Tuyền tập một số bài toán dãy số thi học sinh giỏi doc

Tìm công thức tính un theo n.. Chứng tỏ rằng tồn tại giới hạn của dãy và tìm giới hạn đó theo a, b... Tìm lim un.. Chứng minh dãy đã cho là cấp số cộng... Chứng minh tồn tại lim un và tí

Tuyển tập một số bài toán dãy số thi hsg

2

1 n 2

2

5 2

3 2

1

giải:

2

1 n 2

2

5 2

3 2

1

2

1 n 2

2

7 2

5 2

3 1 S

n n

1 n n

2 n 2

n

2

3 n 2 3 2

1 n 2 2

1 1 2

1 1 1 1 2

1 n 2 2

1

2

1 2

1

1

1







































Vậy S = limSn 3



7

13 u

; 5

10 u

; 3

7

u1  2  3  Chứng minh rằng khi n  dãy có giới

hạn là

2

3

Giải

Mỗi số hạng của dãy là một phân thức, các mẫu thức lập thành CSC có u1 = 3, d = 2  số hạng tổng quát wn = 3 + (n – 1).2 = 2n + 1, n = 1, 2, … các tử thức lập thành CSC có u1 = 7, d = 3 

số hạng tổng quát vn = 7 + (n – 1).3 = 3n + 4, n = 1, 2, …

Vậy

1 n 2

4 n 3 w

v

u

n

n n







2

3 1 n 2

4 n 3 lim





Bài 3. Cho CSC a 1 , a 2 , … và CSN b 1 , b 2 , … thỏa mãn:

a 1 = b 1 ; a 1 + a 2 = 2b 2 ; a 1 + a 2 + a 3 = b 1 + b 2 + b 3 Tìm 2 cấp số đó

Giải gt  a1 = b1; a2 = 2b2 – b1; a3 = b1 – b2 + b3 và a1 + a3 = 2a2 nên 2b1 – b2 + b3 = 4b2 – 2b1  4b1 – 5b2 + b3 = 0 (*)

Mặt khác: b1, b2, … là CSN nên b2 = qb1, b3 = q2b1, thay vào (*) 

b1(q2 – 5q + 4) = 0  b1 = 0  q = 1  q = 4 Từ đó tìm được các cấp số là:

CSC: b1, b1, …; CSN: b1, b1, … Hoặc CSC: b1, 7b1, 13b1,…; CSN: b1, 4b1, 16b1,…

Bài 4. Cho 2 dãy số (u n ) và (v n ) thỏa mãn:

u1 = 1995, v1 = 1997,

n n

n n 1

n n n 1

n

v u

v u 2 v

), v u ( 2

1 u







Gv: Nguyễn Nhuận Trường THPT Yên Thành 3

2 1 n 1 n

2

2 v

u

n



Giải gt  un > 0, vn > 0 n = 1, 2, …

) v u ( 2

) v u ( v u

v u 2 ) v u ( 2

1

n n

2 n n n

n

n n n











 un + 1 > vn + 1 , n = 1, 2, …  1

) v u ( 2

v u 0

n n

n





n n

2 n

) v

u

(

2

) v

u

(









, n = 2, 3,…

 un + 1 – vn + 1 < un – vn < … < u2 – v2 = 1

1996

1 ) 1997 1995

( 2

4 )

v u ( 2

) v u (

1 1

2 1









2

2 n

2n

 Từ đó suy ra đ.p.c.m

Bài5. Cho dãy số (un) thỏa mãn:

u0 = 2, u1 = 6, un + 1 = 6un + 2un – 1, n  1

Tìm công thức tính un theo n

Giải

Phương trình đặc trưng của dãy số là: x2 = 6x + 2 có 2 nghiệm phân biệt :

11 3

x , 11

3

n n

n (3 11) (3 11)

Thậy vậy: Với n = 0: u0 (3 11)0 (3 11)0 2 đúng

Với n = 1: u1 (3 11)1(3 11)1 6 đúng

n  1, ta có:

6un + 2un – 1 = 6(3 11)n 6(3 11)n 2(3 11)n1 2(3 11)n1 =

= (3 11)n1(206 11)(3 11)n1(206 11) =

= (3 11)n1 (3 11)n1 un1 (đ.p.c.m)

Bài 6 Dãy số (un) được xác định như sau:

a) u1 = a; u2 = b (a, b  R, a < b)

2

1

un  n1  n2

Chứng tỏ rằng tồn tại giới hạn của dãy và tìm giới hạn đó theo a, b

Giải

) u u

(

2

1

2

1 u

un  n1  n1  n2 (1)

Đặt vn – 1 = un – un –1 , n  2  v1 = u2 – u1 = b – a

2

1

v     (vn) là CSN có công bội

2

1

q Do đó:

1 n 1

n 1

n

2

1 ) a b ( 2

1

v

v





































Ta có: un = (un – un – 1) + (un - 1 – un – 2) + … + (u2 – u1) + u1 =

= vn – 1 + vn – 2 + … + v1 + u1 =

1 n 1

1 n

1

2

1 ) a b ( 3

2 3

a b 2 u 2

1 1

2

1 1

v





















































































Vì

3

a b 2 0

2

1

lim

1 n























n

u lim n

căn dấu n

giới hạn Tìm lim un

Giải

Từ công thức xác định dãy suy ra: u1  a;un  a un1 , n  2

1 n n



















   

căn dấu căn

dấu

Mặt khác:

2

a 4 1 1

2

a 4 1 1 a

đến n – 1, ta có:

2

a 4 1 1 2

a 4 1 1 a u

a

 un tăng và bị chặn trên  tồn tại lim un = L Khi đó: L > 0 và L a L



2

a 4 1 1

2

a 4 1 1

Bài 8. a) Cho dãy số u1, u2, …, un, … có tất cả các số hạng khác 0 và thỏa mãn:

k 1 k 1 k 3

2

2

1 k u u

1

u

u

1

u

u











, k  3 (*)

Chứng minh dãy đã cho là cấp số cộng

Gv: Nguyễn Nhuận Trường THPT Yên Thành 3

b) Cho dãy số thực (un) được xác định u1 = a, u2 = b, (u u )

2

1

un  n1  n2 , n  3 Chứng minh tồn tại lim un và tính giới hạn đó theo a, b

Giải

a) Viết (*) dưới dạng:

3 1 3

2

2

2 u

u

1

u

u

1



4 1 4 3 3 2 2

3 u

u

1 u

u

1 u

u

1





n 1 n 1 n 3

2

2

1 n u u

1

u

u

1

u

u











Hay:

3 1 3

2

2

2 u

u

1

u

u

1



4 1 4 3 3

3 u

u

1 u

u

2



n 1 n 1 n

1

n

1 n u u

1

u

u

2











(n – 2)

Từ (1)  u1 + u3 = 2u1  u1, u2, u3 lập thành CSC, gọi d là công sai của CSC này Từ (2)  2u4 + u1 = 3u3  2u4 = 3(u1 + 2d) – u1 = 2(u1 + 3d)  u4 = u1 + 3d Suy ra u1, u2, u3, u4 lập thành CSC

Giả sử đã chứng minh được: un-1 = u1 + (n – 2)d (**)

Từ (n – 2)  (n – 2)un + u1 = (n – 1)un – 1, kết hợp (**)  (n – 2)un = (n – 1)[u1 + (n – 2)d]  un

= u1 + (n – 1)d Vậy theo nguyên lý qui nạp suy ra: un = u1 + (n – 1)d n = 2, 3, … Điều đó chứng tỏ u1, u2, …, un, …lập thành CSC (đ.p.c.m)

b) Xem bài 6

5 4

1 4 3

1 3

2

1

2

1

1

Giải a) Đặt

) 1 n ( n

1

4 3

1 3 2

1 2 1

1

Sn











Ta dễ dảng tìm được

1 n

1 1

Sn





1 n

1 1 lim S

lim

















Bài 10 Cho số thực  > 2 và dãy số thực dương  

1 n n

1 n 2

1

Chứng minh dãy

















1 n

n

n

a

có giới hạn khi n   và tìm giới hạn đó

Giải

Ta có: an1 a1 a2  an an an an hay a2 < a3 < a4 < …

 an an an1 a1 a2  an a1 (n1)an hayan a1(n2)an (*)

+) Nếu a1 < 1 thì a2 a11a2 1an 1

Từ (*)  an an (n2)an (n1)an an1 n1

1 n

n n

1 1 n

1 n n

a





















n

a lim 0

n n

1 1 lim

1 n n

2























+) Nếu a1  1 thì an > 1, n  2

1 n

1 1

1 n

n

2 n n

a n

2 n a n

a n

a





























0 n

a 0

n

2 n n

a

lim

1 n 1

1

1











































Bài 11 Cho dãy số (u )n được xác định như sau:

1

2







 Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên

Giải

Từ giả thiết ta có:un 1 5un  24u2n 1 (1) và u2 = 1

(1)u  25u 10u u  24u 1 u  u 10u .u  1 0 (2)

Trong (2) thay n bởi n -1 ta được:

u 10u u  u    1 0 u  10u u  u  1 0 (3)

Từ (2) và (3) suy ra un+1 và un-1 là 2 nghiệm của phương trình t2 10u tn u2n  1 0

Theo dụng định lí Vi-et, ta có: un 1 un 1 10u hay un n+110un un 1 (4)

Từ u1 = 0; u2 = 1 và (4) ta suy ra các số hạng của dãy đã cho đều là số nguyên

Bài 12. Cho dãy số (un) với un = -n4 + 8n3 – 0,5n2 + 4n, với n  N* Tìm số hạng lớn nhất của dãy số

đã cho

Giải

a) Xét hàm số f(x) = -x4 + 8x3 – 0,5x2 + 4x, x  1

Ta có: f’(x) = -4x3 + 24x2 – x + 4

Nếu x  6 thì f’(x) = 4x2(6 – x) + (4 – x) < 0;

Gv: Nguyễn Nhuận Trường THPT Yên Thành 3

Nếu x  5 thì f’(x) = 4x2(5 – x) + 4x2 – x + 4 > 0

Suy ra bảng biến thiên của f(x):

Ta có: u5 = 382,5; u6 = 438

Vậy số hạng lớn nhất của dãy là:

u6 = 438

Bài 13 Cho dãy {un}:























u 2 1

u 2 u

2 u

n

n 1

n 1

Chứng minh {un} không tuần hoàn

Giải

Đặt tg = 2,   (0 ;

2



) Ta dễ dàng chứng minh được rằng un = tgn, n  1

Giả sử {un} tuần hoàn chu kỳ T, tức là: un + T = un n  tg(n + T) = tgn, n  sinT = 0  tgT =

0  uT = 0

n

n 2

u 1

u 2 n

tg 1

tgn 2











(*)

Vì vậy nếu u2n = 0 thì un = 0

Viết T dưới dạng T = 2k(2s + 1), k, s nguyên  0 Vì uT = 0 nên sử dụng (*) k lần ta đi đến u2s + 1 = 0, mà

s

s 1

s

2

u 2

1

u

2

u







0 1 u u 1

u

1

u

s

2 s 2

s

2 – X – 1 = 0 có nghiệm vô tỉ)

Mặt khác, do u1 = 2 và từ

n

2 n 1

n

u 2 1

u 2 u







không tuần hoàn

Bài 14 Ký hiệu [x] là phần nguyên của x và {x} = x – [x] là phần thập phân của x

Tìm lim{(2 2)n}



Giải

+

x f’(x)

f(x)

n  N, ta có: (2 2)n xy 2,(2 2)n xy 2 với x, y  Z (dễ dàng chứng minh bằng qui nạp)

Suy ra: (2 2)n (2 2)n  Z n N

Mặt khác: Để ý nếu a Z và 0 < d < 1 thì [a + d] = a, ta có:

] ) 2 2 ( 1 1 ) 2 2 ( ) 2 2 [(

]

)

2

2

Vì (2 2)n (2 2)n 1  Z và 01(2 2)n 1 (do 0(2 2)n 1) nên

1 ) 2 2 ( ) 2 2 ( ]

)

2

2

Do đó: {(2 2)n}(2 2)n [(2 2)n]1(2 2)n





Bài 15

Tớnh:

4 cos 4 cos 4 cos 4 cos

n

n

n

S

Giải:

2

1

2

2

sin

sin

4 sin

2

n

n

n

S

a a





Cõu 16 Cho dóy số (Un) xỏc định bởi Un = 2  3n Chứng minh rằng [Un] là một số lẻ với mọi n (ký

hiệu [Un] là phần nguyờn của Un)

Ta cú

(1) cos sin sin cos sin 2 cos sin 2 sin



Thay x trong (1) lần lượt bởi ; 2; ;

a a a

thỡ ta cú:

Gv: Nguyễn Nhuận Trường THPT Yên Thành 3

Giải:



n n

k n k k n

k 0



n n

k k n k n

k 0



n

k k n k n

k 0

k n k n

k số chăn, k=0



n

*

n

Bài 17:

Cho dóy số (an) , a1 = 1 và n 1 n

n

1

a

n

a

n

Giải:

i 2 j 1 j 1



       



n 1 2

j 1 j

1

a





   V y an > 2n 1 , n    2.

k

a 2k 1 k 2

a (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k

 Suy ra:



 Suy ra:

(n 1) (n 1) (n 2).

n

5(n 1)

2



 Suy ra: n

n

n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < 2n-1+

n

a lim 2 n

Bµi 18

1

2006 1

,

1 1







x x

x

n

Giải

Hàm số ( ) 1 2006

1

 



f x

x liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1  f x( )  2007

Ta có 1 1 2006 ( ),

1



n

x  ( )x n bị chặn

1  3  ( ) 1  ( ) 3  2  4  ( ) 2  ( ) 4  3  5 

suy ra dãy (x2n1) đồng biến và dãy (x2n) nghịch biến suy ra (x2n1), (x2n) là các dãy hội tụ Giả sử limx2n ;limx2n1 ( ,   1)

Từ x2n1  f x( 2n)  limx2n1  lim (f x2n)   f( )

Từ x2n2  f x( 2n1)  limx2n2  lim (f x2n1)   f( )

Giải hệ phương trình

2006 1

1

2007 2006

1 1



 





  









 





Vậy limx n  2007