Tài liệu Phần 2 Các bài toán dãy sô ôn thi trong đề thi Olympic phần 2 pptx

2, CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRONG CÁC ĐỀ THỊ

OLYMPIC 30-4 LẦN VI, NĂM 2000

Uj =u, +2u,,,, neN

Dat a= lim “= Tinh a

Hơn nữa, cũng từ: u„,; =u„ +2u,;, VaneN _

=> Uj,» TU; =uU,+u,;>0,VneN

=SUua,;>Uu„y, VneN

= {u,} la dãy tăng -

Do đó, nên {u,} bi chan thi {u } hội tụ về be R

Luc dé, ti: u,,, =u, + 2u,,,, VneN

(3) Cho fh Noo Z

n › f(n) thỏa

f(m +n) - f(m) - f(n) e {0,1},Vm,n eN f(n)>0,VneN

f (2000) > f (1998) + f (2)

> f (3.666) = 666

= f(2000) > 666 Nhưng 666 < (2000) < 667

x?

cosx21-—, VxeR

sinx| <|x|, Vx eR

Cho dãy số (u,} được xác định bởi:

u, = 2006

1 U„; =u, +, n>0

n n+

3 Tim gidi han day sé t8]

Tim lim (Inx,)

n->+0

nŸ n n

Ta có: lnx, = In{ + =| + In(1 + =) + vata [1 + a]

Ap dung bat đẳng thức trên, ta có:

2 9 4

k ay

2 2a,,,0,., = 2a,b, + +4

Giải en=1 > X,=a% =a" >a=x,

=>

f(e)=+-Ina>0

e _= Tên tai x, > 1 sao cho: f(x, ) Inx, °-|Ina=0

Chứng minh tương tự: x,,; >x;„;, VneN

= Em

a= £(6)

©ơ==a

=> lim x,, = lim x,,,, =a n~>+œ n->+00

Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình

có duy nhất một nghiệm dương x, và tìm lim Xạ-

Khi , [1= x, = Xã + + X)

l=x nel + Xu + + Xone 2 n + Xn

>xX,>xX,., nel >0 _ (vì ngược lại: 0< X, £X,.)

=a, <a„,;, Van>2

Từ (1), (2) = {a,} 1a dãy giảm và bị chặn dưới bởi V2005 nên

n+œ

Từ chứng minh trên: lim „ = B nên:

Ve>0O, INEN: n2N=>B-— <A, <B+e

Nên tôn tại m eÑ: > sal < 355 ,Vn >m, (2)

(với £ được xét ở trên)

(Do C;„ >0,Vn,k € N)

Từ (a), (b), (c) — (ĐPCM)

(Do định lý Toeplitz)

Chung minh rang : Néu

lima, =a thi lim na, +(n 13, + + la, — 8

Ta c6: Ina, -> Ina Nén theo bài 41, ta có :

Ina, +Ina,+ + Ina,

44) Cho dãy số {a ) Chứng minh rằng

lim 221 = a > 0 thi lim Va, =a

Do dé theo dinh ly Toeplitz: lim Xu as =c

kel n>+0

ly,) 1a day tăng thực sự tới +œ

lim Š#—Ấ*! = lim(a, =a,,)=a

Néu lim S0 xay =a, V day {a } thỏa lima, =a (ae R)

k=1

thi (i) limC,, =0, VkeN Gi) lim >C,,=1

Giải Lay a, = 1, vneN = lim 9 O,, = lim 1G, a, =aal

Khi đó: 3.C,, vầy = Cy, vây + ` Cay ek

Vec(o,q -1) Ta có: lim Bost

a, n->+0

Ve ce(0,1- q), ta có lim ga„|=q<q+ <1

Suy ra, tôn tại n, eÑ: gja,| <a+e, Vn>n,

= laa|<(q+£)", Vn>n,

Ve €(0,q -1) Ta cé: lim ya, =q>q-e>l

Suy ra, tổn tại n, eÑ: yaa >q~£, Vn>n,

= |aa >(q-£)°, Vn>n,

Do lim(q-e)” =+œ nên lim |a„| = +

64 Chứng minh rằng không tôn tại lim sinn n~>+œ

Giải

Giả sử giới hạn dãy số {a } tôn tại Khi đó:

0 = lim [sin(n + 2) - sin n]= 2sin1 lim cos(n + 1)

- Từ (1) va (2) > 1= lim (sin n + cos” n)

= lim sin’ n + lim cos’n = 0 (v6 ly)

1 1+—