CD rut gon bieu thuc

Rút gọn các biểu thức chứa biến và các bài toán phụ: 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN: Tìm ĐKXĐ của biểu thức Nếu bài toán chưa choPhân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các

Chuyên đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I- KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1, Kiến thức 6, 7, 8 quan trọng cần nhớ

a, Tính chất về phân số (phân thức): ( 0, 0)

B

A M B

M A

b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

+) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

+) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

+) A2 - B2 = (A – B)(A + B)

+) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

+) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

+) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)

+) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2)

2, Các kiến thức về căn bậc hai

2

2

AB A

B B

B C

−

±

∓

2 2

B C

B C

−

±

∓

Lưu ý: * B − C Và B + C được gọi là liên hợp của nhau Do đó B−M và

M

II CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

1 Rút gọn các biểu thức không chứa biến

1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức A =2 A

Ví dụ 1: Rút gọn:

a) (−3)2 + (−8)2 ; b) ( −3 5)2

c) (1− 2)2 − (1+ 2)2 d) ( 5−3)2 + (2− 5)2

Giải:

a) ( 3)− 2 + ( 8)− 2 = − + − = + =3 8 3 8 11

Ví dụ 2: Rút gọn :

Giải:

= ( 8+ 6)2( 8− 6)=( 8+ 6)( 8− 6)=8−6=2

c) C = 7 −4 3 + 7 +4 3 = 7−2.2 3 + 7−2.2 3 = (2− 3)2 + (2+ 3)2

= 2- 3 + 2 + 3 = 4

2

= ( 6−1)2 = 6−1

Ví dụ 3: Rút gọn A = 2− 3 + 2+ 3

Giải:

= 3 1− + 3 1+ = 3 1− + 3 1+ =2 3

Suy ra A = 6

Do A > 0 nên A = 6

3 Bài tập:

Bài 2: Tính: a) 8−2 7 b) 4− 7 − 4+ 7 c) 3− 5 + 3+ 5

Bai 3: Rút gọn A = 3− 1− 21−12 3

Bài 4: Rút gọn A = 6+2 3+2 2+2 6

1.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:

Ví dụ 1:Tính

7

3 3 2 1

Giải:

a) 14 56 = 14.56 = 14.14.4 = 142.4 = 142 4 =14.2=28

7

24 2

7 12 7

24 2

7 12 7

3 3 2

1

Ví dụ 2: Rút gọn: ) 5a + 20− 80 b) 3+ 12+3 2 24

Giải:

a

b

Bài tập:

Bài 1: Tính: a) 12 75 b)

25

36 25

24 1 9

7

e) 9− 17 9+ 17

Bài 2: Rút gọn:

a) 12+5 3− 48 b) 5 5+ 20−3 45

c) 2 32+4 8−5 18 d) 3 12−4 27+5 48

e) 12+ 75− 27 f) 2 18−7 2+ 162

1.3/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương

pháp nhân liên hợp

Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau

a)

2 3

1

1

1

1 3 1

1

+

−

Giải:

1 3 2 3 2

3 2

4 3

1 2

a

b

c

−

+

−

−

+

−

−

d)

3 1

1 3

1

1

+

−

) 3 1 ( 3 1 3 1

3 1 3 1

3 1 ) 3 1 )(

3 1 (

3 1 )

3 1 )(

3 1 (

3 1

−

−

− +

=

−

−

−

−

+

=

− +

−

− +

− +

2

3 2 2

3 1 3

−

=

−

+

− +

Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) 7 ) 11

Giải:

7

5 3 2

25 18

−

11

2 3 1

12 1

−

Ví dụ 3: Rút gọn:

A =

2 3

3 2 : 4 3 5

2 3

5

2

−

+











+

−

−

Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

−

1.4/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử:

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:

a) 3 3

3 1

−

− b)

c) 2 3 3 2 3 3

+

Giải:

3

−

−

=(2+ 3 2) ( − 3)= − = 4 3 1

Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

−

− b)

−

−

+ +

2 Rút gọn các biểu thức chứa biến và các bài toán phụ:

2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN:

Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn

có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)

Quy đồng, gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung : là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức

Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên)

Rút gọn

Chú ý: Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức

có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại toán

2.2/ Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho biểu thức: a a a 2 a

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A

Bài giải: ĐKXĐ: 0

a a

≥





− ≠

0 1

a a

≥





≠



Ta có:

= ( a + 1) : ( a − 1)

1

a a

+

−

b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất)

Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình:

1

a

a

+

=

3 9

Vậy với a = 9

4 thì A = 5

Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính (Lưu ý:

Có thể tính giá trị a rồi thay vào)

Ta có: a = +2 2 2 1+ =( 2)2+2 2.1 1+ 2 =( 2 1)+ 2

d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba)

Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều kiện xác định

1

a a

+

2 1

a−

1

0

1 1

4

9

a

a a

a a

a a

− =

− =



(TMĐK)

Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên

e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư)

Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng M

N < 0 (hoặc

M

đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến

1

a

a

+

− < 1 ⇔

1 1

a a

+

− - 1 < 0 ⇔

1

a

2 1

a− < 0 ⇔ a− < 0 ⇔ a <1 Kết hợp điều 1 kiện ban đầu, suy ra 0 ≤ a < 1

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x≠1

2

( x ) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2

1

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm)

Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức

(BĐT Côsi cho hai số dương)

min

2

x

Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2003-2004)

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A

b)Tìm giá trị của x để A > A.

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1

( )( )

A

x 1

+

−

x 1

> ⇔ < < ⇔ < <

−

( )

2

x 1

+ < ⇔ − > ⇔ >

−

−

x 3 0

x 1 0

 − >



⇔ 

− >

Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002)

A

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A > A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1

A

x

−

> ⇔ < ⇔ < ⇔ − < (vì x > 0)

x 1 x 1

⇔ < ⇔ < Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A > A

Ví dụ 5: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2004-2005)

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

5 + 2 6 x − 1 = − x 2005 + 2 + 3.

Bài giải:

a) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 1:

1 P

x 1

⇔ =

−

P 5 + 2 6 x − 1 = − x 2005 + 2 + 3

2

1

x 1

−

5 + 2 6 x − 1 = − x 2005 + 2 + 3

2.3/ Bài tập tương tự:

Bài 1 (Đề thi tốt nghiệp năm 2002-2003)

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A > 1

3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

Bài 2 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2008-2009)

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P = 5

4

P

x 1

+

=

−

x 9

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức

b) Tìm x để D < -1

2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

Bài 5 Cho biểu thức

B

2 x 3 1 2 x 3 1

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

2 x 1

P

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Q P

Bài 7 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2006-2007)

Cho biểu thức:

+

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P

b) Tìm giá trị của a để P > 0

1 x

2

x 1 x 2 x 1

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm x để P < 1

2

P

x 1

−

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm x để P <1

2

Bài 11 (Đề thi vào lớp 10 năm học 2007-2008)

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

a) Rút gọn biểu thức P

b) Với những giá trị nào của a thì P > 1

2

(Trích Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 THPT tĩnh Hà Tĩnh - Năm học 2011 - 2012)

Bài 13 Cho biểu thức : A = 2

1

−

−

1) Rút gọn biểu thức A

Bài 14 Cho biểu thức : P = 4 4 4

+

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1

Bài 15 Cho biểu thức : A = 1 2

1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

2) Với giá trị nào của x thì A < -1

Bài 16 Cho biểu thức : A = (1 )(1 )

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = - 1

Bài 17 Cho biểu thức : B =

x

x x

x− −2 +2+1−

1 2 2

1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B với x = 3

c) Tính giá trị của x để

2

1

=

A

Bài 18 Cho biểu thức : P =

x

x x

x x

x

−

+ + +

+

−

+

4

5 2 2

2 2 1

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P

b) Tìm x để P = 2

1

2 2

1 ( : ) 1 1

1

−

+

−

−

+

−

a a

a a a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b) Tìm a để Q dương

c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5













−

+

− +

−

















−

1 1

2

1

a a a

a a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M = - 4