k=2 2

¬-

Tính giới hạn của lim —>

Giải

Xét

2

f(x) = cosx-1+-5, x20

181

b

f (x) = ~—sinx + x

f *(x) = —-cosx + 1>0, Vx 20

= f tang trén [0, +)

=> f'(x)>f'(0)=0, Vx 20

=> f ting trén [0, +)

=f(x)>f(0)=0, vx>0

x?

= cos21-—~, Vx 20 Theo cau a), ta có:

| Vay:

Nhận xét:

k=2 k=2

>yk-2yY eo dk =

_ (n+2)(n-1) 4 (n+2)\(a-1)_ z°(n-1)

2

mB 0d ue EE 2 n n n 2 n 4\n n

lim —?~=

n> n 2

Qua phép chitng minh trén, ta dé thay rang:

x?

sinx| <|x|, Vx eR

Cho dãy số (u,} được xác định bởi:

u, = 2006

1 U„; =u, +, n>0

n n+

3

Tim gidi han day sé t8]

1

Ta có Uạ,; =U, +—-,; Vx>a0

>u#+3, Vx>0 (Dou, >0, Vx>0)

2>u¡+3, Vn>l

+

u, + 8n (u; + 3n)

=>=u

3 3

=un; <uUy t3+

<u> tay Là —;;› Vn>l

ởn 9n

' <u#+8(n-1)+Š-L,§_L, vn>2

=> u, < u, + ( n- ) + “ 3k & 9k? —— > n = (2) Mặt khác, ta có:

=< <l+-_—+—-+ +

ka Kk" 12 2.3 (n-1)

va 1 -2)<2, vn >1 (8)

=Š`—<vn n Ys <v2n n, Vn 21 (Do BDBT B.C.S) (4)

kal kK kai K

183

Từ (1), (2), (3) và (4 suy ra:

3n +uŠ <uŠ <uŠ + 3n +4/2n +2, Vn >2

3 3 3

>3+ 2c Hes Th 43+ [i 4-, Vn >2

3

u

=> lim— =3

n>+0 yy

Cho dãy số (x,} xác định bởi:

x, = ụ :„lÍ +3 (1 +3) |

Tim lim (Inx,)

n>+0

Giai

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:

x?

x=~<Ind+x)<x, Vx >0

2

4 oe

2 (x>0)

Xét f (x) = In(1 + x) ~x

g(x)=x - In(1+ x)

= f,g đều tăng trén (0, +00)

leat (vx> 0)

2

Vay x- = <In(1+x)<x, Vx >0

Tim lim (Inx,)

n->+0

nŸ n n

Ta có: lnx, = In{ + =| + In(1 + =) + vata [1 + a]

Ap dung bat đẳng thức trên, ta có:

— —¬ <In[1+-s ]< gi Vi=1,n

2 9 4

=-L(1+2+ +n)~ 1 (1? +2? + +n’)

<Inx, <s z(1+#+ +n)

= 1 a(a+d)_ 1L nín+U(n+Ù íny„ „1 nữn+])

n->+o n->+0

Vi lim v, = limw, =>

ậy limv„ạ=—

Vậy J1 n-»+» mv, =2

Cho hai day sé {a,} va {b,} théa

- 2005

a, = ——

2006

b, = 2007

2006

Any = a, +——

b;

bạ; = bạ + +

(n = 1, 2, 3 )

n>+0 a, + n

Giải

Ta có: a;b; = la + Ele + 4]

bị a,

185

=a,b, + 1 +2>4

11

=>a,+b, >2/a,b, > 2V2.2 -

Giả sử a, +b, >2V2k (keN)-

Khi đó:

1 2a

2 = 2 + 4 Sk

ayy = a, be b,

+

2

a,b,

k b, b, a,

> 8k +8

2 8(k+1)

=> a,,, + b,,, > 2,/2(k +1)

= Theo nguyén ly quy nap, taco: a, +b, > 2V2n, Vn > 2

Vay: an a„ + bạ ~

l+-+>—+ +—

Giải

Theo kết quả bài 3, ta có:

In(1+x)<x, Vx>0

= in{is2) <2, VxeN

nj n

~ + 5 in(1+n)-Inn, VxeN

n

=>a,=l+-+—+ +—

> (In2-1n1)+(In3- In2) + + (In(n + 1) - Inn)

> In(n +1)

>a, >In(n+1), VxeN

l+-+>+ +—

1

Cho 1<a<e° và dãy số {x,} xác định bởi:

X,=a

Xin =a", n2l1

n

Chứng minh rằng: Day {x,} héi tu

Giải en=1 > X,=a% =a" >a=x,

en=k :Gid st x,,, > x,

en= k + 1: x, =a >a = Xt

Vay > Xi4,>X, VxeN

Xét f(x)= 2% -Ina, x>1

f(x) = 1-Inx =0<Ằ©x=cC

Bảng biến thiên:

187

1

Do: l<a<e

=>0<Ina<si

e -Ina <0

=>

f(e)=+-Ina>0

e _= Tên tai x, > 1 sao cho: f(x, ) Inx, °-|Ina=0

X,

Inx, =lna

Bây giờ, ta ching minh x, <x,, Vne N

Qua vay:

en=k : Gia su xX, < xX,

en=k+1:Tacé: x,,, =a% <a” =x,

>x, <x, VneN

= Day {x,} hdi tu

0<x,<l (3) Cho day sé {x,} thỏa: K,(1-x,)2 i, vneN

Chứng minh rằng:

a limx,=—

b <i vneN

Giải

a Ta có: