Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Bài 2: cho hình thoi ABCD cạnh a. Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD. Cho tam giác ABC và M, N l ần [r]
Trang 1
CHƯƠNG I : VECTO
A Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D ,
O
a) Bằng vectơ uuur AB ; OB uuur
b) Có độ dài bằng OB
uuur Bài 2 : Cho tam giác ABC Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC CMR:
MN =BP
uuuur uuur
; MAuuur =PNuuur Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ
Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp Gọi B’
là điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH = B ' C
BC PQ DC
NP DA MN BA
B CH ỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO:
Bài 1: Cho 4 điểm bất kì M,N,P,Q Chứng minh các đẳng thức sau:
a) PQuuur+uuurNP+MNuuuur=MQuuuur; b) uuurNP+MNuuuur=QPuuur+MQuuuur;
c) MNuuuur uuur+PQ=MQuuuur uuur+PN;
Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh rằng:
a) uuurAD+BA BCuuur uuur− −uuurED+uuurEC=0r ;
b) uuurAD+BCuuur−uuurEC−BDuuur =uuurAE
Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh:
a) MN +PQ=MQ+PN b)MP+ NQ+RS =MS+ NP+RQ
Bài 4: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh rằng :
a) ABuuur
+ CDuuur + EAuuur = CBuuur + EDuuur b) ADuuur
+ BEuuur + CFuuur = AEuuur + BFuuur + CDuuur c) ABuuur
+ CDuuur + EFuur + GAuuur
= CBuuur
+ EDuuur + GFuuur
d) ABuuur
- AFuuur + CDuuur
- CBuuur + EFuur
- EDuuur = 0r Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, cĩ tâm O CMR: OA OB OCuuur uuur+ +uuur+ODuuur =0r
Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
O OE OD OC
OB
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :
a) OAuuur
+ OBuuur + OCuuur + ODuuur + OEuuur + OFuuur
= 0r b) OAuuur
+ OCuuur + OEuuur = 0r c) ABuuur
+AOuuur +AFuuur =ADuuur d) MAuuuur
+ MCuuur +MEuuur = MBuuur
+MDuuuur +MFuuur ( M tùy ý )
Trang 2
Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS
Chứng minh rằng : RFuuur
+ IQuur + PSuur = 0r
Bài 9: cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD Gọi E là trung điểm I J CMR: EAuuur uuur uuur+EB+EC+EDuuur=0r
Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA CMR:
a)uuurAN+uuur uuuurBP CM+ =0r ; b) ANuuur =uuuurAM+uuurAP;
c) uuuurAM+BNuuur+CPuuur=0r
Bài 11: Cho hình thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB CMR:
EA+EB+EC+ED=DA+BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B
a) Cho M là trung điểm AB CMR với điểm I bất kì : IAuur uur+IB=2IMuuur
b) Với N sao cho NAuuur= −2uuurNB CMR với I bất kì : IAuur+2IBuur=3INuur
c) Với P sao cho PAuuur=3PBuuur CMR với I bất kì : IAuur−3IBuur= −2uurIP
Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G:
a) CMR: GA GB GCuuur uuur+ +uuur =0r Với I bất kì : IAuur+uurIB+uurIC=3IGuur
b) M thuộc đoạn AG và MG = 1
4GA CMR 2MA MBuuur+uuur+MCuuuur=0r c) Cho tam giác DEF cĩ trọng tâm là G’ CMR:
+ uuurAD+BEuuur uuur+CF =0r + Tìm điều kiện để 2 tam giác cĩ cùng trọng tâm
Bài 14: ( Hệ thức hình bình hành) Cho hình bình hành ABCD tâm O CMR:
a) OA OB OCuuur uuur+ +uuur+ODuuur =0r;
b) với I bất kì : IAuur uur+IB+ICuur+uurID=4IOuur
C MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI:
Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a Tính độ dài các vectơ BA−BC,CA+CB Bài 2: cho hình thoi ABCD cạnh a · 0
60
BAD= , gọi O là giao điểm của 2 đường chéo Tính:
|uuurAB+uuurAD | ; BA BCuuur uuur− ; OBuuur uuur−DC
Bài 3: Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính:
AC−BD
uuur uuur
; uuur uuurAB−BC−CDuuur−DAuuur Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điểm của AC và BD Hãy tính :
IB+ID+JA+JC
uur uur uur uuur
D Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:
Bài 1 Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng
b) Gọi E, F thoả mãn : 1
3
ME= MN
uuur uuuur
3
BF= BC
uuur uuur
CMR : A, E, F thẳng hàng
Bài 2 Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng
Trang 3
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N
thẳng hàng
c) Lấy điểm K là trung điểm EF Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng
Bài 3 Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : MBuuur−3uuuurMC=Our, uuurAN=3NCuuur,
PB PA+ =O
uuur uuur ur
MP=CB+ CA MN= CB+ CA
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
)
Bài 4 Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LBuuur=2uuurLC, 1
2
MC=− MA
uuuur uuur
, NB NAuuur+uuur =Our CM :
L, M, N thẳng hàng
Bài 5 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm I, J thoả mãn : 2uurIA+3uurIC=Our,
2uurJA+5uurJB+3uurJC=Our
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC
b) CMR J là trung điểm BI
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn uuurAE=kABuuur Xác định k để C, E, J thẳng hàng
Bài 6 Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : IAuur=2IBuur, 3JAuur+2JC Ouur ur= CMR : Đường thẳng IJ đi qua G
Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK =
3
1
AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Bài 8: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
O AC NA
AB O
MA
E Phân tích vecto theo các vecto khác phương Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ:
Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M sao cho :
a) MB MCuuur+uuuur=ABuuur b) 2MA MB MCuuur+uuur+uuuur=Our
c) uuurMA+2MB MCuuur+uuuur=Our d) MA MBuuur+uuur+2MCuuuur=Our
e) uuurMA MB MC+uuur−uuuur=Our f) MAuuur+2MB MCuuur−uuuur=Our
Bài 2: Cho tam giacù ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB G là trọng
tâm tam giác ABC D, E xác định bởi : AD = 2 AB và AE =
5
2
AC
Tính DE và DG theo AB và AC Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng
F Tru ̣c tọa độ và hệ trục tọa độ
Bài 1 : Cho tam giác ABC Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
Bài 2 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Bài 3 : Cho tam giác đều ABC cạnh a Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), trong đó O là trung
điểm BC, i cùng hướng với OC, j cùng hướng OA
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC
Trang 4
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 4 : Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i; j ), trong đó O là tâm lục giác đều ,
i cùng hướng với OD, j cùng hướng EC
Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6
Bài 5:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a) ADuuur
– 2BDuuur
+ 3 CDuuur
= 0r b) ADuuur
– 2 ABuuur
= 2 BDuuur
+ BCuuur c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
Bài 6 :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
Bài 7: Cho ar
=(2; 1) ; br
=( 3 ; 4) và cr
=(7; 2) a) Tìm tọa độ của vectơ ur
= 2ar
- 3br + cr b) Tìm tọa độ của vectơ xr
thỏa xr
+ ar = br
- cr Tìm các số m ; n thỏa cr
= m ar + n br
Bài 8 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(4 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 4), D(0 ; 6), M(2 ; 3)
a/ Chứng minh rằng: B, C, M thẳng hàng và A, D, M thẳng hàng
b/ Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OM, AC và BD Chứng minh rằng: 3 điểm
P, Q, R thẳng hàng
Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 2) Đường thẳng đi qua A, B cắt Ox tại M và cắt Oy tại N Tính diện tích tam giác OMN
Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2) Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB
Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2)
a/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b/ Tính chu vi của tam giác ABC
c/ Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H
Bài 12 Cho tam giác ABC với A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3)
a/ Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b/ Xác định tọa độ điểm E đối xứng với A qua B
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 13 Cho A(1 ; 3), B(5 ; 1)
a/ Tìm tọa độ điểm I thỏa IO+IA−IB=0
b/ Tìm trên trục hồnh điểm D sao cho gĩc ADB vuơng