điển N của BC và trung điểm M của CD. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác. Tìm tọa độ đỉnh D. b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. b) Tính chu vi tam giác ABC.. Tính chu vi tam giác ABC. Hã[r]
Trang 1§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM T ẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là uuur AB ( đọc là vectơ AB)
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a b x yr r r ur, , , ,
(Chú ý: uuurAB≠BAuuur)
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ−không, kí hiệu 0r
Ví dụ: MM AAuuuur uuur, ,
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ uuur AB≠ 0 r, đường thẳng AB gọi là giá của vectơ uuur AB Còn vectơ
−không uuurAA
thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau
Trang 2D B
A
C
K I
N
M D
A
C
B
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1 Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0r là uuur uuurAB BA,
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E} Do đó có 20 vectơ khác 0r
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ ar khác 0r
Tìm điểm M sao cho:
cùng phương ar
Giải
Gọi ∆ là giá của ar
Nếu AMuuuur cùng phương ar thì đường thẳng AM// ∆
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // ∆
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AMuuuur cùng phương ar
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Chứng minh: EF CDuuur=uuur
2BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒ EF CDuuur=uuur
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN
Chứng minh: uuuurAM =uuur uuurNC DK, =uurNI
Giải
Ta có MC//AN và MC=AN⇒MACN là hình bình hành
⇒ AM NCuuuur=uuurTương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD⇒ DKuuur=uuuurKM
Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra NIuur
=KMuuuur
⇒ DK NIuuur =uur
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu)
Trang 3Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ ar
Dựng điểm M sao cho:
Giả sử ∆ là giá của ar Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// ∆
(nếu A thuộc ∆ thì d trùng ∆) Khi đó có hai điểm M1 và M2thuộc d sao cho:
AM1=AM2=| ar
| Khi đó ta có:
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O Chứng minh: uuurAH =uuuurB C'
Bài 5: Cho tam gác ABC Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA Hãy vẽ hình và tìm trên hình vẽ các véctơ bằng PQuuur
,QRuuur
,uuurRP
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
a) Tìm các vectơ cùng phương với uuurAB
; b) Tìm các vectơ cùng hướng với ABuuur; c) Tìm các vectơ ngược hướng với uuurAB
; d) Tìm các vectơ bằng với MOuuuur
, bằng với OBuuur
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0r và cùng phương OAuuur;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ ABuuur;
ar
∆
A
Trang 4O D
A
B
C
O D
Bài 9: Cho tứ giác ABCD
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DCuuur=uuur
Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu AB DCuuur=uuur thì ADuuur =BCuuur
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) uuurAB và uuurAC cùng hướng, |uuurAB|>|uuurAC|;
b) uuurAB và uuurACngược hướng;
c) uuurAB và uuurAC cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng
a ngược hướng →a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C
Bài 5:
Bài 6:
Bài 7: a) DA AD BC CB AO OD DO FE EFuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur, , , , , , , ,
b) OC ED FOuuur uuur uuur, ,
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BBuuur'=uuurAB
* FOuuur là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB ⇒CCuuuur'=uuurAB
+ tương tự
Bài 8: a) uuurAB=DCuuur,OBuuur=DOuuur
Trang 5b) |OBuuur| |= BOuuur| |= DOuuur| |= ODuuur |
và uuurAC cùng hướng, |uuurAB
|>|uuurAC | khi C nằm giữa A và B b) uuurAB
và uuurAC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu |uuurAB
|>|uuurAC | thì theo a); nếu |uuurAB
|<uuurAC | thì B nằm giữa A và C + Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD Dựng
AM = BA , MN = DA , NP = DC , PQ = BC Chứng minh uuurAQ=0r
HD: Ta có uuuurAM =BA NPuuur uuur; =DCuuur =uuurAB
⇒ AM=NP và AM//NP⇒ AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2)⇒ A≡Q⇒ uuurAQ=0r
Trang 6BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1 Cho ∆ABC Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0r
2 Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0r
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
3 Cho ∆ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA
a/ Xác định các vectơ cùng phương với MN →
b/ Xác định các vectơ bằng NP →
4 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH và →
→
FG bằng AD →CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành
5 Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD Từ C vẽ →CI =
→
DA CMR : a/ I là trung điểm AB và →DI =
→
CB b/
c/ CMR :
→
AL = 0
r
Trang 7Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ
•Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB
• Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OAuuur−uuur=uuurAB (hoặc OA OB BAuuur uuur− =uuur)hay ABuuur=OB OAuuur−uuur
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔IAuur+IBuur =0r
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA GBuuur+uuur+GCuuur =0r
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD
a) Tìm tổng NCuuur+MC AMuuuur uuuur; +CD ADuuur uuur; +NCuuur
b) Chứng minh : uuuurAM +uuurAN =uuurAB+uuurAD
Giải:
a) + Vì MCuuuur=uuurAN nên ta có
NC+MC
uuur uuuur
= NCuuur+uuurAN =uuurAN+uuurNC =uuurAC
+Vì CDuuur =BAuuur nên ta có
A
D
Trang 8AM +CD
uuuur uuur
= uuuurAM +BAuuur= BAuuur uuuur+AM = BMuuuur
+Vì NCuuur =uuuurAM nên ta có
AD+NC
uuur uuur
= ADuuur +uuuurAM = AEuuur
, E là đỉnh của hình bình hành AMED
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có uuuurAM+uuurAN =uuurAC
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD ACuuur+uuur =uuur
Vậy uuuurAM +uuurAN =uuurAB+uuurAD
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O
Chứng minh: OA OBuuur+uuur+OCuuur +ODuuur +OEuuur+OFuuur =0r
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O
a) Chứng minh rằng vectơ OA OB OCuuur+uuur uuur; +OEuuur đều cùng phương ODuuur
b) Chứng minh uuurAB và uuurEC cùng phương
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD⇒ d là trục đối xứng của
ngũ giác đều Ta có OA OBuuur+uuur =OMuuuur, trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d Tương tự OCuuur +OEuuur =ONuuur
, N ∈ d Vậy OA OBuuur+uuur và OCuuur +OEuuur cùng phương ODuuur
vì cùng giá d
b) AB và EC cùng vuông góc d ⇒ AB//EC
⇒ uuurAB // ECuuur
Bài 4: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC
a) Tìm uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuurAM −AN MN; −NC MN; −PN BP CP; −
b) Phân tích uuuurAM theo hai vectơ MN MPuuuur uuur;
= BPuuur uuur+PC = BCuuur
b)uuuurAM =uuurNP=MPuuur−MNuuuur
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có ·BAD=600và cạnh là a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
Tính |uuurAB+uuurAD|;|uuur uuurBA−BC|;|OBuuur−uuurDC|
OBuuur−DCuuur =DOuuur−DCuuur =COuuur ⇒ OBuuur−DCuuur =CO=
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo
Tính |OA CBuuur uuur− |; |uuurAB+uuurDC|;|CDuuur−DAuuur|
Trang 9Do đó | | 2
2
a
OA CBuuur uuur− =BO=
|uuurAB+uuurDC| |= uuurAB|+|DCuuur | 2= a (vì uuurAB↑↑DCuuur )
Ta có CDuuur−uuurDA=CD CBuuur−uuur=BDuuur⇒ | CDuuur−DAuuur|=BD= a 2
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F
Chứng minh:uuurAB+BEuuur+CFuuur=uuurAE+BFuuur+CDuuur
Giải
VT =uuurAB+BEuuur+CFuuur =uuurAE+EDuuur+BFuuur+FEuuur+CDuuur+DFuuur
=uuurAE+BFuuur+CDuuur+EDuuur+DFuuur+FEuuur
= uuurAE+BFuuur+CDuuur (vì uuurED+DFuuur +FEuuur=0r )=VP⇒ đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E
Chứng minh rằng: uuurAC+DEuuur −DCuuur −CEuuur+CBuuur=uuurAB
Giải
Ta có −DCuuur =CDuuur; −CEuuur=ECuuurnên
VT = uuurAC+uuurDE−DCuuur−CEuuur+CBuuur=uuurAC+DEuuur +CDuuur+ECuuur+CBuuur
=uuurAC+CDuuur+DEuuur+uuurEC+CBuuur=uuurAB=VP⇒ đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có:
OA OBuuur+uuur+OCuuur =OMuuuur+ONuuur +OPuuur
Giải
VT = OA OBuuur+uuur+OCuuur
= OMuuuur+MA ONuuur +uuur+uuurNB+OPuuur+PCuuur
= OMuuuur+ONuuur +OPuuur+MAuuur +uuurNB+PCuuur
Mà NBuuur=NMuuuur+uuurNP
⇒MAuuur +NBuuur+PCuuur=MAuuur +NMuuuur+uuurNP+PCuuur=uuurNA+NCuuur =0r
⇒ VT= OMuuuur+ONuuur +OPuuur=VP⇒ đpcm
3 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F
CMR : uuurAE+uuurBF+CDuuur =uuurAF +BDuuur +CEuuur
4 Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H
Trang 10MD (với M là 1 điểm tùy ý)
6 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB
8 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB→ + AD→ theo a
9 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a
a/ Tính AB→ + AD→ b/ Dựng ur =
→
→+ AC
→
AD − FC − → EB = →
→
CD − EA − → FB →c/
15 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a
a) v AB DC BD CA
→
=uuur+uuur +uuur+uuur b) m= AB+CD+BC+DA
c) n=BC+CD+AB+DB d) pur =uuurAB+BCuuur+CDuuur+DEuuur
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AOuuur = ar
; BOuuur = brTính ABuuur
; BCuuur
; CDuuur
; DAuuur theo ar
Trang 11a) AOuuur
- ADuuur
= MOuuuur
b) ACuuur - ADuuur
+ EDuuurb) ADuuur
+ BEuuur + CFuuur = AEuuur + BFuuur + CDuuurc) ABuuur
+ CDuuur + EFuur + GAuuur
= CBuuur
+ EDuuur + GFuuur
d) ABuuur
- AFuuur + CDuuur
- CBuuur
+ EFuur
- EDuuur = 0r
OC OB
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :
a) OAuuur
+ OBuuur+ OCuuur+ ODuuur+ OEuuur+ OFuuur
= 0r
b) OAuuur
+ OCuuur+ OEuuur = 0rc) ABuuur
+ AOuuur+ AFuuur = ADuuur
d) MAuuuur
+ MCuuur+ MEuuur = MBuuur
+ MDuuuur+ MFuuur ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng HBuuur + HCuuur
= HDuuurb) Gọi H’ là đối xứng của H qua O Chứng minh rằng HAuuur + HBuuur
+ HCuuur = HH 'uuuur
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CAuuur + CBuuur
= CAuuur - CBuuur
Trang 12PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
uuur uuur uuur
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC, với mọi M ta có:
3
MA+MB+MC = MG
uuur uuur uuuur uuuur
3 ) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔ uuurABcùng phương uuurAC⇔∃ 0≠k ∈ ¡ : AB k ACuuur= uuur
5 ) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai ar , br khác 0r và không cùng phương Khi đó ∀ xr bao giờ cũng tìm được hai số m,
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ kar và các tính chất
1) Cho ar =uuurAB và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho :
OMuuuur= a ONr uuur = − ar
Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của ar (nếu O ∈ giá của ar thì d là giá của ar )
− Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| ar |, OMuuuurvà ar cùng hướng khi đó OMuuuur=3ar
− Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|ar |, ONuuur và ar ngược hướng nên ONuuur = −4ar
3AI; GI=
1
3AI AG=2GI
Trang 132) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=1
5AB Tìm k trong các đẳng thức sau:
uuuuruuuur uuur
uuur , vì uuuurAM ↑↑uuurAB⇒ k=1
5b) k= −1
4 c) k= −1
53) a) Chứng minh:vectơ đối của 5ar là (−5) ar
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2ar +3 br , ar −2br
Giải
a) −5ar =(−1)(5ar )=((−1)5) ar = −(−5) ar
b) −(2ar +3 br )= (−1)( 2ar +3 br)= (−1) 2ar +(−1)3br =(−2)ar +(−3)br =−2ar −3br
c) Tương tự
2 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho ∆ ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và
I là giao điểm của AD và EF Đặt ur =uuur rAE v; =uuurAF Hãy phân tích các vectơ uur uuur uuur uuurAI AG DE DC, , , theo hai vectơ ,u v
uuur uuur uuur uuur r r
2) Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM
uuuur
theo hai vectơ ur =uuur rAB v, =uuurAC
+ A, B, C thẳng hàng ⇔ uuurABcùng phương uuurAC⇔∃ 0≠k ∈ ¡ : AB k ACuuur= uuur
+ Nếu uuurAB=kCDuuur và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=1
3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Giải
C
A
Trang 14uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur
Theo giả thiết BCuuur =uuuurAM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒ M không thuộc AC⇒ MN//AC
4 Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD Chứng minh:
2MNuuuur=uuurAC BD+uuur
=
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuuur uuur uuuruuuur
2) Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: uuurAB+2ACuuur+uuurAD=3uuurAC
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có uuurAB+uuurAD=uuurAC
⇒ VT=uuurAC+2uuurAC=3uuurAC =VPuur(đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GGuuuur'=uuurAA'+BBuuur'+CCuuuur'
uuuur uuur uuur
G A G B G C GG
+ Cho điểm A và ar Có duy nhất M sao cho : uuuurAM =ar
+ uuurAB=uuurAC ⇔ ≡B C AD; uuur =uuurBD⇔ ≡A B
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC Xác định vị trí của G biết uuurAG=2GDuuur
Trang 15K I
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
2) Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: uurIA+2IBuur =0r
HD
IA+ IB= ⇔IA= − IB⇒ IA = − IB
hay IA=2IB , uurIA↑↓IBuur Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=1
3AB 3) Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GBuuur+uuur+GCuuur +GDuuur =0r
AG (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H
Trang 16Bài 7: Cho ∆ ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN→ =
2
1 →
NC Gọi K là trung điểm của MN
1 →
AC b/ CMR :
→
KD = 4
1 →
AB + 3
1 →AC
Bài 8: Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2→
1 →
AC b/
2uuurAB+2BCuuur theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC)
Phân tích uuuurAM
theo uuurAB
và uuurAC
Bài 11: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC Gọi K là trung
điểm của MN Phân tích uuurAK
a) Tính AI AJ theo AB ACuur uur, uuur uuur,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính uuurAG theo uuurAI và uurAJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB + 3→
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/ MAuuur =uuurMB b/ MAuuur +MBuuur+uuuurMC=Our c/ |ΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ uuuur uuuur uuuur uuuurC
d/ ΜΑ + Β = ΜΑ − ΜΒC 3
2uuuur uuur uuuur uuuur
e/ | ΜΑ + Β =ΜΑ − ΜΒuuuur uuurC uuuur uuuur