Tài liệu Các bài toán dãy số thi trong Olympic P3 doc

Chứng minh tương tự: x,,; >x;„;, VneN Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình có duy nhất một nghiệm dương x, và tìm lim Xạ-.

Chứng minh tương tự: x,,; >x;„;, VneN

Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình

có duy nhất một nghiệm dương x, và tìm lim Xạ-

Khi , [1= x, = Xã + + X)

l=x nel + Xu + + Xone 2 n + Xn

>xX,>xX,., nel >0 _ (vì ngược lại: 0< X, £X,.)

1

((2n+1)@n+2 [n+l "*2 (n +1)’ ~ Jn(n +1)

=> {u,} là dãy dương tang (1)

=a, <a„,;, Van>2

Từ (1), (2) = {a,} 1a dãy giảm và bị chặn dưới bởi V2005 nên

Vậy: n+œ lim a, = 42005

194

Từ chứng minh trên: lim „ = B nên:

Ve>0O, INEN: n2N=>B-— <A, <B+e

Do lim C 1 axI=0

Nên tôn tại m eÑ: > sal < 355 ,Vn >m, (2)

(với £ được xét ở trên)

- Từ (1) và (2) = >,C„x(ay, -a) < D5 _|C,v +e

<D— += =6,vn>n,+n, 2D 2

Sit dung dinh ly Toeplitz voi C,, = Ì;k =1,9, n “on

Khi đó : lim 22 2827+-* 45 - lim S`C, vay =a

T>+22 n Noe

Chung minh rang : Néu

lima, =a thi lim na, +(n 13, + + la, — 8

Giải Dat : : Ca k "` n :

198

Ta c6: Ina, -> Ina Nén theo bài 41, ta có :

Ina, +Ina,+ + Ina, —>Ìna

44) Cho day sé {a,} Chttng minh rang

lim 221 = a > 0 thi lim Va, =a

Vay: n->+00 lim ga, =a

200

Do dé theo dinh ly Toeplitz: lim Xu as =c

kel n>+0 a,ta,+ +a,

b lim bob n~>++ b, — bạ =ec `

Khi đó: Jim 5 = = (Dinh ly Stobz)

ly,) 1a day tăng thực sự tới +œ

lim Š#—Ấ*! = lim(a, =a,,)=a

G1) Cho {C,,/1<k <n; k,n € Z} Ching minh rang:

Néu lim S0 xay =a, V day {a } thỏa lima, =a (ae R)

k=1

thi (i) limC,, =0, VkeN Gi) n->+œ kel lim >C,,=1

(iii) Tôn tại hằng số c > 0 sao cho:

3 |ca„|<c, VaeÑ

= (Điều ngược lại của dinh ly Toeplitz)

204

Lay af =|) ,n# £ => lima” =0, VleN n->»+œ

= 0= lim 30a” =0, VleN

Khi đó: 3.C,, vầy = Cy, vây + ` Cay ek

1 1 H/+1 Tar tapi 10° 10 ze

Vec(o,q -1) Ta có: lim Bost

a, n->+0 =q>q-E>l

Anat >q-s, Vn2n,

Suy ra, tồn tại n, eÑ:

n

Ve ce(0,1- q), ta có lim ga„|=q<q+ <1

Suy ra, tôn tại n, eÑ: gja,| <a+e, Vn>n,

= laa|<(q+£)", Vn>n,

Mà: lim(q +e)" =O nén lima, =0

Ve €(0,q -1) Ta cé: lim ya, =q>q-e>l

Suy ra, tổn tại n, eÑ: yaa >q~£, Vn>n,

= |aa >(q-£)°, Vn>n,

Do lim(q-e)” =+œ nên lim |a„| = +

64) Chứng minh rằng không tôn tại lim sinn n~>+œ

Giải

Giả sử giới hạn dãy số {a } tôn tại Khi đó:

0 = lim [sin(n + 2) - sin n]= 2sin1 lim cos(n + 1)

- Từ (1) va (2) > 1= lim (sin n + cos” n)

= lim sin’ n + lim cos’n = 0 (v6 ly) n—+œ n->+eo

Vậy, giới hạn của {sinn) không tôn tại

e14t<¥e<(142) °

1 1+—