Giải các bài toán dãy số trong đề thi Violympic Toán 5 cấp quốc gia

Nhận xét: Theo gia sư toán thì đây là một bài toán tương đối quen thuộc và có nhiều cách để giải.. Nhưng các em cần rất cẩn thận tránh sự nhầm lẫn không đáng có, theo đó chúng ta nên giả

GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ TRONG ĐỀ THI

VIOLYMPIC TOÁN 5 CẤP QUỐC GIA Giải các bài toán dãy số trong đề thi Violympic Toán 5 cấp quốc gia Câu 1 – vòng 19 năm 2012 – 2013: Người ta viết liền nhau các số tự nhiên liên

tiếp 21; 22; 23; …thành một dãy số Hỏi chữ số thứ 2013 của dãy số tính từ trái sang phải là chữ số mấy?

Giải

Từ 21 đến 99 có: 99 – 21 + 1 = 79 số => có 79 x 2 = 158 chữ số

Từ 100 đến 999 có: 900 số => có 900 x 3 = 2700 chữ số > 2013

Vậy chữ số thứ 2013 của dãy là một chữ số của một số có ba chữ số

Số các chữ số để viết các số có 3 chữ số là: 2013 – 158 = 1855

Ta có: 1855 : 3 = 618 dư 1

Vậy chữ số thứ 2013 là chữ số hàng trăm của số thứ 619 trong dãy các số có ba chữ số bắt đầu từ 100

Có: 619 + 100 – 1 = 718

Chữ số hàng trăm của 718 là 7

Đ/S: 7

Câu 2: Vòng quốc gia năm 2013 – 2014: Cho dãy số: 2; 12; 30; 56; 90…Tìm

số hạng thứ 20 của dãy số đó

Giải

Nhận xét: 2 = 1 x 2; 12 = 3 x 4; 30 = 5 x 6; 56 = 7 x 8; 90 = 9 x 10…

Từ đó các em suy ra quy luật của dãy số như sau: Số hạng thứ n = (2 x n – 1) x (2 x n)

Vậy số hạng thứ 20 của dãy số là: 39 x 40 = 1560

Câu 3: Vòng 19 – cấp quốc gia năm học 2013 – 2014:

Tính tổng các chữ số của tất cả các số hạng trong dãy số: 1; 2; 3; 4; …; 999; 1000

Nhận xét: Theo gia sư toán thì đây là một bài toán tương đối quen thuộc và có nhiều cách để giải Nhưng các em cần rất cẩn thận tránh sự nhầm lẫn không đáng có, theo đó chúng ta nên giải theo một trình tự nhất định Một điều hiển nhiên là các chữ số 0 ta không cần quan tâm đến

Giải

Từ 1 đến 9 có tổng các chữ số là: 1 + 2 + + 9 = 45

Ta tính tổng các chữ số của các số từ 10 đến 99: Các chữ số 1, 2 ,9 mỗi chữ số xuất hiện ở hàng đơn vị 9 lần và ở hàng chục là 10 lần Do đó tổng cần tính là:

9 x 45 + 10 x 45 = 855

Tổng các chữ số của các số từ 1 đến 99 là: 855 + 45 = 900

Giờ ta sẽ tính tổng các chữ số của các số từ 100 đến 999: Nhận thấy các số từ 1 đến 99 lặp lại 9 lần (khi kết hợp với các chữ số hàng trăm để được các số có 3 chữ số) và mỗi chữ số 1 đến 9 xuất hiện ở hàng trăm là 100 lần Nên tổng cần tính là: 9 x 900 + 100 x 45 = 12600

Tổng các chữ số của các số hạng trong dãy số 1, 2, 3…, 999, 1000 là:

900 + 12600 + 1 = 13 501

Đ/S: 13 501

Câu 4: Vòng 19 – Cấp quốc gia toán 5 năm 2014 – 2015:

Tính S = 1,2 +2,3 + 3,4 + … + 97,98 + 98,99 + 99,100

Nhận xét: Đây là một bài toán không khó nhưng nếu các em không nghiên cứu

kĩ đề bài thì khả năng làm sai rất cao

Lưới qua chúng ta có thể hiểu nhầm các số hạng trong tổng là cách đều nhau với khoảng cách là: 2,3 – 1,2 = 1,1 Tuy nhiên sự thật không phải như vậy, đơn giản ta thấy: 99,100 – 98,99 = 0,11 hoàn toàn khác với 1,1 Vậy quy luật ở đây

là gì?

Ta viết lại S = 1,2 + 2,3 + … + 8,9 + 9,10 + 10,11 + 11,12 + …+ 98,99 + 99,100

Nhận thấy sự khác biệt lần thứ nhất khi bắt đầu xuất hiện số hạng 9,10; lần thứ hai với số 99,100 nó không tuân theo các quy luật trước đó Để giải quyết bài toán ta chia các số hạng của S thành các hai dãy như sau để tính và số 99,100

sẽ để tính sau

Tính tổng các số hạng 1,2; 2,3 …; 8,9 Nhận thấy chúng là dãy cách đều với khoảng cách là 1,1

Vậy: 1,2 + 2,3 + + 8,9 = (1,2 + 8,9) x 8 : 2 = 40,4

Tính tổng các số hạng: 9,10; 10,11; 11,12…; 97,98; 98,99 Nhận thấy đây là dãy cách đều với khoảng cách là 1,01 Số các số hạng là: (98,99 – 9,10) : 1,01 + 1 = 90 số

Vậy: 9,10 + 10,11 + … + 97,98 + 98,99 = (9,10 + 98,99) x 90 : 2 = 4864,05 Vậy: S = 40,4 + 4864,05 + 99,100 = 5003,55