TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2.
Trang 1Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
BÀI 2 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC
BẬC 2
I Dạng 1:
2
dx
A =
ax + bx + c
∫
ln
x
x
− +
ln
2
x
arctan
5 8 6 5 4 14 5 4 14
2
1
arctan arctan
A
∫
1
0
arctan arctan
6 3 2
A
− +
∫
1
0
arctan arctan
4 6 3
A
− +
∫
3
2
ln 5
A
∫
1
0
arctan arctan
5 2 2
A
− +
∫
0
1
dx
ln 5
A
−
∫
Trang 2Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2
1
0
arctan 2
2 2
3 4 2
A
− +
∫
1
0
4 14 5
A
∫
1
0
A
π
∫
II Dạng 2: ( )
2
mx + n
ax + bx + c
∫
B
−
2
2
x
x
− −
− +
x
− +
∫
ln 5 8 4 ln
2
5
∫
12 9 8
x
+ +
∫
ln 4 5 2 arctan
4 5 2
− +
∫
Trang 3Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 3
ln 3 2 1 ln
3 2 1
x
+ + −
∫
1
2
0 0
4 4
x
x
−
− +
∫
1
2
0 0
6 3
1
π
+ +
∫
2
2
1 1
ln 2 3 7 arctan 1 ln 7 arctan 7 arctan
6
+ +
∫
5
2
2 2
ln 4 3 ln
4 3
x
−
∫
1
2
3 3
6 13
π
−
−
−
−
∫
1
1
0
3ln 2 ln 3 ln
2
5 6
x
+
+ +
∫
III Dạng 3:
2
dx
C =
ax + bx + c
∫
2 1
ln
x
2
2
arcsin
50
50 5
x
x
+
− +
Trang 4Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4
4 4
4 4
3
2 2
2 2
2
x
x C
x
−
−
1
4
2
0
0
2 3 9
∫
1
5
2
0
0
3 5 4
+
−
∫
1 1
2
x C
∫
2
mx + n dx
D =
ax + bx + c
∫
1
6 2 dx
3 9
x
D
x
−
− +
− +
2 2
2
4 16
D
x
− −
Trang 5Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 5
2 2
3
2
2 9 6 4 arcsin
9 6 4
− −
∫
4
2
6 7 5 arcsin
13
2 5
6 7 5
+ −
∫
2
5
2
3
7 4 dx
7 2 3 3ln 1 ( 1) 4
2 3
x
−
−
−
− −
∫
( )
0
2 6
2 1
−
∫
V Dạng 5:
dx
E =
px + q ax + bx + c
∫
1,
2
1
2 1
dx
E
=
∫
ðặt
2
1 1
3
1 2
t
t
= → =
−
=
Do ñó
1
E
t t
t
−
Trang 6Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 6
1 3 1 5
Các bài 2, 3, 4 sau ñây ta làm tường tự, có ñáp số như sau:
2
3 d
2,
x E
+
13
2
2 11
2
du
=
∫
3
3
2 2
E
+
+
∫
4
2 d
4,
x E
−
8
5
2 3
5
du
=
∫
2
5
5,
x
E
+
Trang 7Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 7
6
2
2
d nx
6,
si
E
mx + n dx
F =
px + q ax + bx + c
∫
( )
1
1,
x
F
−
Ta tính lần lượt tích phân:
1
1 3
F
x
1 2
0
+
−
1 1
2
dx F
′′=
2
8 5
t
−
8
x= ⇒ =t và 1 1
3
x= ⇒ =t Do ñó
1
3 8 1 20 8 1 2.25
F
t
Trang 8Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 8
1 1
3 2
3
2
20 25
41 41 3362
328 2624
41 3362
dt
t
+
−
∫
328 2624
+
+
** Ta làm tương tự cho các bài sau:
1
2
2 0
6 7 dx
x F
−
=
∫
( )
1
3
2 0
7 9 dx
x F
−
=
∫
VII Dạng 7:
xdx
G =
ax + b cx + d
∫
1,
2
1
1
dx
x G
=
∫ ðặt t= 5−x2 ⇒t2 = −5 x2 ⇒x2 = −5 t2⇒xdx= −tdt
Khi x= ⇒ = và 1 t 2 x=2⇒ = Do ñó: t 1
2
ln
17 4 4(5 ) 3
G
t t
−
−
1 ln 4 17 ln 17 2 1ln9 2 17
** Ta làm tương tự cho các bài sau:
Trang 9Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 9
2,
2
2
1
ln
90 4 10 5
x G
−
∫
3,
1
3
0
ln
x G
+
+
∫
VIII Dạng 8:
dx
H =
ax + b cx + d
∫
1,
2
1
1
d
x H
=
ðặt
tdt
2
2 2
5
t
−
−
Khi x= ⇒ =1 t 3 và 2 3 2
2
x= ⇒ =t Do ñó:
2
2
1 5 5
H
t t
t
− −
−
3 2 2 3
3 2 arctan arctan
** Ta làm tương tự cho các bài sau:
Trang 10Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
10
2,
2
3 d
x x
H
+
7
2
5
2
d
u
=
∫
12 arctan 6 arctan 1
3,
ln( 6 1) 6 arctan 2 arctan 6
4,
5
4
3
2
1 d
x
H
+
5,
ln2 6 arctan 6
π +
+
mx + n dx
I =
ax + b cx + d
∫
Trang 11Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
11
1,
1
(4 3 )
x dx I
−
(7 3 )
−
• Xét
2
udu G
=
∫
ðặt
2
Khi u= ⇒ =1 t 5 và u=2⇒ =t 11 Do ñó:
11
2 2
5
1 3 ln
6 3 9
3
2 3
2
G
t t
t
t
+
−
−
+
• Xét
2
du H
=
∫
ðặt
2
tdt
−
( 2 )2
2 2
2
3
3
2
tdt t
t
−
− +
−
Trang 12Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
12
Khi u= ⇒ =1 t 5 và 2 11
2
u= ⇒ =t Do ñó
11
5 5
2
2
2
ln
2
H
t t
t t
−
1 ln 5 3 ln 11 2 3 1 ln2( 11 2 3)
1
2 3 11
4 2( 11 2 3)
+ +
** Tương tự các bài còn lại
2,
1
2
0
9
x dx I
∫
3,
3
3
2
(6 1)
I
−
=
∫
4,
1
4
0
(4 5)
I
−
=
∫
Nguồn: Hocmai.vn