Tài liệu TOÁN LỚP 12

CHÖÔNG IV SOÁ PHÖÙC.. AÙp duïng caùc quy taéc coäng, tröø, nhaân, chia hai soá phöùc, caên baäc hai cuûa soá phöùc. Chuù yù caùc tính chaát giao hoaùn, keát hôïp ñoái vôùi caùc pheùp t[r]

Số phức Trần Sĩ Tùng

1 Khái niệm số phức

• Tập hợp số phức: C

• Số phức (dạng đại số) : z a bi= +

(a, b ∈ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i R 2 = –1)

• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

• Hai số phức bằng nhau: ’ ’ ' ( , , ', ' )

'

a a

b b

 =

2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b∈R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ur =( ; )a b trong mp(Oxy) (mp phức)

3 Cộng và trừ số phức:

• (a bi+ ) (+ a’+b i’ ) (= a a+ ’) (+ b b i+ ’) • (a bi+ ) (− a’+b i’ ) (= a a− ’) (+ b b i− ’)

• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

• ur biểu diễn z, ' ur biểu diễn z' thì u ur+r'biểu diễn z + z’ và u ur−r' biểu diễn z – z’

4 Nhân hai số phức :

• (a bi+ )(a'+b i' ) (= ’ –aa bb’) (+ ab’ ’+ ba i)

• (k a bi+ )=ka kbi k+ ( ∈R)

5 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z= − a bi

z z z z z z z z z z

 

z z=a +b

• z là số thực ⇔ z=z ; z là số ảo ⇔ z= −z

6 Môđun của số phức : z = a + bi

• 2 2

z= a +b = zz = OMuuuur

• z≥ ∀ ∈0, z C, z= ⇔ = 0 z 0

• 'z z = z z ' •

z = z • z− z' ≤ ±z z' ≤ +z z'

7 Chia hai số phức:

• 1

2

1

z

2

'

z z

−

8 Căn bậc hai của số phức:

I SỐ PHỨC

CHƯƠNG IV SỐ PHỨC

• z x yi= + là căn bậc hai của số phức w= +a bi ⇔ z2= ⇔ w 2 2

2

xy b



=



• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

• w 0≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

• Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a

• Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a i

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A

0

≠ )

2

4

• ∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt 0 1,2

2

B z

A

− ± δ

= , (δ là 1 căn bậc hai của ∆)

• ∆ = : (*) có 1 nghiệm kép: 0 1 2

2

B

z z

A

= = −

Chú ý: Nếu z0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm của 0 (*)

10 Dạng lượng giác của số phức:

• z r= (cosϕ +isin )ϕ (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ≠ 0)

cos sin

a r b r







 ϕ =



• ϕ là một acgumen của z, ϕ =(Ox OM, )

• z= ⇔ =1 z cosϕ+isinϕ ϕ( ∈R)

11 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z r= (cosϕ +isin ) ,ϕ z'=r'(cos 'ϕ +isin ')ϕ :

• z z '=rr' cos([ ϕ + ϕ +') isin(ϕ + ϕ')] • [cos( ') sin( ')]

' '

z r

i

z =r ϕ − ϕ + ϕ − ϕ

12 Công thức Moa–vrơ:

• [r(cosϕ +isin )ϕ ]n=r n(cosnϕ +isinnϕ , ) (n∈N*)

• (cosϕ +isinϕ =)n cosnϕ +isinnϕ

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

• Số phức z r= (cos sin )ϕ+i ϕ (r > 0) có hai căn bậc hai là:

• Mở rộng: Số phức z r= (cos sin )ϕ+i ϕ (r > 0) có n căn bậc n là:

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia

Số phức Trần Sĩ Tùng

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức

Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân

Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) (4 – ) (2 3 ) – (5i + + i + i) b) 1

3

i  i

− + − 

2 3

i  i

    f) (2 3 )(3− i + i) g)

i

i i

i − −

+

1

3

h)

i

2 1

3

i

−

+ 1 1

k)

m

i

m

a i a

a i a

−

+

m)

) 1 )(

2 1 (

3

i i

i

+

− +

o) 1

2

i

i

+

b i

a+

q) 2 3

4 5

i i

− +

Bài 2 Thực hiện các phép toán sau:

a) (1+i)2−(1– )i 2 b) (2+i)3− −(3 i)3 c) (3 4 )+ i 2

d)

3

1

3

−

2 2

) 2 ( ) 2 3 (

) 1 ( ) 2 1 (

i i

i i

+

− +

−

− +

f) (2−i)6

g) ( 1− +i)3−(2 )i 3 h) (1 − i )100 i) (3 3 )+ i 5

Bài 3 Cho số phức z= + Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: x yi

a) z2−2z+ 4i b) z i

iz 1

+

−

Bài 4 Phân tích thành nhân tử, với a, b, c ∈ R:

a) a2+ 1 b) 2a2+ 3 c) 4a4+9b2 d) 3a2+5b2

e) a4+16 f) a3−27 g) a3+ 8 h) a4+a2+ 1

Bài 5 Tìm căn bậc hai của số phức:

a) − +1 4 3i b) 4 6 5i+ c) − −1 2 6i d) − +5 12i

e) 4 5

3 2i

i) 1 2

VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

Giả sử z = x + yi Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình

Bài 1 Giải các phương trình sau (ẩn z):

c) z+2z=2−4i d) z2 − z=0

e) z −2z= − − 1 8i f) (4 5 )− i z= + 2 i

g) 1

4

=













−

+

i

z

i

z

h)

i

i z

i

i

+

+

−

=

−

+

2

3 1 1

2 i) 2 z −3z= −1 12i k) (3 2 ) (− i 2 z i+ = ) 3i

l) [ i z i] iz

i

1

2

z i i

o) 3 5

2 4

i

i z

+ = −

p) z( +3 )(i z2−2z+ = 5) 0

q) z( 2+9)(z2− + = z 1) 0 r) 2z3−3z2+5z+ − = 3i 3 0

Bài 2 Giải các phương trình sau (ẩn x):

a) x2 − 3.x+1=0 b) 3 2.x2 −2 3.x+ 2 =0

c) x2− −(3 i x) + − = 4 3i 0 d) 3 i x2−2x− + = 4 i 0

e) 3x2 − + = x 2 0 f) i x 2+2 i x− =4 0

g) 3x3−24= 0 h) 2x4+16= 0

(x+2) + = 1 0 k) x2+ 7 = 0

l) x2+2(1+i x) + + = 4 2i 0 m) x2−2(2−i x) +18 4+ = i 0

o) ix2+4x+ − = 4 i 0 p) x2+ −(2 3 )i x= 0

Bài 3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:

a) 2 3+ i và− + 1 3i b) 2i và− + 4 4i

Bài 4 Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận α làm nghiệm:

d) α = − −2 i 3 e) α = 3−i 2 f) α = −i

g) α = +(2 i)(3−i) h) α =i51+2i80+3i45+4i38 i) 5

2

i i

+

=

−

Bài 5 Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1 , z 2 thoả mãn

điều kiện đã chỉ ra:

a)z2−mz m+ + =1 0,đk z: 12+z22=z z1 2+1 b) z2−3mz+ =5i 0,đk z: 13+z23=18

c) x2+mx+ =3i 0,đk z: 12+z22= 8

Bài 6 Cho z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 (1+i 2)z2− +(3 2 )i z+ − = Tính 1 i 0

giá trị của các biểu thức sau:

a) A= z12+z22 b) B= z z1 22 +z z1 22 c) 1 2

C

= +

Bài 7 Giải các hệ phương trình sau:

a)







−

= +

+

= +

i z

z

i z

z

2 5

4

2 2 2

1

2 1

b)







+

−

= +

−

−

=

i z

z

i z

z

2 5

5 5

2 2 2 1

2 1

0 ( ) 1

z z

z z





=



d)

1 2 3

1 1

z z z

z z z







e)

12 5

4 1 8

z

z i z z

 −





−

 −



f)

1 1

3 1

z

z i

z i

z i

 −





−

 +

 g)

5 2 4

 + = +

2

1

z i z

z i z



 − = −

2

z z i



Số phức Trần Sĩ Tùng

Bài 8 Giải các hệ phương trình sau:

3

 + = −

5

8 8

 + = −

4

7 4

x y

 + =



d)

1 2

i

x y



+ = −







e)

6

5

x y

x y



 + =

3 2

26 26

i

x y

 + = +



 + = +



g) 2 25

1 2

 + = −

1

2 3

x y

 + =



VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm

Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y

Bài 1 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z

thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) z z+ + = 3 4 b) z z− + − = 1 i 2 c) z z− +2i =2z i− d) 2 i z− =1 2 z+3 e) 2i−2z = 2z− 1 f) z+ = 3 1

g) z i+ = − −z 2 3i h) 3

1

z i

z i

−

= + i) z− + = 1 i 2

k) 2 z+ = − i z l) z+ <1 1 m) 1< − <z i 2

Bài 2 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z

thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) z+ là số thực 2i b) z− + là số thuần ảo c) 2 i z z= 9

VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức

Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác

Bài 1 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

d)

4 sin 4

i

8 cos 8

i

−

− f) (1−i 3)(1+i)

Bài 2 Thực hiện các phép tính sau:

a) 3 cos20( o sin20o)(cos25o sin25o)

c) 3 cos120( o+ sin120o)(cos 45o + sin 45o)

e) 2 cos18( o+ sin18o)(cos 72o+ sin 72o)

cos 40 sin 40

i i

+ +

g)

) 15 sin 15 (cos

3

) 45 sin 45 (cos

2

0 0

0 0

i

i

+

+

h) 2(cos 45 sin 45 ) 3(cos15 sin15 )

i i

+ +

i)

) 2 sin 2 (cos

2

) 3

2 sin 3

2 (cos

2

π π

π π

i

i

+

+

k)

2 cos sin

i

i

Bài 3 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) 1 i− 3 b) 1 i+ c) (1−i 3)(1+i) d) 2.i.( 3− i)

e)

i

i

+

−

1

3

1

i

2 2

1 + g) sinϕ+i.cosϕ h) 2+i 2

tan

8 i

π +

Bài 4 Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

a) cos 45o +isin 45o b) 2 cos sin

i c) 3 cos120( o + sin120o)

i

(1 )(1 2 )

i

+

1

i

g) 1

i

i

+

1 i 3

40

(2 2 )

1

i i

i

−

2

i

+

l)

100

1

i

i i

m)

1

3 i−

Bài 5 Tính:

cos12o+ sin12i o b) ( )16

1 + i c) ( 3−i)6

2 cos30 isin30

(cos15o+isin15 )o f) (1+i)2008+ −(1 i)2008 g)

21

3 2

1

3 3

5













−

+

i

i

12

2

3 2

1













2008

1









 +

i i

k) (cos sin ) (15 3 )7

l) 2008

2008

z biế t z

z z

Bài 6 Chứng minh:

a) sin5t=16sin5t−20sin3t+5sint b) cos5t=16cos5t−20cos3t+5cost

c) sin3t=3cos2t−sin3t d) cos3t=4cos3t−3cost

Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

a) (2− − +i)( 3 2 )(5 4 )i − i b)

+

Số phức Trần Sĩ Tùng

c)

 +  + − 

 −   + 

e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6− i + i + + i − − i) f) 1 + + + + + i i2 i3 i2009

g) i2000+i1999+i201+i82+i47 h) 1+ + + +i i2 i n, (n≥ 1)

i) i i i .2 3 i2000 k) i−5( )−i −7+ −( )i 13+i−100+ −( )i 94

Bài 2 Cho các số phức z1= +1 2 ,i z2= − +2 3 ,i z3= − Tính: 1 i

a)z1+ +z2 z3 b) z z1 2+z z2 3+z z3 1 c) z z z1 2 3

d) z12+z22+z32 e) 1 2 3

z z

+ +

Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A=z4+iz3− +(1 2 )i z2+3z+ +1 3 ,i vớ i z= + 2 3i

b)B (z z2 2 )(2z3 z z2),vớ i z 1( 3 i)

2

Bài 4 Tìm các số thực x, y sao cho:

a) (1 2 )− i x+ +(1 2 )y i = + 1 i b) 3 3

i

2

Bài 5 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:

a) 8 6i+ b) 3 4i+ c) 1 i+ d) 7 24i−

e)

2

1

1

i

i

 + 

 − 

2

3

i i

2− 2 i h) i, –i

i) 3

i

i

−

2 2i

+ l) −2 1( +i 3) m) 1 1

1 i +1 i

Bài 6 Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:

Bài 7 Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:

a) 2−i 12 b) 3 i+ c) 2i− d) 7 24i− +

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) z3−125= 0 b) z4+16= 0 c) z3+64i = 0 d) z3−27i= 0 e) z7−2iz4−iz3− =2 0 f) z6+iz3+ − =i 1 0 g) z10+ − +( 2 i z) 5− = 2i 0

Bài 9 Gọi u1; u là hai căn bậc hai của 2 z1= + và 3 4i v1; v là hai căn bậc hai 2

của z2= −3 4i Tính u1+u2+ +v1 v2?

Bài 10 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) z2+ 5 = 0 b)z2+ 2 2 z + = 0 c) z2+ 4 10 z + = 0 d) z2− 5 9 z + = 0 e) −2z2+ 3 1 z − = 0 f) 3z2− 2 3 z + = 0 g) (z z z z+ )( − )=0 h) z2+ + =z 2 0 i) z2= +z 2

k) 2z+3z= + 2 3i l) ( )2 ( )

z+ i z+ i − = m) z3= z

n) 4z2+8z2= 8 o) iz2+ +(1 2 )i z+ = 1 0 p) (1+i z) 2+ +2 11i = 0

Bài 11 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a)

2

z+ i z− z + +z =

z + z − z + z − = d) 3 ( ) 2 ( )

z − +i z + +i z− = i

2 2 0

z + i z − z + = f) z2−2iz+ − = 2i 1 0

g) z2− −(5 14 )i z−2(12 5 )+ i = h) 0 2

80 4099 100 0

z − z+ − i =

i) z( + −3 i)2−6(z+ − +3 i) 13= 0 k) z2−(cosϕ +isin )ϕ +z icos sinϕ ϕ = 0

Bài 12 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2− +(3 4 )i x+ − = 5i 1 0 b) x2+ +(1 i x) − − = 2 i 0 c) 3x2+ + = x 2 0

d) x2+ + = x 1 0 e) x3− = 1 0

Bài 13 Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a)z3−iz2−2iz− = 2 0 b) z3+ −(i 3)z2+ −(4 4 )i z− + = 4 4i 0

z i+ z − mz m+ − m = a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực

c) Có ba nghiệm phức

Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3+ +(3 i z) 2− −3z (m i+ = có ít nhất một ) 0 nghiệm thực

Bài 16 Tìm tất cả các số phức z sao cho ( z−2)(z i+ là số thực )

Bài 17 Giải các phương trình trùng phương:

a) z4−8(1−i z) 2+63 16− i= 0 b) z4−24(1−i z) 2+308 144− i= 0

c) z4+6(1+i z) 2+ + = 5 6i 0

Bài 18 Cho z z1, 2 là hai nghiệm của phương trình: z2− +(1 i 2)z+ − =2 3i 0 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) z12+ z22 b) z z1 22 +z z1 22 c) z13+z32

z z +z z f) 1 2

z z

z + z

Bài 19 Cho z z là hai nghiệm của phương trình: 1, 2 x2− + = Tính giá trị x 1 0 của các biểu thức sau:

a) x12000+x22000 b) x11999+x19992 c) x1n+x2n,n∈ N

Bài 20 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:

z i =

1

z z

=

Bài 21 Hãy tính tổng S= + +1 z z2+z3+ z n−1 biết rằng 2 2

Bài 22 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) i4+ + + + i3 i2 i 1 b) (1−i)(2+i) c) 2

1

i i

+

− d) 1 sin cos , 0

2

i

− α+ α < <α π

e) 3 cos sin

f) cot ,

2

i

+ < <π

g) sinα+i(1 cos ), 0− α < <α π

Số phức Trần Sĩ Tùng

Bài 23 Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

8

6

+

4

i

− +

+

c) (1 3) (1 3)

d) sin cos

e) cos sin

4−i 4

f) 2 2 3i− +

g) 1 sin cos , 0

2

i

− α+ α < <α π

h) 1 cos sin

, 0

i i

Bài 24 Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

8

6

+

4

i

c) (1+i 3) (n+ −1 i 3)n

Bài 25 Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:

2+i 5 + −2 i 5 b) 19 7 20 5

c)

+

+

e)

+

2 3

2

z− + i = Tìm số phức

z có môđun nhỏ nhất

Bài 27 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn

; (1 )(1 2 );

+

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Bài 28 Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) z3+ −(2 2 )i z2+ −(5 4 )i z−10i = b) 0 3 2

z + +i z + −i z i− = c) z3+ −(4 5 )i z2+ −(8 20 )i z−40i = 0

Bài 29 Cho đa thức P z( )=z3+(3i−6)z2+(10 18 )− i z+30i

a) Tính ( 3 )P − i b) Giải phương trình ( )P z = 0

Bài 30 Giải phương trình

2

1 2 7

z z

z

−

  , biết z= +3 4i là một nghiệm của phương trình

Bài 31 Giải các phương trình sau:

a) z4+2z3−z2+2z+ =1 0 b) z4−2z3−z2−2z+ =1 0

z − + z + + z − + z+ = d) z4−4z3+6z2−4z−15= 0 e) z6+z5−13z4−14z3−13z2+ + =z 1 0

Bài 32 Giải các phương trình sau:

a) (z2+3z+6)2+2 (z z2+3z+ −6) 3z2= 0 b)

3

8

z i

z i

 + 

=

 − 

c) (z2− +z 1)4−6 (z z2 2− +z 1)2+5z4= 0 d)

1 0

 −  + −  + − + =

 +   +   + 

Bài 33 Chứng minh rằng: nếu z≤ thì 1 2 1

2

z i iz

−

≤

Bài 34 Cho các số phức z z z Chứng minh: 1, 2, 3

a) z1+z22+ z2+z32+ z3+z12= z12+ z22+ z32+ z1+ +z2 z32

1+z z + z −z = +1 z 1+ z

1−z z − z −z = −1 z 1− z

d) Nếu z1 = z1 = thì c 2 2 2

z +z + z −z = c

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài

liệu này

transitung_tv@yahoo.com