Baøi 9: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = cosx treân ñoaïn [0; 2π], truïc hoaønh, truïc tung vaø ñöôøng thaúng x = 2π.. Theå tích vaät theå troøn xoay:.[r]
Trang 1Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)∫1
0
3
dx x
− 2
1
3
2
1
dx
x ; c)∫e
1 x
dx
− 1
2 3
1
dx
x ;
e)∫
−
+
1
1
) 1 2
( x dx; f)16∫
1
dx
x ; g)∫8
1 3
1
dx
x ; h)−∫
−
−
1
2
2
) 1 (x dx;
i)∫
−
+
3
1
3 1 ) dx
x
0
x 2 ) dx e
4
2
2
)
1
x
x ; l)−∫
−
+
− +
1
2
2
3 1 1 1 ) 4
x x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a) I = ∫2 − +
5 , 0
3 cos )
3 2
x
1
2 ) 1 1
t t
1
3
1
dx x
x
;
x
x 1 ) 1
(
3 2
1
+
−
1
0
2 ) 2 3 ( s s ds Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)∫1 +
0
3 dx ) 1 x
2
1
2
) 1 x 2 (
dx
; c)∫3 +
2 2 1
1
dx
7
3
e)∫4 −
0 25 3 x
dx
; f)∫
−
+ 2
1
1 2 1
dx
e x ; g)−∫
−
− 1
2
2 1
0
) 2 2 sin(
π
dx
i)∫3 −x dx
0
) 3 cos(
π
π
; j)∫1 −
0 2
) 1 ( cos
1
dx
x ; k)∫
−
+
−
2
1
5 , 0 2
) 5
0
) 2 sin 2 cos 2 (
π
dx x
Bài 1: Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối:
a)∫ −
2
0
1dx
− + 1
3 2
x dx; c)∫ x− dx
2
1
−
−
−
2
2
2
3
e)∫2 −
0
2
dx 1
0
2
dx x
−
−
−
3
2
2
2 dx
x
−
− +
2
4
2
3
Bài 2: Tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối:
a) I = ∫2 x− dx
0
2
) 1
0
x 1
x x 2 1
1
5
2
∫
−
+
−
Trang 2
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a) A =∫ −
2
1
5
) 1 ( x dx
x
x
∫2
1
ln
, đặt t = lnx;
c) C =∫
2
e
e x ln x
dx
0
x dx
xe 2 , đặt t = -x2;
e) E =∫
− +
2
1 x x
e 2
dx e
, đặt t = 2 + ex; f) E = ∫2 +
1 2x 3
dx
,
) 3 2 (
3 2 +
=
+
=
x t hoặc
x t
đặt
;
g) G =∫9 −
1
3 1 x dx
) 1 (
1 3
x t hoặc
x t
đặt
−
=
−
=
; h) H =∫2 +
0
xdx cos ) 3 x sin 2 (
π
, đặt t = 2sinx + 3 Bài 2: Tính các tích phân sau:
a) x ( x 1 ) dx
1
0
2007
0
3
2 2 x dx
0 2 3
1
x
dx x
; d)∫2 +
2
dx 2 x
x
;
e) x 1 x dx
1
0
8
+
1
1 2
1
1 2
dx x x
x
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)∫2
0
2 cos
2 sin
π
x
− 4
4
tgxdx π
π
; c)∫2 −
0
2 dx x cos 4
x 2 sin
π
; d)∫2
0
3 2
xdx cos x sin
π
;
e)∫e
1
2
dx x
x ln
0
5
xdx sin
π
; g) 2 1 4 sin 3 x cos x 3 xdx
6
0
π
Bài 4: Tính các tích phân sau:
a) ∫2 −
3
2
1
2
1 x dx; b))∫1 +
0 2 x 1
dx
; c)∫2 −
0
2 dx x
dx x 4
dx
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)∫1
0
x
dx
1
2
xdx ln
0
xdx cos x
π
2
1
ln ) 1 2 ( x xdx
e)∫
−
+
1
1
x
dx e ) 3 x
0
xdx ln x
1
2
xdx ln ) x 1
2
2
dx ) 1 x ln(
Bài 2: Tính các tích phân sau:
a) A =∫2
0
2 cos
π
xdx
x ; b) B =ln∫2 −
0
2
dx
1
0
) 1 2 ln( x dx;
Trang 3
d) D = ∫ +
3
0
2
) 2
1
0
2 2
) 1
0
2
sin )
3
2
(
π
xdx x
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a) I = ∫3
2 x
dx
e x
; b) J = ∫3e x+ x+ dx
0
1
1
0
2
xdx cos ) x sin x (
π
;
d) L = ∫π +
0
x cos
xdx sin ) x e
2
)]
1 ln(
) 1
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a)∫2 +
1
2
3
dx x
x x
x
x x x
1
3 2 2
2
; c)∫
− +
−
4
2
dx x
x
x
x
∫ +− 1
1 2
;
e)∫3 −−
2 2 1
3
x
x
; f)∫1 ++
0 2 1
3 4
dx x
x
; g)−∫
−
1
2
3
1
1
dx x
x
; h)∫2 −− +
1
2
3
1 2
dx x
x x
;
i)−∫
+
−
1
2
3
1
1
dx x
x x
; j)∫2 +−
1
3
1
1
dx x
x
; k)∫1 ++ −
0
2
1
1
dx x
x x
; l)∫
+
−
0
1 2
2 3
1
1 2
dx x
x x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
+
3
2
) 1
2 1
1
x
x x
1
0 ( 1 )( 2 )
1
x x
dx
2 ( 1 ) ; d)∫
0
2
4
dx x
0 2
6
5x
x
xdx
4
1 3
dx x x
x
;
x x
2
2
3 2
2
− − − +
−
0
1 2
2
1
dx x x
x
x x
2
3
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a) I =∫
0
1
3
) 1 (
1
dx
0
1
2 4
1
x
x
1 2
1 2
1
dx x
d) L =∫1 − +
0 2
2
2x
x
dx
; e) M =∫1 + +
0 2
2
x x
dx
; f) N =∫2 −++
0 2
1
2 6
dx x x
x
Trang 4
1 Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x;
c) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3; d) y = x3 - 3x, y = x;
e) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x; f) y = 2x - x2, x + y = 2;
g) y = x3 - 12x, y = x2; h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6 Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
2 x
12 x 10 x
2 2 +
−
−
và đường thẳng y = 0
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
1 x
x
x 2
+
+
−
và trục hoành
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = -1
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x + 1 và đường thẳng x = -1
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị của hàm số y =
1 x
1 x 2 +
+
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và y = x + sin2x với x ∈ [0; π]
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2π], trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2π
Bài 10: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x3, x + y = 2, y = 0; b) y = x, y = 0, y = 4 - x;
c) y = x
e 2
1
− , y = e-x, x = 1; d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 1 tại điểm (-1; -2)
b) (P): y = -x2 + 6x - 8, tiếp tuyến tại đỉnh của parabol (P) và trục tung
c) y = x3 3x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x =
-2
1
2 Thể tích vật thể tròn xoay:
Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox
a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2; b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1
Trang 5
Bài 2: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
a) y = 5x - x2, y = 0; b) y = -3x2 + 3, y = 0
Bài 3: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
a) y = 2 - x2, y = 1; b) y = 2x - x2, y = x; c) y = x3, y = 8 và x = 3 Bài 4: Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x2 + 1, x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục
Ox
3 Tổng hợp chung
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = x2 - 2x + 2, y = 0, x = -1, x = 2
2) y = x2 - 2x, y = 0, x = -1, x = 2
3) y = -x2 + 4x, y = 0
4) y = x2 + x + 2, y = 2x + 4
5) y = x2 - 2x + 2, y = -x2 - x + 3
6) y = 2
4
1
x , y = 2
2
1
x + 3x
7) y = x, y = 0, y = 4 - x
8) y = x2, y = 2
8
1
x , y =
x
8
9) y = x2 − x3 + 2 , y = 2
10) y = x2 − x4 + 3, y = x + 3
11) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x = 1
13) (P): y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M1(0; -3), M2(3; 0)
14) (P): y = -x2 + 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A(
2
5
; 6)
15) y = tgx, y = 0, x = 0, x =
4
π
16) y = lnx, y = 0, x =
e
1
, x = e
17) y =
2
2
x
, y = 2
1
1
x
+
18) y = - 2
4 −x , x2 + 3y = 0
19) y =
4 4
2
x
− , y =
2 4
2
x
20) y = x 2
1 +x , x = 0, x = 1
21) y = x
e 2
1
− , y = ex, x = 1
22) y2 = 2x, y = x, y = 0, y = 3
Trang 6
23) y2 = 2x + 1, y = x - 1
24) y = x, x + y - 2 = 0
Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox
2) y = tgx, y = 0, x = 0, x =
4
π
, quay xung quanh trục Ox
3) y =
x
4
, y = 0, x = 1, x = 4, quay xung quanh trục Ox
4) y = xlnx, y = 0, x = 1, x = e, quay xung quanh trục Ox
5) y =
3
3
x
, y = x2, quay xung quanh trục Ox
6) y = 2x2, y = 2x + 4, quay xung quanh trục Ox
7) y = 5x - x2, y = 0, quay xung quanh trục Ox
8) y2 = 4x, y = x, quay xung quanh trục Ox
9) y = x ln( 1 +x3), y = 0, x = 1, quay xung quanh trục Ox
10) y = 2
1
2x e
x
, y = 0, x = 1, x = 2, quay xung quanh trục Ox
CHÚC CÁC BẠN NGÀY ĐẦU NĂM MAY MẮN, HẠNH PHÚC ( Rất mong các quý thày cơ, các em học sinh giúp mình lập trang riêng)
TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT
1.ÔN TẬP:
Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì ( ) 0
a
a
f x dx
−
=
∫
• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
0 ( ) 2 ( )
a
f x dx f x dx
−
=
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1: Phân tích
0
0
0
0
a
a
J f x dx K f x dx
−
Bước 2: Tính tích phân
0 ( )
a
−
= ∫ bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K
Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
0
( )
( ) 1
x
f x
dx f x dx a
−
= +
α
(với α ∈ R + và a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên
Trang 7
0
0
0
;
−
α
Để tính J ta cũng đặt: t = –x
Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;
2
π
thì
(sin ) (cos )
f x dx= f x dx
Để chứng minh tính chất này ta đặt:
2
t= − π x
Dạng 4 Nếu f(x) liên tục và ( f a b x+ − ) = f x( ) hoặc ( f a b x+ − ) = −f x( )
thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = π thì đặt t = π – x
nếu a + b = 2 π thì đặt t = 2 π – x
Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x)
Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x)
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
1 2
( ) ( ) ( )
(* ) ( ) ( ) ( )
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra 1[ ]
2
F x = A x +B x + là nguyên hàm của f(x) C
2.BÀI TẬP:
BÀI 1 Tính các tích phân sau (dạng 1):
a)
4
4 4
1 cos
dx x
−
∫
π
π
b)
2
2
2
cos ln(x x 1 x dx)
−
∫
π
π
c)
1 2 1 2
1 cos ln
1
x
x
−
−
+
∫
2 1
ln x 1 x dx
−
1
x dx
2 1
sin 1
dx x
−
+ +
∫
g)
5 2
2
sin
1 cos
x dx x
π
π
h) 2
2 2
4 sin
xdx x
π
2
2 2
cos
4 sin
dx x
π
π
+
−
∫
BÀI 2 Tính các tích phân sau (dạng 2):
a)
x
dx
1
1
1 2x
x dx
−
− +
1
2
dx
d)
2
sin
3x 1
x dx
π
e) ∫
− +
+
3
3
2
2 1
1
dx x
1
2
dx x
Trang 8
g)
2
2
sin sin3 cos5
dx e
π
π
h)
4
4
6x 1
dx
−
+ +
∫
π
π
i)
2
2
sin
1 2x
dx
π
π
BÀI 3 Tính các tích phân sau (dạng 3):
a)
2
0
cos
n
x dx
x+ x
∫
π
(n ∈ N * ) b)
7 2
0
sin
x dx
x+ x
∫
π
2 0
sin
x dx
x+ x
∫
π
d)
2009 2
0
sin
x
dx
∫
π
e)
4 2
0
cos
x dx
π
+
4 2
0
sin
x dx
π
+
∫
BÀI 4 Tính các tích phân sau (dạng 4):
a)
2 0
.sin
4 cos
x x
dx x
−
∫
π
2 0
cos
4 sin
dx x
+
−
∫
π
c) 2 0
1 sin ln
1 cos
x dx x
∫
π
d)
4
0
ln(1 tan ) + x dx
∫
π
e)
2
3 0
.cos
x xdx
0 sin
x xdx
∫
π
g)
0 1 sin
x
dx x
+
∫
π
0
sin
2 cos
x x
dx x
+
∫
π
i)
2 0
sin
1 cos
x x
dx x
+
∫
π
k)
4
0
sin 4 ln(1 tan )x + x dx
∫
π
l)
2 0
sin
9 4cos
x x
dx x
+
∫
π
0 sin cos
∫
π
BÀI 5 Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sin cos
x dx
x− x
∫
π
b) 2 0
cos sin cos
x dx
x− x
∫
π
2 0
sin sin cos
x dx
x+ x
∫
π
d)
2
0
cos
sin cos
x dx
x+ x
∫
π
e)
4 2
0
sin
x dx
x+ x
∫
π
f)
4 2
0
cos
x dx
x+ x
∫
π
g)
6 2
0
sin
x dx
x+ x
∫
π
h)
6 2
0
cos
x dx
x+ x
∫
π
i)
2 2 0 2sin x.sin2xdx
∫
π
k)
2
2 0
2cos x.sin2xdx
∫
π
l) 1
1
x
e dx
e e−
1
1
x
e dx
−
−
n)
1
1
x
e
dx
e e−
1
1
x
e dx
e e
−
−
