HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC THƯỜNG docx

Chứng minh rằng đường phân giác của một tam giác chia cạnh đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng ấy.. như ta cũng kẻ đường thẳng qua B mà song song với AD thì có

HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH

THÔNG QUA CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN

TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

I Kiến thức cần nhớ:

Biết được thế nào là hai tam giác bằng nhau

Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác: Cạnh – cạnh – cạnh

(c.c.c); Cạnh – góc – cạnh (c.g.c); Góc – cạnh – góc (g.c.g)

Biết được khái niệm và tính chất cơ bản của một số đường đặc biệt

như: Đường trung trực, đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác

Biết được định lí về tổng ba góc của một tam giác, định lí về góc

ngoài của tam giác

Công thức tính diện tích tam giác

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, bất đẳng thức tam

giác

Hiểu được định nghĩa hai tam giác đồng dạng Tỉ số của hai đoạn

thẳng, các đoạn thẳng tỉ lệ

II Hệ thống bài tập:

Bài 1 (Luyện tập toán 7 – Nguyễn Bá Hòa – NXB Giáo dục) Cho tam

giác ABC có AC > AB Trên cạnh BC lấy điểm D Trên đoạn thẳng AD lấy

Ta thấy hai bất đẳng thức (1) và (2) đúng hay sai, hai bất đẳng thức

trên không sai, nếu như lấy bất đẳng thức (1) trừ bất đẳng thức (2) thì đúng

hay sai, cái sai của bài chứng minh trên nằm ở chổ ta lấy hai bất đẳng thức

trên trừ cho nhau Nhớ! Không trừ hai bất đẳng thức cùng chiều.

Nhận xét: Cần chú ý trong việc biến đổi bất đẳng thức.

Bài 2 Chứng minh rằng đường phân giác của một tam giác chia cạnh

đối diện thành 2 đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn thẳng ấy

như ta cũng kẻ đường thẳng qua B mà song song với AD thì có thể chứng

minh được bài toán trên hay không

E D A

Cũng với cách vẽ đường phụ với mỗi đường phụ hợp lí ta lại có thêm

Bài 3 Cho tam giác ABC biết AB < AC Trên tia BA lấy điểm D sao

cho BC = BD Nối C với D Gọi E là giao điểm của AC với phân giác của

1 Giả thuyết và kết luận của bài toán trên là gì?

2 Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh)

a) Chứng minh rằng CE = DE

- Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường có những cách

nào?

- Tại sao hai tam giác BEC và BED bằng nhau?

- Từ hai tam giác bằng nhau đó ta suy ra được điều gì?

E

F

D A

- Muốn chứng minh BI CD ta phải làm sao?

- Vì sao chúng ta có BIC BID    90 0?

- Vậy ta có được điều phải chứng minh chưa?

GIẢI

GT ABC; AB<BC; BC=BD; ABE CBE 

 ; AH CD

KL a) CE = DE b) AH // BE

a) Xét hai tam giác BEC và BED có:

BE là cạnh chung; ABE CBE 

 (vì BE là tia phân giác của gócB)

BC=BD (giả thuyết)

Vậy BECBED (c.g.c)  CE = DE (cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Kéo dài BE cắt CD tại I

Xét hai tam giác BIC và BID có:

BI là cạnh chung; ABE CBE 

 (vì BE là tia phân giác của gócB)

Nhận xét: Qua bài toán cho ta thấy để chứng minh hai đoạn thẳng

bằng nhau ta có thể gép nó vào hai tam giác và chứng minh hai tam giác đó

bằng nhau; Chứng minh hai đoạn thẳng song song ta có thể chứng minh nó

cùng vuông góc với một đường thẳng khác

Bài 4 Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC Trên

L H

E A

D

cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EB Chứng minh rằng:

a) ME // CD; b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I của

nó

c) CI = 3DI

Hệ thống câu hỏi:

1 Vẽ hình, nêu giả thuyết và kết luận của bài toán?

2 Dạng của bài toán là dạng gì? (dạng chứng minh)

a) Chứng minh: ME // CD

- Để chứng minh ME // CD ta thường có những cách chứng minh

nào?

- Em có nhận xét gì về vị trí của M, E ở lần lược hai cạnh BC và BD?

- Vậy ME là gì của BCD? Ta có điều phải chứng minh?

b) Đoạn thẳng CD cắt đoạn thẳng AM ở trung điểm I của nó.

- Theo giả thuyết ta có D là gì của AE?

- Theo chứng minh ở câu a) thì DI như thế nào so với AM?

- Có D là trung điểm AE, DI // AM vậy DI là gì của AEM ?

- Vậy I là gì của AM, ta suy ra được điều phải chứng minh chưa?

c) Chứng minh: CI = 3DI.

- ME là đường trung bình của BCD Vậy ME bằng bao nhiêu lần

DC

- Tương tự DI bằng bao nhiêu lần ME

- Từ hai điều đó ta có được đẳng thức cần chứng minh chưa?

a) Xét BCD có:

M là trung điểm của cạnh BC (giả thuyết)

E nằm giữa B và D và DE = BE  E là trung điểm của cạnh BD

 ME là đường trung bình của BCD Do đó ME // CD (đpcm)b) Xét AEM có:

D là trung điểm của cạnh AE (vì D nằm giữa A và E và AD = DE)Theo a) ta có: DI // ME  DI là đường trung bình của AEM

Vậy I là trung điểm của AM (đpcm)

c) Theo chứng minh ở hai câu trên ta có:

ME là đường trung bình của BCD: nên 1

Bài 5 Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia AC người ta lấy một

điểm D sao cho AB = AD Gọi AI là tia phân giác xuất phát từ đỉnh A củatam giác ABC Chứng minh rằng: AI // BD

Hệ thống câu hỏi:

1 Hãy vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán?

2 Để chứng minh AI // BD ta thường có những cách chứng minh nào?

3 Làm sao để tạo ra đường thẳng mà cả hai đường thẳng trên cùng

vuông với đường thẳng đó.

4 AI là gì của BAC

Theo em thì đường nào trong tam giác sẽ vuônggóc với đường thẳng AI

5 Làm sao chứng minh được AE DB

6 Có được AE DB ta suy ra được điều phải chứng minh chưa?

AE là cạnh chung; BAE DAE 

 (vì AE là tia phân giác của BAD

)

AB = AD (giả thuyết)

Vậy ABEADE (c.g.c) Ta suy ra AEB AED    90 0

Hai tia AI và AE là hai tia phân giác của hai góc kề bù nhau nên

vuông góc với nhau, Tức là EAI  90 0 Suy ra BD và AI cùng vuông với AE

nên chúng song song với nhau tức là: AI // BD (đpcm)

Nhận xét: Qua bài toán cho ta khả năng nhận xét và vẽ đường phụ,

muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể chứng minh nó cùng

vuông góc với đường thẳng thứ 3

Bài 6: Cho tam giác ABC D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các

cạnh Bc, CA, AB Chứng minh rằng:

a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I

b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF

a) Đường trung tuyến AD cắt đoạn EF tại điểm I.

- Ta có AD nằm giữa hai tia AB và AC

- Nếu chọn AD làm bờ chia mặt phẳng ra làm hai phần thỉ E, F nằm ở hai mặt phẳng như thế nào?

- Vậy AD có cắt đoạn EF hay không?

b) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng EF.

- Ta có EF là đường trung bình của ABC vậy ta có thể chứng minh

FI, EI lần lược là đường trung bình của ABD, ACD hay không?

- Khi đó ta sẽ có 1

2

2

IE DC, mà DC như thế nào so với

DB, từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa?

Nhận xét: Qua bài toán nhằm khắc sâu thêm kiến thức về đường

trung bình của tam giác và áp dụng nó vào bài toán cụ thể

Bài 7: Cho tam giác ABC và một điểm O tùy ý ở trong tam giác ấy

Chứng minh: 1

2(AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA

Hệ thống câu hỏi:

1 ta có thể chia bài toán thành 2 bài toán nhỏ được không?

2 Trước tiên ta sẽ chứng minh 1

2(AB+BC+CA) < OA+OB+OC

3 Ta thấy ABC bị chia thành 3 tam giác nhỏ OAB, BOC, COA,mỗi tam giác điều có chứa một cạnh của ABC

4 Trong tam giác thì tổng của 2 cạnh như thế nào so với cạnh thứ 3?

5 Vậy ta có thể áp dụng tính chất đó vào từng tam giác kia haykhông?

6 Khi đó ta cộng theo từng vế của những bất đẳng thức đó thì ta cóđiều phải chứng minh chưa

7 Tiếp theo ta sẽ phải chứng minh OA+OB+OC < AB+BC+CA Ta

có thể chứng minh tương tự.

8 Ta thấy AB+BC+CA chính là gì của ABC, em có thể phát biểu bài

toán trên thành một định lí được không?

Vì OB < OA’ + A’B nên

OA + OB < OA + OA’ + A’B  OA + OB < AA’ +A’B

Mà AA’ < AC +CA’ nên ta có:

2(AB+BC+CA) < OA+OB+OC < AB+BC+CA (đpcm)

Nhận xét: Từ bài toán này ta có thể phát biểu định lí: Cho một tam

9

A'

B' C'

A

O

giác và một điểm O tùy ý trong tam giác Tổng khoảng cách từ điểm O đến

ba đỉnh của tam giác lớn hơn nữa chu vi và bé hơn chu vi của tam giác đó

Bài 8: Chứng minh rằng cạnh lớn nhất của một tam giác lớn hơn hoặc

bằng 1

3 chu vi của tam giác đó và nhỏ hơn 1

2chu vi của nó

Hệ thống câu hỏi:

1 Bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? Ta có được những gì?

2 Nếu giả sữ BC là cạnh lớn nhất thì ta sẽ có điều gì?

3 Từ AB + AC  2BC ta có thể suy ra BC lớn hơn hoặc bằng 1

3 chu vi?

4 Theo bất đẳng thức tam giác thì Bc như thế nào so với AB + BC

toán dể chứng minh sẽ dễ dàng hơn.

Bài 9: Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi AD là đường phân giác

của góc A, I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác và H là hình

chiếu của I trên BC Chứng minh rằng:

2

A BIC

GIẢI

a) Trong tam giác vuông IHB ta có: 90 0

2

B BIH

là góc ngoài ở đỉnh I của AIB nên

2 2

A B BID

 



  (4)Cộng (3) và (4) vế theo vế ta được:





   (đpcm)

Nhận xét: Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác, kết hợp với

những khả năng biến đổi đẳng thức để giải bài toán

Bài 10: ABC có A 2B

 Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AB.AC

Hệ thống câu hỏi:

1 AD là đường phân giác vậy ta có đẳng thức nào?

2 Sao khi biến đổi đẳng thức đó ta được?

3 Vậy so với đề bài ta cần chứng minh điều gì?

4 Muốn có được tỉ số trên ta phải xét sự đồng dạng của 2 tam giácnào?

5 Từ đó ta có được điều phải chứng minh chưa?

GIẢI

Vẽ phân giác AD của góc A

Theo tính chất đường phân giác ta có: DB DC

A

  (2)

Từ (1) và (2) ta có: BC AC

Nhận xét: Bài toán này nhằm nhấn mạnh thêm về tính chất đường

phân giác, kết hợp thêm tính chất đồng dạng của hai tam giác

Bài 11: Cho tam giác ABC ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm

1 Nêu giả thuyết , kết luận của bài toán?

2 Dạng của bài toán? (Dạng chứng minh)

3 Hệ thức cần chứng minh liên quan đến những đường nào trong tam

giác? (Đường cao)

4 Hãy tính diện tích của tam giác ABC theo 3 đường cao?

5 Em có nhận xét như thế nào về điện tích của tam giác ABC và diện

tích của các tam giác HBC, HCA, ABH

6 Từ những điều trên ta có điều phải chứng minh chưa

GIẢI

GT ABC; AA’BC; BB’AC

13

H C'

B'

A' A

 ; 2

'

S AC BB

 ; 2

'

S AB CC

Nhận xét: Bài toán nhấn mạnh việc sữ dụng công thức tính diện tích

để giả bài toán chứng minh đẳng thức, ngoài ra còn rèn luyện khả năng biếnđổi đẳng thức cho người thực hiện

Bài 12 Cho tam giác ABC D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các

cạnh BC, CA, AB Trên đường trung tuyến AD người ta lấy điểm G sao cho

- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có những cách nào?

- Theo những giả thuyết đã cho thì cách nào khả thi nhất?

- Ta sẽ gọi giao điểm BG với AC là E’ và ta sẽ chứng minh E’E.

- Bài toán bây giờ trở thành chứng minh E’E

- Ta sẽ sữ dụng những tính chất nào đã học để chứng minh E’E

- Có được E’E Vậy ba điểm B, G, E thẳng hàng chưa?

- Có thể chứng minh tương tự ba điểm C, G, F thẳng hàng không?

b) Chứng minh BG = 2GE và CG = 2GF.

- Muốn chứng minh BG = 2GE ta có những cách nào.

- Làm sao chứng minh QG = GE với Q là trung điểm BG

- Em có nhận xét gì về hai tam giác DGE và IGQ

- Hai tam giác đó bằng nhau ta suy ra được QG = GE chưa

a) Kéo dài BG cắt AC ở E’ Ta sẽ chứng minh E  E’

Gọi I là trung điểm của AG Ta có AI = IG = GD

Từ I và D kẻ các đường thằng song song với BG cắt AC tại K và M.

Trong AGE' có IK là đường trung bình

nên K là trung điểm AE’ hay AK = KE’

Trong BCE' có DM là đường trung bình

nên M là trung điểm CE’ hay CM = ME’

Từ I dựng đường thẳng song song với AC cắt BE’ ở P và DM ở N.

Trong IDN, GP là đường trung bình nên P là trung điểm của IN hay IP =

15

P E' N Q

K

M I

G

D A

IP và KE’ là hai đoạn thẳng song song và bị chắn bởi hai đường thẳng songsong nên IP = KE’

Tương tự PN = E’M Vì IP = PN nên KE’ = E’M

Vậy AK = KE’ = E’M = MC nên E’  E Tức là ba điểm B, G, E thẳnghàng

Tương tự chứng minh được C, G, F thẳng hàng (đpcm)

b) Gọi Q là trung điểm của BG Ta sẽ chứng minh QG = GE

Có: QI là đường trung bình của ABG nên QI // AB và QI 1

Xét hai tam giác DGE và IGQ có:

Vậy DGEIGQ (g.c.g)  GE = GQ và từ đó ta có BG = 2GE

Tương tự, CG = 2GF (đpcm)

Nhận xét: Cho ta thêm khả năng vẽ đường phụ, sữ dụng kết hợp

nhiều tình chất để có thể giải được bài toán

Bài 13. Cho tam giác ABC với AB < AC Trên đường phân giác ADngười ta lấy một điểm E tùy ý

a) Chứng minh rằng AC – AB > EC – EB

- Em có nhận xét gì về 4 đoạn thẳng trên

- Lấy K trên AC sao cho AB = AK Vậy bài toán trở thành?

- Giờ ta phải chứng minh KC > EC – EB

- Xét trong CEK ta có KC > EC – EK Vậy kết hợp với điều kiện

trên ta cần phải chứng minh EB = EK

- Em có nhận xét gì về hai tam giác AEB và AEK

- Vậy ta có EB = EK Vậy suy ra điều phải chứng minh chưa?

b) Chứng tỏ rằng nếu F thuộc tia đối của tia OA thì AC – AB > FB – FC.

- Trước tiên ta thấy FB như thế nào so với FC

- Ta có thể chứng minh tương tự như câu a)

GIẢI

a) Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AB = AK

Như vậy: AC – AB = AC – AK = CK

Xét hai tam giác AEB và AEK có:

AE là cạnh chung; BAE KAE 

b) Có OB = OC  O nằm trên đường trung trực của BC

Mặt khác O  CD nên O là giao điểm của AD và đường trung trực của đoạn

BC

Nếu F nằm trên tia đối của tia OA: FB > FC

Chứng minh tương tự như câu a) ta được AC – AB > FB – FC

17

K

O D

A

E

F

Nhận xét: Sử dụng kết hợp vẽ đường phụ và bất đẳng thức tam giác,

khả năng biến đổi bất đẳng thức để có thể giải bài tập

Bài 14. Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, AC = b và a – b = b –

c Gọi M là giao điểm các trung tuyến P là giao điểm các đường phân giác

các góc trong của tam giác Chứng minh rằng MP // AC (Đề thi học sinh

giỏi toán cấp II, 1977)

Hệ thống câu hỏi:

1 Đọc đề, vẽ hình và nêu giả thuyết và kết luận của bài toán.?

2 Hướng đi của bài toán là gì? Làm sao chứng minh được PH = MN

3 Ta thấy điện tích tam giác ABC bằng tổng điện tích của những tam

giác nào? Thay công thức tính điện tích vào ta được đẳng thức nào?

4 Kết hợp với điều kiện a – b = b – c thì đẳng thức trên trở thành?

5 Ta có BE = 3BH, Vậy ta cần phải chứng minh BE = 3MN

6 Em có nhận xét gì về điện tích của hai tam giác BAD và MAD, từ

đó có thể suy ra được BE = 3MN hay chưa

7 Từ những dữ kiện trên ta có thể suy ra được PH = MN từ đó suy ra

được PM // AC hay chưa?

Gọi diện tích tam giác ABC là S ABC

Ta có: S ABC S APBS BPC S CPA (1)

Dựng BE và BD theo thứ tự là đường cao và đường trung tuyến của ABC

Dựng các đường cao PK, PI, PH của các tam giác APB, BPC, CPA Từ đẳng

N H

I

K

E

P M

D B

Theo giả thuyết a – b = b – c nên a + c = 2b thay vào (3) ta được:

Ta suy ra: S ABC S BAD S BDC  3S MAD  3S MDC  3S AMC

Từ đây ta suy ra: BE = 3MN (5)

Từ (4) và (5) ta được: PH = MN

Mặt khác: PH // MN nên PM // HN hay MP // AC (đpcm)

Nhận xét: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác, khả năng vẽ

đường phụ, sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh hai đường thẳng songsong

Bài 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF là các đường

cao Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN BAC

 Chứngminh rằng AM là tia phân giác của góc NMF

3 Vậy ta chỉ cần chứng minh AMN A D1 1.

4 Ta có thể chứng minh được AMN AIN

Tương tự tứ giác CDHE nội tiếp  D2 C1 (2)

Tứ giác BFEC có F và E cùng nhìn đoạn BC

dưới góc vuông nên cũng nội tiếp được B1 C1

  (3)

Từ (1), (2), (3) ta có  D1D2

Gọi I là điểm đối xứng của M qua DA ta có IDE Do đó AD là

trung trực của MI

Do:  MI BC

Từ đó: NIx NDC 

 (4)Xét tứ giác ABDE có E, D cùng nhìn AB dưới góc vuông nên tứ giác

ABDE nội tiếp, nên NDC BAC 

 (5)

Mà MAN BAC

 (giả thuyết) (6)

Từ (4), (5), (6) cho ta NIx MAN 

 có nghĩa là tứ giác AMIN nội tiếp

2 1

H I

N F

D

E A

M

Vậy  AMN FMA có nghĩa là AM là tia phân giác của NMF (đpcm)

Nhận xét: Sữ dụng kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến tứ giác nội

tiếp, tính chất đường trung trực, kết hợp nhiều giả thuyết để chứng minh mộtbài toán

b) Giả sử D là trung điểm của cạnh AB Chứng minh: DM = DL

`Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H và G lần lược

là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh: O, G, H thẳng hàng

Bài 18: Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB

và HC lấy hai điểm M, N sao cho AMC ANB  90 0 Chứng minh rằng:AN=AM

Bài 19: Từ một đỉnh của một tam giác người ta vẽ các đường vuônggóc xuống bốn đường phân giác trong và ngoài của hai đỉnh kia Chứngminh rằng bốn chân đường vuông góc đó thẳng hàng

Bài 20: Cho ABC, (AB > AC) có A 

 , trên cạnh AB lấy điểm Dsao cho BD = AC Lấy điểm E là trung điểm AD, F là trung điểm BC Tính

BEF

Tác dụng qua những bài tập:

Qua những bài tập trên nhằm giúp cho học sinh bước đầu có được một

số kĩ năng cơ bản về các bài toán chứng minh trong tam giác thường

Ngoài ra còn rèn luyện cách trình bài, lập luận chặc chẽ, chính xáckhả năng tư duy hợp lôgic, khả năng sáng tạo qua những bài tập nâng cao,

21